高中數(shù)學(xué) 2-3 2.3 第2課時離散型隨機(jī)變量的方差同步測試 新人教B版選修2-3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-32.3第2課時離散型隨機(jī)變量的方差同步測試新人教B版選修2-3一、選擇題1．若隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則D(X)的值為()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴D(X)＝4×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝1.故選B.2．若X的分布列為X01Ppq其中p∈(0,1)，則()A．D(X)＝p3 B．D(X)＝p2C．D(X)＝p－p2 D．D(X)＝pq2[答案]C[解析]由兩點分布的方差公式D(X)＝p(1－p)＝p－p2.故選C.3．下列說法正確的是()A．離散型隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ的取值的平均水平C．離散型隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平D．離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值[答案]C[解析]由離散型隨機(jī)變量的期望與方差的定義可知，C正確．故選C.4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則Dξ的值為()A.eq\f(29,12) B．eq\f(121,144)C.eq\f(179,144) D．eq\f(17,12)[答案]C[解析]∵Eξ＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，∴Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).故選C.5．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1、2、3，則D(3ξ＋5)＝()A．6 B．9C．3 D．4[答案]A[解析]E(ξ)＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.故選A.6．設(shè)ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，則n與p的值分別為()A．18，eq\f(1,3) B．12，eq\f(2,3)C．18，eq\f(2,3) D．12，eq\f(1,3)[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Eξ＝12,Dξ＝4))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝12,np1－p＝4))，得p＝eq\f(2,3)，n＝18.故選C.7．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值與方差分別為()A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\f(1,2)C．E(X)＝0，D(X)＝eq\f(1,2) D．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝1[答案]A[解析]要計算隨機(jī)變量的期望和方差，應(yīng)先列出其分布列．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的分布列為X1－1P0.50.5所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.故選A.二、填空題8．已知隨機(jī)變量X的分布列為：X123P0.40.5x則X的方差為________．[答案]0.41[解析]由題意可知0.4＋0.5＋x＝1，即x＝0.1，∴E(X)＝1×0.4＋2×0.5＋3×0.1＝1.7，∴D(X)＝(1－1.7)2×0.4＋(2－1.7)2×0.5＋(3－1.7)2×0.1＝0.41.9．某射手擊中目標(biāo)的概率為p，則他射擊n次，擊中目標(biāo)次數(shù)ξ的方差為________．[答案]np(1－p)[解析]∵ξ～B(n，p)，∴D(ξ)＝np(1－p)．三、解答題10．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ、η的分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3求：(1)a、b的值；(2)計算ξ、η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．[解析](1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢.一、選擇題1．設(shè)X～B(n，p)，則有()A．E(2X－1)＝2npB．D(2X＋1)＝4np(1－p)＋1C．E(2X＋1)＝4np＋1D．D(2X－1)＝4np(1－p)[答案]D[解析]因為X～B(n，p)，所以D(x)＝np(1－p)，于D(2X－1)＝4D(X)＝4np(1－p)，故選D.2．設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，現(xiàn)已知：E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A.eq\f(5,3) B．eq\f(7,3)C．3 D．eq\f(11,3)[答案]C[解析]由題意，p(X＝x1)＋p(X＝x2)＝1，所以隨機(jī)變量X只有x1，x2兩個取值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9).))解得x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3，故選C.3．已知X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(5,18)且a、b、c成等比數(shù)列，E(X)＝eq\f(1,9)，則a＝()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]由分布列的性質(zhì)得a＋b＋c＝eq\f(13,18) ①∵E(X)＝eq\f(1,9)，∴－a＋c＋eq\f(5,9)＝eq\f(1,9)，∴a－c＝eq\f(4,9)， ②又a、b、c成等比數(shù)列，∴b2＝ac， ③將②代入①、③得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝\f(7,6)，④,b2＝aa－\f(4,9).⑤))由④得b＝eq\f(7,6)－2a，代入⑤得，a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(49,54)，當(dāng)a＝eq\f(49,54)時，a＋eq\f(5,18)＝eq\f(64,54)>0，不合題意舍去，∴a＝eq\f(1,2).二、填空題4．(·浙江理，12)隨機(jī)變量ξ的取值為0、1、2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.[答案]eq\f(2,5)[解析]設(shè)ξ＝1的概率為P.則E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×P＋2(1－P－eq\f(1,5))＝1，∴P＝eq\f(3,5).故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).5．設(shè)p為非負(fù)實數(shù)，隨機(jī)變量X的概率分布為X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(X)的最大值為____________，D(X)的最大值為______．[答案]eq\f(3,2)1[解析]E(X)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1∵0≤eq\f(1,2)－p≤eq\f(1,2)，0≤p≤eq\f(1,2)，∴p＋1≤eq\f(3,2)，D(X)＝(p＋1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p2·p＋(p－1)2×eq\f(1,2)＝－p2＋1－p＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)≤1.三、解答題6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，用X表示擲出偶數(shù)點的次數(shù)．(1)若拋擲一次，求E(X)和D(X)；(2)若拋擲10次，求E(X)和D(X)．[解析](1)X服從二點分布X01Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以E(X)＝p＝eq\f(1,2)，D(X)＝p(1－p)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,4).(2)依題意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，∴E(X)＝np＝10×eq\f(1,2)＝5，D(X)＝np(1－p)＝10×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(5,2).7．一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分．學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9.學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機(jī)地選擇一個．求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語單元測驗中成績的數(shù)學(xué)期望和方差．[解析]設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中選擇了正確答案的選擇題個數(shù)分別是X和η，則X～B(20,0.9)，η～B(20,0.25)，所以E(X)＝20×0.9＝18，D(X)＝1.8，E(η)＝20×0.25＝5，D(η)＝3.75，由于答對每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語測驗中成績分別是5X和5η.所以，他們在測驗中成績的數(shù)學(xué)期望與方差分別是E(5X)＝5E(X)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25，D(5X)＝25D(X)＝25×1.8＝45，D(5η)＝25D(η)＝25×3.75＝93.75.8．(·遼寧理，18)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．[解析](1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天是有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15