2022~2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編-軸對(duì)稱(chēng)（含答案解析）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022~2023學(xué)年北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編——軸對(duì)稱(chēng)參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題）1．（2022秋?西城區(qū)期末）以下是用電腦字體庫(kù)中的一種篆體寫(xiě)出的“誠(chéng)信友善”四字，若把它們抽象為幾何圖形，從整體觀察（個(gè)別細(xì)微之處的細(xì)節(jié)可以忽略不計(jì)），其中大致是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，B，C選項(xiàng)中的字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；D選項(xiàng)中的字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2022秋?平谷區(qū)期末）以下四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．綠色食品 B．循環(huán)回收 C．節(jié)能 D．節(jié)水【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，由此即可判斷．【解答】解：下四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是綠色食品標(biāo)志，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義．3．（2022秋?懷柔區(qū)期末）下列圖標(biāo)是軸對(duì)稱(chēng)圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：B，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；A選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．4．（2022秋?密云區(qū)期末）《國(guó)語(yǔ)?楚語(yǔ)》記載：“夫美者，上下、內(nèi)外、大小、遠(yuǎn)近皆無(wú)害焉，故曰美”．這一記載充分表明傳統(tǒng)美的本質(zhì)特征在于對(duì)稱(chēng)和諧．中國(guó)建筑布局一般都是采用均衡對(duì)稱(chēng)的方式建造，更具脫俗的美感和生命力．下列建筑物的簡(jiǎn)圖中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱(chēng)解答即可．【解答】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；B選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．5．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，兩個(gè)全等的直角三角板有一條邊重合，組成的四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、A選項(xiàng)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、B選項(xiàng)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確不符合題意；C、C選項(xiàng)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、D選項(xiàng)不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后可重合．6．（2022秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）下列圖形都是由兩個(gè)全等三角形組合而成，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、兩個(gè)全等三角形組合不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、兩個(gè)全等三角形組合不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、兩個(gè)全等三角形組合不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、兩個(gè)全等三角形組合是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案、軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，關(guān)鍵是正確找出對(duì)稱(chēng)軸的位置．7．（2022秋?密云區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（1，﹣6）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，6） D．（﹣6，1）（﹣6，1）【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變進(jìn)行求解即可．【解答】解：點(diǎn)M（1，﹣6）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（﹣1，﹣6）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于x，y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正確記憶橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．（2022秋?東城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)方形ABCD的兩條對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，鄰邊長(zhǎng)分別為4，6．若點(diǎn)A在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2）【分析】由題意判斷點(diǎn)C在第三象限，由鄰邊長(zhǎng)分別為4，6，可求解．【解答】解：∵長(zhǎng)方形ABCD的兩條對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，點(diǎn)A在第一象限，∴點(diǎn)C在第三象限，∵長(zhǎng)方形ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為4，6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫(huà)出圖形，即可找出點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【解答】解：當(dāng)AB為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)AB為底時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題．10．（2022秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm，則第三條邊的邊長(zhǎng)是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能確定【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為2cm，底邊長(zhǎng)為5cm時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5cm，底邊長(zhǎng)為2cm時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為2cm，底邊長(zhǎng)為5cm時(shí)，∵2+2＝4＜5，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5cm，底邊長(zhǎng)為2cm時(shí)，∴等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm，5cm，2cm，綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長(zhǎng)是5cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度數(shù)為α．點(diǎn)P在邊BC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)B點(diǎn)C重合），作PD⊥AB于點(diǎn)D，連接PA，取PA上一點(diǎn)E，使得在連接ED，CE并延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若記∠APC的度數(shù)為x，則下列關(guān)于∠DEF的表達(dá)式正確的是（）A．∠DEF＝2x﹣3α B．∠DEF＝2α C．∠DEF＝2α﹣x D．∠DEF＝180°﹣3α【分析】由等腰三角形的性質(zhì)求出∠CEP，由三角形外角的性質(zhì)可求∠PAB，∠DEP，由平角定義即可求出∠DEF．