2022年湖北省黃石市(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

黃石市2022年初中畢業(yè)生學業(yè)水平考試

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.的絕對值是（）

A.1-72B.V2-1C.1+72D.±（72-1）

2.下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

幾何體

4.下列運算正確的是（)

域

A.a9-^=a2B.a6a3=a2C.a2-a3=a6D.(-2/=4//

x1

5.函數(shù)/t--;的自變量x的取值范圍是（）

Vx+3x-1

A.尤w—3且Xw1B.%>—3且工。1C.x>-3D.3且xwl

6.我市某校開展共創(chuàng)文明班，一起向未來的古詩文朗誦比賽活動，有10位同學參加了初賽，按初賽成績由高到低

取前5位進入決賽.如果小王同學知道了自己的成績后，要判斷能否進入決賽，他需要知道這10位同學成績的

()

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

7.如圖，正方形。鉆。的邊長為起，將正方形Q46c繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45。，則點B的對應(yīng)點⑸的坐標為

()

yk

B\-----C

AOx

A.(-72,0)B.(-72,0)C.(0,0)D.(0,2)

8.如圖，在4ABe中，分別以A,c為圓心，大于LAC長為半徑作弧，兩弧分別相交于M,N兩點,作直線

2

MN,分別交線段BC,AC于點。，E,若AE=2cm,△ABD的周長為11cm,貝i]ABC的周長為()

A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm

9.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而

無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)

接正二十四邊形，邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長.再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該

圓直徑的比''來計算圓周率.設(shè)圓的半徑為R,圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(=6尺，則乃土1L=3.再利用圓

的內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率則圓周率約為()

C.12sin30°D.12cos30°

10.已知二次函數(shù)丁=。必+法+。的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線X=—1,有以下結(jié)論：?abc<0；②若r

為任意實數(shù)，則有a—法③當圖象經(jīng)過點(L3)時，方程cf+bx+c—3=0的兩根為為，巧

(%[<x2),則%+3々=0,其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題(本大題共8小題，第11-14每小題3分，第15-18每小題4分，共28分)

11.計算：(—2)2—(2022—6)°=.

12.分解因式：尤3y-9xy=.

13.據(jù)新華社2022年1月26日報道，2021年全年新增減稅降費約1.1萬億元，有力支持國民經(jīng)濟持續(xù)穩(wěn)定恢復用

科學計數(shù)法表示1.1萬億元，可以表示為_________元.

14.如圖，圓中扇子對應(yīng)的圓心角a(a<180?)與剩余圓心角￡的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若

黃金比取0.6,則力一1的度數(shù)是

11x+a

15.已知關(guān)于x的方程1十二^元新的解為負數(shù)’則"的取值范圍是--------

16.某校數(shù)學興趣小組開展無人機測旗桿的活動：已知無人機的飛行高度為30m,當無人機飛行至A處時，觀測

旗桿頂部的俯角為30。，繼續(xù)飛行20m到達8處，測得旗桿頂部的俯角為60。，則旗桿的高度約為

m.（參考數(shù)據(jù)：/土1.732,結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）

17.如圖，反比例函數(shù)y=七的圖象經(jīng)過矩形A3CD對角線的交點E和點A,點8、C在x軸上，△OCE的面積

x

為6,貝！J左=______________

18.如圖，等邊.ABC中，A3=10,點E為高AD上的一動點，以BE為邊作等邊qBEF,連接。歹，CF,

則ZBCF=,FB+ED的最小值為.

三、解答題（本大題共7小題，共62分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

及先化簡’再求值：『占卜勺詈’從3/，2中選擇合適〃的值代入求值.

20.如圖，在_ABC和_ADE中，AB=AC,AD=AE，ZBAC=ZDAE=90°,且點。在線段8C上，連

CE.

(1)求證：/XAB。名△ACE；

(2)若NE4c=60°,求NCED的度數(shù).

