廣東省2025屆高三上學(xué)期9月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2025屆高三年級(jí)9月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知命題，；命題，是質(zhì)數(shù)，則（）A．均是真命題 B．均是真命題C．均是真命題 D．均是真命題2．已知曲線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．3．已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A． B．0 C．1 D．204．已知半徑為3，高為1的圓錐底面圓周上的點(diǎn)和頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的體積為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，則（）A．2 B． C． D．6．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則外接圓的半徑為（）A．1 B． C．2 D．7．已知，，，則（）A． B． C． D．8．若則的最小值為（）A． B．10 C． D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．對(duì)于函數(shù)和，則（）A．與的零點(diǎn)相同 B．與的最小值相同C．與的最小正周期相同 D．與的極值點(diǎn)相同10．已知正數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．11．某箱中有若干個(gè)編號(hào)依次為的球，每個(gè)球除編號(hào)外完全相同．現(xiàn)從箱中每次不放回地取一個(gè)球，若第次取出球的編號(hào)為，則記為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若則B．若則C．若則事件和事件相互獨(dú)立D．若則事件和事件相互獨(dú)立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，，若，則______．13．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則______．14．已知橢圓與圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中．若，則的最大值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知某批礦物晶體中含有大量水分子，且經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)其中輕水分子，重水分子，超重水分子的比例為．（1）現(xiàn)利用儀器從一塊礦物晶體中分離出3個(gè)水分子，用頻率估計(jì)概率，求至少分離出2個(gè)輕水分子的概率；（2）從一塊礦物晶體中分離出10個(gè)水分子，其中輕水分子的個(gè)數(shù)有6個(gè)，然后再?gòu)倪@10個(gè)水分子中隨機(jī)分離出3個(gè)水分子來(lái)進(jìn)行后續(xù)的實(shí)驗(yàn)，記這3個(gè)水分子中輕水分子的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．16．（本小題滿分15分）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的公差為2，又?jǐn)?shù)列滿足．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，求面積的最大值．17．（本小題滿分15分）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，棱上的點(diǎn)滿足取得最小值．（1）證明：平面；（2）在空間取一點(diǎn)為，使得，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．18．（本小題滿分17分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)的直線與的左、右支分別交于點(diǎn)，與圓交于與不重合的兩點(diǎn)．①求直線斜率的取值范圍；②求的取值范圍．19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）若為曲線的公共點(diǎn)，且在處存在共同的切線，則稱該切線為的公切線．若曲線與曲線存在兩條互相垂直的公切線，求，的值．2025屆高三年級(jí)9月份聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析一、選擇題1．B【解析】由已知得，命題為假命題，所以命題為真命題；當(dāng)時(shí)，是質(zhì)數(shù)，所以命題為真命題．故選 B．2．C【解析】由函數(shù)過(guò)軸上定點(diǎn)，即為的焦點(diǎn)，故的準(zhǔn)線方程為．故選C．3．A【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以．故選A．4．D【解析】設(shè)球的半徑為，即，解得，所以球的體積為．故選D．5．B【解析】由題意可得①，所以時(shí)，②，①—②得，所以，所以．故選B．6．A【解析】因?yàn)?，，所以，所以，即，所以，又因，所以，所以外接圓的半徑為．故選A．7．D【解析】因?yàn)?，，，故，且，故，故．故選D．8．B【解析】的幾何意義是點(diǎn)與函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)距離的平方，即，要使得存在最小值，必須在上有解，當(dāng)，單調(diào)遞增，所以在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋栽谏洗嬖谝粋€(gè)零點(diǎn)3，所以取得最小值為．故選B．二、選擇題9．BC【解析】A選項(xiàng)，令，解得，，令，解得，，顯然，零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，對(duì)令，得，，對(duì)令，得，，顯然，的極值點(diǎn)不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC．10．BCD【解析】對(duì)于A，，，，，，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)，則，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，，，即，時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)闀r(shí)，，所以，即，故C正確；對(duì)于BD，已知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故B正確，所以，得，故D正確．故選BCD．11．BC【解析】若，則只可能第1次取出的球編號(hào)為1，故，，A錯(cuò)誤；若，則第1次未取到編號(hào)為1的球，且總計(jì)4個(gè)球，分情況討論：若第1次取編號(hào)為2的球，第2次取編號(hào)為1號(hào)或3號(hào)或4號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為3的球，第2次取編號(hào)為1號(hào)或2號(hào)或4號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為4的球，第2次取編號(hào)為1號(hào)或2號(hào)或3號(hào)球，共3種情況，總計(jì)9種情況，第2次取編號(hào)為2的球的情況共2種，故，B正確；若，則前兩次均未取編號(hào)為1的球，故，，滿足，C正確；若，則前兩次均未取編號(hào)為1的球，且總計(jì)5個(gè)球，前兩次可取的只能為編號(hào)為2號(hào)或3號(hào)或4號(hào)或5號(hào)球．，且，而第2次取球需分情況討論：若第1次取編號(hào)為3的球，第2次取編號(hào)為2號(hào)或4號(hào)或5號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為2的球，第2次取編號(hào)為3號(hào)或4號(hào)或5號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為4的球，第2次取編號(hào)為2號(hào)或3號(hào)或5號(hào)球，共3種情況；若第1次取編號(hào)為5的球，第2次取編號(hào)為2號(hào)或3號(hào)或4號(hào)球，共3種情況，總計(jì)12種情況，第2次取編號(hào)為3的情況共3種，故，，D錯(cuò)誤．故選BC．三、填空題12．【解析】因?yàn)椋?，，所以，解得．故答案為?3．1【解析】，令，即，故，即．故答案為1．14．【解析】在中，令得，，所以與軸的交點(diǎn)為的焦點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出，有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則，即，所以，令，所以，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，所以的最大值為．故答案為．四、解答題15．解：（1）設(shè)事件“至少分離出2個(gè)輕水分子”，由題意知分離出1個(gè)輕水分子的概率為，分離出1個(gè)非輕水分子的概率為，所以，故至少分離出2個(gè)輕水分子的概率為．（2）因?yàn)榉蛛x出10個(gè)水分子，其中輕水分子有6個(gè)，則重水和超重水分子個(gè)數(shù)共有4個(gè)，隨機(jī)變量的所有可能取值為，（6分）則，，，．故．（13分）16．解：（1）由題意知為等差數(shù)列：首項(xiàng)，公差，則，由題意可得，．（2）由題意可得，由余弦定理得：，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即面積的最大值為．17．解：（1）在等腰梯形中，因?yàn)椋?，所以，所以，將?cè)面與側(cè)面沿著展平到同一個(gè)平面內(nèi)，連接，如圖，可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，設(shè)與交于，再連結(jié)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）設(shè)上底面的中心為，則兩兩垂直，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在直角梯形中得，，顯然平面的法向量為，，，，，所以，不妨設(shè)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，不妨設(shè)，所以．18．解：（1）由題意可得，且右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①由（1）知，，設(shè)，，由題意可得直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，，，，又兩點(diǎn)在軸同一側(cè)，所以．此時(shí)，即．圓的方程為，點(diǎn)到直線的距離，由得，由得所以或，因?yàn)橹本€的斜率，所以直線斜率的取值