【解答】解：∵EC＝EP，∴∠ECP＝∠EPC＝x，∴∠CEP＝180°﹣2x，∵∠APC＝∠B+∠PAB，∴∠PAB＝∠APC﹣∠B，∴∠PAB＝x﹣α，∵ED＝EA，∴∠EAD＝∠EDA＝x﹣α，∴∠DEP＝∠EAD+∠EDA＝2x﹣2α，∵∠DEF＝180°﹣∠CEP﹣∠DEP，∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣2x）﹣（2x﹣2α）＝2α．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一邊為腰畫(huà)等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫(huà)出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多是（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A，B，C三個(gè)頂點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)可以畫(huà)出4個(gè)等腰三角形，分別以三條邊等腰三角形的底邊可以作出3個(gè)等腰三角形，最多可以作出7個(gè)不同的等腰三角形．【解答】解：①以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，△BCD是等腰三角形，②以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，△ACE就是等腰三角形；③以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)F，△BCF就是等腰三角形，交AB于點(diǎn)F'，△BCF'是等腰三角形；④作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI和△ACI都是等腰三角形，此情形點(diǎn)H與點(diǎn)I重合與④的情形重合，共計(jì)2個(gè)等腰三角形．綜上所述，最多有4個(gè)等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的定義，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，等邊△ABD和等邊△BCE中，A、B、C三點(diǎn)共線，AE和CD相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證△ABE≌△DBC，可判斷①選項(xiàng)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判斷④選項(xiàng)；作BG⊥CD于點(diǎn)G，BH⊥AE于點(diǎn)H，由S△ABE＝S△DBC可得BG＝BH，進(jìn)一步可得BF平分∠AFC，可判斷②選項(xiàng)；在AE上截取AI＝DF，連接BI，易證△ABI≌△DBF（SAS），再證明△BFI是等邊三角形，得FI＝BF，進(jìn)一步可判斷③選項(xiàng)．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正確；∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正確；作BG⊥CD于點(diǎn)G，BH⊥AE于點(diǎn)H，如圖所示：∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC，AE＝DC，∴CD?BG＝AE?BH，∴BG＝BH，∵BG⊥CD，BH⊥AE，∴點(diǎn)B在∠AFC的平分線上，∴BF平分∠AFC，故②正確；在AE上截取AI＝DF，連接BI，在△ABI和△DBF中，，∴△ABI≌△DBF（SAS），∴∠AIB＝∠DFB，∵△ABE≌△DBC，∴∠CDB＝∠EBA，∴∠DFA＝∠ABD＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠IFB＝∠BFC＝60°，∴∠AIB＝∠DFB＝120°，∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，∴∠FBI＝60°，∴△BFI是等邊三角形，∴FI＝BF，∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題為三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、等積法，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．14．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，將一張四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)D恰好落在邊AB的中點(diǎn)D'處．設(shè)S1，S2分別為△ADC和△ABC的面積，則S1和S2的數(shù)量關(guān)系是（）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝2S2 D．S1＝3S2【分析】利用折疊的性質(zhì)得出：△ADC≌△AD′C，則S△ADC＝S△AD′C，利用等底同高的三角形的面積相等即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得：△ADC≌△AD′C，∴S△ADC＝S△AD′C．∵點(diǎn)D′為AB的中點(diǎn)，∴AD′＝D′B．∵等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等，∴S△AD′C＝S△BCD′，∴，∴．∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，等底同高的三角形的每個(gè)相等，掌握折疊的性質(zhì)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共11小題）15．（2022秋?西城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣4，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，3）．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案．【解答】解：A（﹣4，﹣3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，3）．故答案為：（﹣4，3）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵．16．（2022秋?密云區(qū)期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則第三邊長(zhǎng)為9．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和9，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：當(dāng)4是腰時(shí)，因4+4＜9，不能組成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)9是腰時(shí)，4、9、9能夠組成三角形．則第三邊應(yīng)是9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?平谷區(qū)期末）命題“等邊對(duì)等角”是命題（填“真”或“假”），它的逆命題是真．【分析】先寫(xiě)出其逆命題，再判定即可．【解答】解：“等邊對(duì)等角”的逆命題是”等角對(duì)等邊“，在同一個(gè)三角形內(nèi)成立，故是真命題．【點(diǎn)評(píng)】要根據(jù)逆命題的定義，寫(xiě)出逆命題，結(jié)合三角形的性質(zhì)來(lái)判斷命題的真假．18．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠DAC＝100°，則∠C＝50°．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DAC＝∠B+∠C＝100°，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC是△ABC的一個(gè)外角，∴∠DAC＝∠B+∠C＝100°，∴∠B＝∠C＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE．則∠ADE的度數(shù)是54°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后利用BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D求得∠ADB的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和求得∠ADB的度數(shù)即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝54°，故答案為：54°．【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì)，難度不大．20．（2022秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是40°，則其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是70°，70°或40°，100°．