21.某中學為了解學生每學期誦讀經(jīng)典情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了部分學生上一學期閱讀量，學校將閱讀量

分成優(yōu)秀、良好、較好、一般四個等級，繪制如下統(tǒng)計表：

等級一般較好良好優(yōu)秀

閱讀量/本3456

頻數(shù)12a144

頻率0.240.40bC

請根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查一共隨機抽取了名學生；表中,b=,。=,

(2)求所抽查學生閱讀量眾數(shù)和平均數(shù).

(3)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀等級學生有4人，其中僅有1名男生.現(xiàn)從中任選派2名學生去參加讀書分享會，請用樹狀

圖法或列表法求所選2名同學中有男生的概率

22.閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程(必］一13k+36=0,如果我們把爐看作一個整體，然后設(shè)>=/，則原方程可化為

2

y-13y+36=0,經(jīng)過運算，原方程的解為42=土2,x3J4=±3.我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換

元法.

材料2

已知實數(shù)W滿足〃寧—“2—1=0,"2—"—1=0，且〃ZW",顯然機，〃是方程f—%—1=()的兩個不相等的

實數(shù)根，由書達定理可知加+〃=1,mn=-1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程無4_5無2+6=0的解為；

(2)間接應(yīng)用：

已知實數(shù)a,6滿足：2/—7/+1=0，2Z/—7。2+1=。且標b,求/+/的值；

(3)拓展應(yīng)用：

己知實數(shù)尤，y滿足：一TH—3=1,4―〃=7且”>0，求一值.

mmm

23.某校為配合疫情防控需要，每星期組織學生進行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學生錯峰進入操場進行核酸檢

測情況，調(diào)查了某天上午學生進入操場的累計人數(shù)y(單位：人)與時間無(單位：分鐘)的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變

化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：y=\，數(shù)據(jù)如下表.

640,(8<%<10)

時間X(分鐘)0123.??88＜三10

累計人數(shù)y(人)0150280390???640640

(1)求a,b,c的值；

(2)如果學生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排隊人數(shù)的

最大值(排隊人數(shù)-累計人數(shù)-已檢測人數(shù))；

(3)在(2)的條件下，全部學生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分鐘讓全部學生完成核酸檢

測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點？

24.如圖?！?是(。直徑，A是：)0上異于C,。的一點，點8是。C延長線上一點，連接AB、AC>AD，且

ZBAC=ZADB.

(1)求證：直線A3是。。的切線；

(2)若BC=2OC,求tan/ADfi的值；

(3)在(2)的條件下，作NC4。的平分線釬交：。于P,交CD于E,連接PC、PD,若AB=2?，求

AE-AP的值.

22

25.如圖，拋物線y=——/+—％+4與坐標軸分別交于A,B,C三點,P

33

是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標為m.

(1)A,B,C三點的坐標為,

(2)連接AP,交線段于點。，

PD

①當CP與x軸平行時，求一值；

DA

PD

②當與無軸不平行時，求——的最大值;

CPDA

(3)連接CP,是否存在點P,使得NBCO+2NPCB=90。，若存在，求相的值，若不存在，請說明理由.

黃石市2022年初中畢業(yè)生學業(yè)水平考試

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.的絕對值是（）

A.1-72B.V2-1C.1+72D.±（72-1）

【答案】B

【分析】根據(jù)絕對值的意義求解即可.

【詳解】解：???、歷>1,

??11—V2I=Vz—1>

故選：B.

【點睛】本題考查絕對值，估算無理數(shù)，熟練掌握一個正數(shù)的絕對值是它的本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反

相數(shù)，0的絕對值中0是解題的關(guān)鍵.

2.下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可.

【詳解】解：A：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意;

B：不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C：不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D：不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：A.

【點睛】本題主要考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形：在同一平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折

疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180

度，旋轉(zhuǎn)后的圖形和原圖完全重合，那么這個圖形就叫做中心圖形.

3.由5個大小相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，它的主視圖是（）

幾何體

【答案】B

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中，看得見的用實

線，看不見的用虛線，虛實重合用實線.

