高中數(shù)學(xué) 3.1 第1課時基礎(chǔ)鞏固 北師大版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1第1課時基礎(chǔ)鞏固北師大版選修2-2一、選擇題1．函數(shù)y＝xlnx＋m的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(eq\f(1,e)，＋∞) B．(0，e)C．(0，eq\f(1,e)) D．(eq\f(1,e)，e)[答案]A[解析]定義域為{x|x>0}，由y′＝lnx＋1>0，得x>eq\f(1,e).2．函數(shù)f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函數(shù)B．是減函數(shù)C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D．在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上增[答案]A[解析]f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[答案]D[解析]f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(－∞，2)(2，＋∞)f′(x)－＋f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，故選D.二、填空題4．函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)間為________．[答案](－1,11)[解析]f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令(x－11)(x＋1)<0，解得－1<x<11.所以單調(diào)減區(qū)間為(－1,11)．5．函數(shù)f(x)＝x3－x的增區(qū)間是________和________，減區(qū)間是________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))[解析]∵f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>eq\f(\r(3),3)或x<－eq\f(\r(3),3)，令f′(x)<0，得－eq\f(\r(3),3)<x<eq\f(\r(3),3).三、解答題6．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，試求a的范圍．[解析]解法一：(區(qū)間法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.當(dāng)a－1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意．當(dāng)a－1>1，即a>2時，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，a－1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.解法二：(數(shù)形結(jié)合)如圖所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)內(nèi)f′(x)≤0，(6，＋∞)內(nèi)f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根為1，則另一根在[4,6]上．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′4≤0，,f′6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(35－a≤0，,57－a≥0，))所以5≤a≤7.解法三：(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因為2<x＋1<5，所以當(dāng)a≥5時，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因為f(x)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因為x＋1>7，所以a≤7時，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由題意知5≤a≤7.[點評]本題是含參數(shù)單調(diào)性問題，是高考的重點和熱點，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.一、選擇題1．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()A．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)) B．(π，2π)C．(eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)) D．(2π，3π)[答案]B[解析]y′＝－xsinx.當(dāng)x∈(π，2π)時，y′>0，則函數(shù)y＝xcosx－sinx在區(qū)間(π，2π)內(nèi)是增函數(shù)．2．(·陜西理，10)如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為()A．y＝eq\f(1,125)x3－eq\f(3,5)x B．y＝eq\f(2,125)x3－eq\f(4,5)xC．y＝eq\f(3,125)x3－x D．y＝－eq\f(3,125)x3＋eq\f(1,5)x[答案]A[解析]4a＝2，∴a＝eq\f(1,2)，lgx＝a＝eq\f(1,2)，∴x＝eq\r(10).3．(·福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的函數(shù)，其中f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)<f(x)對于x∈R恒成立，則()A．f(2)>e2f(0)，f()>efB．f(2)<e2f(0)，f()>efC．f(2)<e2f(0)，f()<efD．f(2)>e2f(0)，f()<ef[答案]C[解析]∵函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)的導(dǎo)數(shù)F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的減函數(shù)，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f()<ef(0)．故選C.4．(·陜西文，10)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為()A．y＝eq\f(1,2)x3－eq\f(1,2)x2－x B．y＝eq\f(1,2)x3＋eq\f(1,2)x2－3xC．y＝eq\f(1,4)x3－x D．y＝eq\f(1,4)x3＋eq\f(1,2)x2－2x[答案]A[解析]本題考查了導(dǎo)數(shù)公式，切線方程等．應(yīng)采取逐項驗證法．A項中y′＝eq\f(3,2)x2－x－1，當(dāng)x＝0時y′|x＝0＝－1，則過(0,0)點的切線方程恰為y＝－x，同理過(2,0)點的切線也為y＝3x－6.選A.5．(·遼寧理，11)當(dāng)x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－5，－3] B．[－6，－eq\f(9,8)]C．[－6，－2] D．[－4，－3][答案]C[解析]當(dāng)x>0時，a≥eq\f(1,x)－eq\f(4,x2)－eq\f(3,x3)恒成立．令eq\f(1,x)＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.∴a≥t－4t2－3t3恒成立．令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2對稱軸t＝－eq\f(8,18)＝－eq\f(4,9)，∴函數(shù)g′(t)在[1，＋∞)上減函數(shù)而且g′(1)＝－16<0，∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立．∴g(t)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，∴g(t)max＝g(1)＝－6.當(dāng)x<0時，a≤eq\f(1,x)－eq\f(4,x2)－eq\f(3,x3)恒成立∵x∈[－2,0)，∴t≤－eq\f(1,2)，令g′(t)＝0，∴t＝－1，∴g(t)在(－∞，－1]上為減函數(shù)，在(－1，－eq\f(1,2)]上為增函數(shù)，∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴－6≤a≤－2.二、填空題6．(·鄭州網(wǎng)校期中聯(lián)考)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．[答案]b≤－1[解析]f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)，∴－x＋eq\f(b,x＋2)≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.7．下圖為函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖像，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式x·f′(x)<0的解集為__________________．[答案](－∞，－eq\r(3))∪(0，eq\r(3))[解析]由f(x)的圖像知，f(x)在(－∞，－eq\r(3))和(eq\r(3)，＋∞)上為增函數(shù)，在(－eq\r(3)，eq\r(3))上為減函數(shù)，∴當(dāng)x∈(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－eq\r(3)，eq\r(3))時，f′(x)<0.∴x·f′(x)<0的解集為(－∞，－eq\r(3))∪(0，eq\r(3))．三、解答題8．已知函數(shù)f(x)與g(x)均為[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，證明：x∈[a，b]時，f(x)≥g(x)．[解析]設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)，則F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0.所以F(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增．所以任取x∈[a，b]，有F(x)≥F(a)，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)＝0，即f(x)≥g(x)．9．當(dāng)0<x<eq\f(π,2)時，求證：tanx>x＋eq\f(x3,3).[解析]設(shè)f(x)＝tanx－(x＋eq\f(x3,3))，則f′(x)＝eq\f(1,cos2x)－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx＋x)(tanx－x)．∵x∈(0，eq\f(π,2))，∴tanx>x>0.∴f′(x)>0，即f(x)在(0，eq\f(π,2))內(nèi)是增加的．又∵f(0)＝0，∴當(dāng)x∈(0，eq\f(π,2))時，f(x)>0，即tanx>x＋eq\f(x3,3).10．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；(3)證明：f(x)＝x3－ax－1的圖像不可能總在直線y＝a的上方．[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a