【詳解】解：從正面看，底層是三個小正方形，上層的左邊是一個小正方形，

故選：B.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

4.下列運算正確的是（）

Aa9-a1=a2B.a6-?a3=a2C.a2-a3=a6D.（-2。%）"=4。方

【答案】D

【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)幕的乘處法法則以及積的乘方運算法則即可求出答案.

【詳解】解：A./與/不是同類項，所以不能合并，故A不符合題意

B.原式=/,故B不符合題意

C.原式=/,故C不符合題意

D.原式=4a72,故D符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查合并同類項法則，同底數(shù)幕的乘處法法則以及積的乘方運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

X1

5.函數(shù)y=/T--7的自變量x的取值范圍是()

Jx+3x-1

A.xw—3且xwlB.%>-3且xwlC.x>—3D.x>-3J!Lx1

【答案】B

【分析】直接利用二次根式有意義條件、分式有意義的條件分析得出答案.

%+3>0

詳解】解：依題意，\,c

%-1^0

龍〉一3且xw1

故選B

【點睛】此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，正確掌握二次根式與分式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

6.我市某校開展共創(chuàng)文明班，一起向未來的古詩文朗誦比賽活動，有10位同學參加了初賽，按初賽成績由高到低

取前5位進入決賽.如果小王同學知道了自己的成績后，要判斷能否進入決賽，他需要知道這10位同學成績的

()

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】C

【分析】共有10名同學參加比賽，取前5名進入決賽，而成績的中位數(shù)應(yīng)為第5,第6名同學的成績的平均數(shù)，

如果小王的成績大于中位數(shù)，則在前5名，由此即可判斷.

【詳解】解：..?一共有10名同學參加比賽，取前5名進入決賽，

成績的中位數(shù)應(yīng)為第5,第6名同學的成績的平均數(shù)，

如果小王的成績大于中位數(shù)，則可以晉級，反之則不能晉級，

故只需要知道10名同學成績的中位數(shù)即可，

故選：C.

【點睛】本題考查求一組數(shù)的中位數(shù)，中位數(shù)的實際應(yīng)用，能夠求出一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖，正方形Q43c的邊長為0,將正方形Q46c繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45。，則點B的對應(yīng)點區(qū)的坐標為

()

VA

B\------------C

AOx

A.(-72,0)B.(-72,0)C.(0,72)D.(0,2)

【答案】D

【分析】連接。8,由正方形ABC。繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°,推出/4。月=45°,得到△耳。耳為等腰直角三

角形，點與在y軸上，利用勾股定理求出。與即可.

【詳解】解：連接。2,

..?正方形ABCD繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°,

NAOA=45°,ZAOB=45°,

：.ZAiOBl=45°,

為等腰直角三角形，點均在y軸上，

VZB^O=90°,A4=窗=血，

/.OB}=^B^+OA^=72+2=2,

：.B1(0,2),

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角證明點&在y軸上.

8.如圖，在4ABe中，分別以A,C為圓心，大于LAC長為半徑作弧，兩弧分別相交于M,N兩點，作直線

2

MN,分別交線段BC,AC于點。，E,若AE=2cm,△A3。的周長為11cm,貝i]ABC的周長為()

A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm

【答案】C

【分析】根據(jù)作法可知MN垂直平分AC,根據(jù)中垂線的定義和性質(zhì)找到相等的邊，進而可算出三角形ABC的周

長.

【詳解】解：由作法得MN垂直平分AC,

DA=DC,AE=CE=2cm,

：△A3。的周長為11cm,

：.AB+BD+AD=ll,

：.AB+BD+DC=11,即AB+BC=11,

.?.△ABC的周長=A2+BC+AC=H+2X2=15(cm),

故選：C.

【點睛】本題考查線段的中垂線的定義以及性質(zhì)，三角形的周長，能夠熟練運用線段中垂線的性質(zhì)是解決本題的

關(guān)鍵.

9.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而

無所失矣”

,即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十

四邊形，....邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長.再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的

比''來計算圓周率.設(shè)圓的半徑為R,圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長4=6k，則萬土1L=3.再利用圓的內(nèi)接正

2R

十二邊形來計算圓周率則圓周率約為()

C.12sin30°D.12cos30°

【答案】A

【分析】求出正十二邊形中心角，利用十二邊形周長公式求解即可.

【詳解】解：：十二邊形44A2是正十二邊形,

360°

404=^^=30。,

..??！?，44于8，又=

：.Z^OH=15。，

圓內(nèi)接正十二邊形的周長，i2=12x27?sin15°=247?sin150,

TC~=12sinl5°

2R

故選：A.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，求出正十二邊形的周長是解題的關(guān)

鍵.

10.已知二次函數(shù)y=ad+6x+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=—1,有以下結(jié)論：?abc<0；②若r

為任意實數(shù)，則有a-4③當圖象經(jīng)過點(L3)時，方程

。%2+笈+。一3=0的兩根為王1，巧（不</），則石+3%=0,其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】利用拋物線開口方向得到。>0,禾U用拋物線的對稱軸方程得到3=2。>0,利用拋物線與y軸的交點位

置得到c<0,則可對①進行判斷；利用二次函數(shù)當x=-l時有最小值可對②進行判斷；由于二次函數(shù)

y=奴？+6x+c與直線y=3的一個交點為（1,3）,禾!］用對稱性得到二次函數(shù)y=ar2+6x+c與直線y=3的另一個交

點為（-3,3）,從而得到修=-3,x2=l,則可對③進行判斷.

【詳解】???拋物線開口向上，

,?a>0,

b

:拋物線的對稱軸為直線x=—1,即》=——=-1,

2a

b=2a>0,

???拋物線與y軸的交點在x軸下方，

c<0,

：.abc<0,所以①正確；

???兀=一1時，y有最小值，

??a—b+c<at1+bt+c（，為任意實數(shù)），BPa—bt<at2+b，所以②正確；

??,圖象經(jīng)過點（1,3）時，代入解析式可得。=3—3a,

2

方程ar?+樂+c—3=0可化為ax+2ax-3a=0，消a可得方程的兩根為石=-3,x2=1f

??,拋物線的對稱軸為直線％=-1,

?，?二次函數(shù)》=ax2+Zzx+c與直線y=3的另一個交點為（一3,3）,

%]=-3,%=1代入可得%1+3元2=。，

所以③正確.

綜上所述，正確的個數(shù)是3.

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)。決定拋物線的開口方向和大小.當。＞0時，拋物

線向上開口；當。＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置：當。與6同號

時，對稱軸在y軸左；當。與b異號時，對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于

(0,c).

二、填空題(本大題共8小題，第11-14每小題3分，第15-18每小題4分，共28分)

11.計算：(—2)2—(2022—石)°=.

【答案】3

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法與零次幕進行計算即可求解.

【詳解】解：原式=4-1=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握零次幕以及有理數(shù)的乘方運算是解題的關(guān)鍵.

12.分解因式：x3y-9xy=.

【答案】xy(x+3)(x-3).

【分析】先提取公因式x,再利用平方差公式進行分解.

【詳解】%3y-9xy

=xy(x2-9)

=孫(尤+3)(尤-3)

故答案為：xy(x+3)(x-3).

【點睛】此題主要考查了分解因式，根據(jù)題目選擇適合的方法是解題關(guān)鍵.

13.據(jù)新華社2022年1月26日報道，2021年全年新增減稅降費約1.1萬億元，有力支持國民經(jīng)濟持續(xù)穩(wěn)定恢復用

科學計數(shù)法表示1.1萬億元，可以表示為__________元.

【答案】l.lxlO12

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為“X10〃的形式，其中l(wèi)W|a|＜10，〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。

時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，n

是正整數(shù).

【詳解】解：1.1萬億=1100000000000=1.1X1012.

故答案為：1.1X1012.

【點睛】此題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為。義10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,”為

整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定。的值以及”的值.

14.如圖，圓中扇子對應(yīng)的圓心角&(?<180?)與剩余圓心角￡的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若

黃金比取0.6,則力一1的度數(shù)是

【答案】90。##90度

【分析】根據(jù)題意得出a=0.6￡,結(jié)合圖形得出￡=225。，然后求解即可.

【詳解】解：由題意可得：a：。=06,即a=0.6/，

：a+S=360°,

：.0.6/3+/3=360°,

解得：￡=225°,

."=360。-225。=135。，

.\/3-a=90°,

故答案為:90°.

【點睛】題目主要考查圓心角的計算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，得出兩個角度的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

11x+a1

15.已知關(guān)于x的方程一+—-=—~元的解為負數(shù)，則。的取值范圍是__________.

xx+1x{x+1)

【答案】。<1且。/0

【分析】把?？醋鞒?shù)，去分母得到一元一次方程，求出X的表達式，再根據(jù)方程的解是負數(shù)及分母不為

0列不等式并求解即可.

11x+a

【詳解】解：由一+77T元看得無="T'

x

11x+a

關(guān)于X的方程一+—7=—~-的解為負數(shù),

Xx+1x{x+1）

x<0a—1<0a<\

xwO,即《a—1w0,解得awl,即〃<1且〃wO,

xw—1aw0

故答案為：〃<1且。。0.

【點睛】本題考查解分式方程，根據(jù)題意及分式的分母不等于零列出不等式組是解決問題的關(guān)鍵.

16.某校數(shù)學興趣小組開展無人機測旗桿的活動：已知無人機的飛行高度為30m,當無人機飛行至A處時，觀測

旗桿頂部的俯角為30。，繼續(xù)飛行20m到達3處，測得旗桿頂部的俯角為60。，則旗桿的高度約為

.m.（參考數(shù)據(jù)：小1732,結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）

【分析】設(shè)旗桿底部為點C,頂部為點。，過點。作。ELA8,交直線于點E.設(shè)。E=xm,在RrZkBOE中,

CktQnoDEX6

tan600=—=—=V3,進而求得AE,在中，AE~~3.求得了，根據(jù)

BEBE20+—%

3

CD=CE-DE可得出答案.

【詳解】解：設(shè)旗桿底部為點G頂部為點，延長CD交直線于點E,依題意則OE,AS

則CE=30m,AB=20m,ZEAD=30°,ZEBD=60°,

設(shè)DE=xm,

在放中，tan60°=-=-=

BEBE

解得3E=4lx

3

則AE=A5+BE=(20+m,

DFx_^3

tan30°=——

在Rf△?!￡)￡■中,AE20+3X=5'

3

解得x=106al7.3m,

：.CD=CE-DE=12Jm.

故答案為：12.7.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

k

17.如圖，反比例函數(shù)y二—的圖象經(jīng)過矩形A5co對角線的交點E和點A,點5、C在x軸上，△OCE的面積

x

為6,貝！|左=

【分析】如圖作EPLBC,由矩形的性質(zhì)可知跖=,A3,設(shè)E點坐標為（a,b）,

則A點坐標為（c,2b）,根據(jù)

2

點A,E在反比例函數(shù)y=幺上，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可列出ab=仁2bc,

根據(jù)三角形。EC的面積可列

X

出等式，進而求出k的值.

（詳解］解：如圖作EFLBC,則跖=工,

2

設(shè)E點坐標為(a,b),則A點的縱坐標為26,

則可設(shè)A點坐標為坐標為(c,2b),

k

:點A,E在反比例函數(shù)y=—上，

x

/.ab=k=2bc,解得：a=2c,BF=FC=2c-c=c,

OC=3c,

故Sok=工義OCx石尸=3cx/?=6,解得：bc=4,

k=2bc=8,

故答案為：8.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖形，反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，能夠熟練掌握反比例函數(shù)系

數(shù)k的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.

18.如圖，等邊,ABC中，AB=10,點E為高A。上的一動點，以BE為邊作等邊，BEF，連接。R，CF,

則ZBCF=,FB+ED的最小值為.

【答案】①.30°##30度②.573

【分析】①一ABC與，5跖為等邊三角形，得到&L=3C,BE=BF，ZABE=ZCBF,從而證

△BAE注Z\BCF(SAS),最后得到答案.

②過點。作定直線CP的對稱點G,連CG,證出/XPCG為等邊三角形，c/為。G的中垂線，得到

FD=FG,FB+FD=FB+FG>BG,再證；BCG為直角三角形，利用勾股定理求出3G=5石，即可得

到答案.

【詳解】解：①；..ABC為等邊三角形，

：.BA=BC,AD±BC,

：.ZBAE=-ZBAC=3Q°,

2

：,BEF是等邊三角形,

VZEBF=ZABC=60°,BE=BF，

：.ZABE=ZABC-ZEBC=^-ZEBC,

ZCBF=ZEBF-ZEBC=60°-ZEBC,

/.ZABE=ZCBF,

在，BAE和△BCE中

BA=BC

<ZABE=ZCBF

BE=BF

△BAEdBCF(SAS),

得N￡AE=NBCN=30°；

故答案為：30°.

②(將軍飲馬問題)

過點D作定直線CF的對稱點G,連CG,

??.△DCG為等邊三角形，C/為。G的中垂線，F(xiàn)D=FG,

：.FB+FD=FB+FG,

連接BG,

/.FB+FD=FB+FG>BG,

又DG=DC==BC,

2

.5CG為直角三角形，

?/BC=10,CG=5,

3G=5百，

/.EB+ED的最小值為5百.

故答案為：573.

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及性質(zhì),

勾股定理等內(nèi)容，熟練運用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強的綜合性.

三、解答題（本大題共7小題，共62分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

1+2]+/+6；+9,從一3,J,2中選擇合適的。的值代入求值.

19.先化簡，再求值:

6Z+1/4+1

【分析】先根據(jù)分式混合運算法則進行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

【詳解】解：1+2a?+6〃+9

。+1

_a+3(〃+3)2

a+1a+1

a+3a+1

a+1(a+3)2

1

a+3

:a+1w0且(a+3/w0,

ctw—1且aw—39

a=2,

當a=2時，原式=----二一

2+35

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則，是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在一ABC和.ADE中，AB=AC,AD=AE，ZBAC^ZDAE=90°,且點。在線段BC上，連

CE.

(1)求證：△ABD名△ACE；

(2)若NE4c=60°,求NCED的度數(shù).

【答案】(1)見解析(2)30°

【分析】(1)證出/BAZ)=/CAE,由SAS證明△A8Og△ACE即可；

(2)先由全等三角形的性質(zhì)得到NACE=NABD,再由，ABC和.ADE都是等腰直角三角形，得到

/46￡=/45￡>=45。且/4￡。=45°,利用三角形內(nèi)角和定理求出NAEC的度數(shù)，即可求出NCa的度數(shù).

【小問1詳解】

證明：VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NE4￡)=NC4E.

在△A3。與，ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

/\ABDACE(SAS)；

【小問2詳解】

解：由(1)△ABD名△ACE得NACE=NABD,

又：,A5C和，ADE都是等腰直角三角形，

二ZACE=ZABD=45°且ZAED=45°,

在，ACE1中：/FAC=6005,ZACE=45°

ZAEC=180°-60°—45°=75°,

NCED=ZAEC-ZAED=75°-45°=30°.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的

性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

21.

某中學為了解學生每學期誦讀經(jīng)典的情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了部分學生上一學期閱讀量，學校將閱讀量分

成優(yōu)秀、良好、較好、一般四個等級，繪制如下統(tǒng)計表：

等級一般較好良好優(yōu)秀

閱讀量/本3456

頻數(shù)12a144

頻率0.240.40bC

請根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查一共隨機抽取了名學生；表中,b=,c=.

(2)求所抽查學生閱讀量的眾數(shù)和平均數(shù).

(3)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀等級學生有4人，其中僅有1名男生.現(xiàn)從中任選派2名學生去參加讀書分享會，請用樹狀

圖法或列表法求所選2名同學中有男生的概率

【答案】(1)50。=20,6=0.28,c=0.08

(2)眾數(shù)為4,平均數(shù)為4.2

⑶I

【分析】對于(1),先求出總數(shù)，根據(jù)總數(shù)X頻率求出°,再根據(jù)頻數(shù)+總數(shù)求出6,最后用1分別減去三組數(shù)據(jù)

的頻率求出C即可；

對于(2),根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)的定義解答即可；

對于(3),列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率公式計算即可.

【小問1詳解】

14

124-0.24=50,a=0.40x50=20,b=—=0.28,c=1-0.24-0.40-0.28=008；

50

故答案為:5020,0.28,0.08；

【小問2詳解】

:閱讀量為4本的同學最多，有20人，

；?眾數(shù)為4；

平均數(shù)為￡><(3x12+4x20+5x14+6x4)=4.2；

【小問3詳解】

記男生為4女生為51,B,,B3,列表如下:

B3

ABIB2

AAB}AB2A片

B]AB出2B1B3

當B2AB?B[B2B3

BAB3B2

B33B再

由表可知，在所選2名同學中共有12種選法，其中必有男生的選法有6種，

所求概率為：P=—=-.

122

【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布表，求眾數(shù)和平均數(shù)，列表(樹狀圖)求概率等，掌握定義和計算公式是解題

的關(guān)鍵.

22.閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程(丁『-13/+36=0,如果我們把公看作一個整體，然后設(shè)丁=/,則原方程可化為

/-13>+36=0,經(jīng)過運算，原方程的解為苞2=±2,x34=±3.我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換

元法.

材料2

己知實數(shù)相，”滿足〃，一m_i=o，〃2_"_]=0,且利W八,顯然優(yōu)，〃是方程V—1=0的兩個不相等的

實數(shù)根，由書達定理可知〃z+"=l,mn=-1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程_5尤2+6=0的解為；

(2)間接應(yīng)用：

已知實數(shù)mb滿足：2a4—7/+i=o，2/—7廿+1=0且標b,求/+/的值；

(3)拓展應(yīng)用：

已知實數(shù)無，y滿足：-TH—^=7,九=7且">0，求一的值.

mmm

【答案】(1)xx—，x2=—^2,x3=5/3，x4=—A/3

⑵竺或45±7q

44

(3)15

【分析】(1)利用換元法降次解決問題；

(2)模仿例題解決問題即可；

(3)令二?="，-”=b,則〃+4-7=0,b~+6=0，再模仿例題解決問題.

m~

【小問1詳解】

解：令尸產(chǎn),則有)？_5>6=0,

(y-2)(y-3)=0,

?'%=2,>2=3,

?,?%2=2或3,

,?X[—,x?——>^2,,X4=9

故答案為：M=A/2，x2=—V2，七=y/3，x4=—V3；

【小問2詳解】

解：Va1b,

[242或〃2=)2(〃=詢

①當〃2。〃時，令〃2=加，/=〃，

根w〃則2根2-7m+l=0，2n2一7〃+1=0,

??.m,〃是方程2%2一7%+1=0的兩個不相等的實數(shù)根，

,7

m+n=一

?2

??1'

mn--

I2

止匕時a4+b4=m2+n2=+nf-2mn=f；

②當儲=》2（a=—0）時，/=4=7±普,

此時。4+/=2/=2（/『=2745+7741

土尸;=；

綜上/+入竺或竺二叵

44

【小問3詳解】

解：令」=a,-n=b,則t^+a-7=0，b~+Z?-7=0>

nr

,：n>0,

——W—n即aib,

m

???〃，Z?是方程%2+%—7=0的兩個不相等的實數(shù)根，

[a+b=-l

ab-^1

i

故一-+=/+/=（［+人）9—2ab=15.

m

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，累的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理

解題意，學會模仿例題解決問題.

23.某校為配合疫情防控需要，每星期組織學生進行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學生錯峰進入操場進行核酸檢

測情況，調(diào)查了某天上午學生進入操場的累計人數(shù)y（單位：人）與時間％（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變

ax+bx+c（0<x<8）

化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：y=\，數(shù)據(jù)如下表.

640,（8<%<10）

時間X（分鐘）0123???88<x,,10

累計人數(shù)y（人）0150280390???640640

（1）求〃，b,c的值；

（2）如果學生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排隊人數(shù)的

最大值（排隊人數(shù)-累計人數(shù)-已檢測人數(shù)）；

（3）在（2）的條件下，全部學生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20

分鐘讓全部學生完成核酸檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點？

【答案】（1）a=-10,6=160,c=0

（2）490人（3）從一開始應(yīng)該至少增加3個檢測點

【分析】（1）根據(jù)題意列方程，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）根據(jù)排隊人數(shù)=累計人數(shù)-已檢測人數(shù)，首先找到排隊人數(shù)和時間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性

質(zhì)，找到排隊人數(shù)最多時有多少人；8分鐘后入校園人數(shù)不再增加，檢測完所有排隊同學即完成所有同學體溫檢

測；

（3）設(shè)從一開始就應(yīng)該增加m個檢測點，根據(jù)不等關(guān)系“要在20分鐘內(nèi)讓全部學生完成體溫檢測”，建立關(guān)于m

的一元一次不等式，結(jié)合m為整數(shù)可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

(1)將(0,0),(1,150),(2,280)代入丁=。/+6犬+f,

c=0

得<a+b+c=150,

4a+2b+c=280

解之得a=—10,6=160,c=0；

【小問2詳解】

-10X2+160X(0<X<8)

設(shè)排隊人數(shù)為w,由（1）知y=<

640(8<x<10)

由題意可知，w=y-20x,

當0WxW8時，y--10x2+160%,w=-10x2+160x-20x=-10（x-7）*+490

，x=7時，排隊人數(shù)w的最大值是490人，

當8<xW10時，y=640,w=640-20%,

：w隨自變量尤的增大而減小，

A440<w<480,

由480<490得，排隊人數(shù)最大值是490人；

【小問3詳解】

在（2）的條件下，全部學生完成核酸檢測時間=640+（4x5）=32（分鐘）

640

設(shè)從一開始增加，個檢測點，則所詬支。解得2.4，“為整數(shù),

...從一開始應(yīng)該至少增加3個檢測點.

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式

的應(yīng)用，理解題意，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵

24.如圖CD是；O直徑，A是。。上異于C,。的一點，點B是DC延長線上一點，連接A3、AC,AD,且

ZBAC=ZADB.

(1)求證：直線AB是。。的切線；

(2)若BC=2OC,求tanNADS的值；

(3)在(2)的條件下，作NC4。的平分線"交于P,交CD于E,連接PC、PD，若43=2#，求

AE-AP的值.

【答案】(1)見解析(2)叵

2

⑶4x/2

【分析】(1)如圖所示，連接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到NQ4C+NQ4D=90。，再證明

NQ4D=/B4。即可證明結(jié)論；

(2)先證明4s△BAD,得到一=——，令半徑OC=O4=r,則6C=2r,OB=3r,利用勾股定理

ADBA

求出AB=2虛/，解直角三角形即可答案;

—=^L,AC2+AD2^CD2,解得AC=2,AD=2及,證明

(3)先求出CD=2g,在RtZXCAD中,

AD2

ACAP

△CAPSLEAD,得到——=——,則=AC.AZ>=40.

AEAD

【小問1詳解】

解：如圖所示，連接04,

是一。直徑，

ZCAD=90°,

/.ZOAC+ZOAD=90°,

又OA=OD，

：.ZOAD=ZODA,

?1,ZBAC=ZADB,

ZOAD^ZBAC,

ABAC+ZOAC=90°,即ZBAO=90°,

AB±OA,

又為半徑，

直線AB是。，O的切線；

【小問2詳解】

解：?.,44C=NAT>3,ZB=ZB，

???△BCA—ABAD,

.ACBC

??=,

ADBA

由5C=2OC知，令半徑OC=O4=〃，則5C=2r,OB=3r,

在及△BAO中，AB=NOB2-OR=26,

在RtACAD中，tanZADC=,