【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為40°時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，∴等腰三角形的兩個(gè)底角＝×（180°﹣40°）＝70°；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為40°時(shí)，則另一個(gè)底角也是40°，∴等腰三角形的頂角＝180°﹣2×40°＝100°；綜上所述：等腰三角形的其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為70°，70°或40°，100°，故答案為：70°，70°或40°，100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P，連接PC．若△ABC的面積為8cm2，則△BPC的面積為4cm2．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分線，∴AP＝PD，∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP．∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP，∴．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．掌握等腰三角形“三線合一”是解答本題的關(guān)鍵．22．（2022秋?密云區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，3），B（3，﹣1），點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)PA+PB取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接BA'與y軸交于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得結(jié)論．【解答】解：如圖所示，作出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接BA'交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB＝P′A+PB＝A′B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．故答案為：（0，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)．23．（2022秋?平谷區(qū)期末）等腰三角形的一個(gè)角為80°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為20°或80°．【分析】等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是30°，則該角可能是底角，也可能是頂角，注意分情況討論．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)80°的角是底角時(shí)，則頂角度數(shù)為180°﹣80°×2＝20°；當(dāng)80°的角是頂角時(shí)，則頂角為80°．故答案為：20°或80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．24．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列四個(gè)結(jié)論中：①AF＝BF②∠AFD+∠FBC＝90°③DF⊥AB④∠BAF＝∠CAF所有正確結(jié)論的序號(hào)是：①②③．【分析】由作圖可知DF垂直平分線段AB，BE平分∠ABC，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：由作圖可知DF垂直平分線段AB，BE平分∠ABC，∴FA＝FB，DF⊥AB，故①，③正確，∴∠AFD＝∠BFD，∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，∴∠AFD+∠FBC＝90°，故②正確，由作圖不能得到④，故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．25．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于點(diǎn)D，MC⊥BC于點(diǎn)C，MC＝BC．點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在線段AD，AC上，CF＝AE，連接MF，BF，CE．（1）圖中與MF相等的線段是CE；（2）當(dāng)BF+CE取最小值時(shí)∠AFB＝95°．【分析】（1）先證明三角形全等，再由性質(zhì)求解；（2）利用（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)換為兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題，再利用三角形是內(nèi)角和求解．【解答】解：（1）∵AC＝BC，MC＝BC，∴AC＝MC，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，MC⊥BC于點(diǎn)C，∴AD∥CM，∠MCB＝90°，∴∠MCA＝∠CAD＝40°，∵CF＝AE，∴△CMF≌△ACE（SAS），∴MF＝CE，故答案為：CE；（2）∵M(jìn)F＝CE，∴BF+CE＝BF+MF，∴當(dāng)MF和BF共線時(shí)，和最小，如圖，此時(shí)MB與AC交于點(diǎn)F′，∵M(jìn)C＝BC，∠BCM＝90°，∴∠CMB＝45°，∴∠AF′B＝∠CF′M＝180°﹣∠CMB﹣∠MCA＝95°，故答案為：95．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短路徑問(wèn)題，線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共19小題）26．（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：BE＝DE；（2）若DE＝2，，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)先說(shuō)明∠CBD＝∠EDB，再利用等腰三角形的判定得結(jié)論；（2）利用角平分線的性質(zhì)先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DF⊥AB，∴CD＝DF＝．在Rt△CDE中，CE＝＝1．∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD＝＝＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線和等腰三角形，掌握角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．27．（2022秋?平谷區(qū)期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H，使DH＝AD，連結(jié)BH，構(gòu)造△BDH，通過(guò)證明△BDH與△ACD全等，△BEH為等腰三角形，使問(wèn)題得以解決（如圖2）．請(qǐng)寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程．【分析】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H，使DH＝AD，連結(jié)BH，可證明△BDH≌△CDA（SAS），則BH＝AC，∠CAD＝∠H，根據(jù)AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可證出∠H＝∠BEH，即可得出AC＝BE．【解答】證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H，使DH＝AD，連結(jié)BH，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA（SAS），∴BH＝AC，∠CAD＝∠H，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEH＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEH，∴∠H＝∠BEH，∴BH＝BE，∴AC＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AB的垂直平分線，DE分別交AC，AB于點(diǎn)E，D．（1）求證：△ABC是直角三角形；（2）求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE＝CE，設(shè)AE＝x，則EC＝4﹣x，根據(jù)勾股定理可得x2﹣32＝（4﹣x）2，再解即可．【解答】（1）證明：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，又∵42+32＝52，即AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）證明：連接BE．∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝EB，設(shè)AE＝x，則EC＝4﹣x．∴x2﹣32＝（4﹣x）2．解之得x＝，即AE的長(zhǎng)是．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理．29．（2022秋?東城區(qū)期末）課堂上，老師提出問(wèn)題：如圖1，OM，ON是兩條馬路，點(diǎn)A，B處是兩個(gè)居民小區(qū)．現(xiàn)要在兩條馬路之間的空?qǐng)鎏幗ɑ顒?dòng)中心P，使得活空?qǐng)鰟?dòng)中心P到兩條馬路的距離相等，且到兩個(gè)小區(qū)的距離也相等．如何確定活動(dòng)中心P的位置？小明通過(guò)分析、作圖、證明三個(gè)步驟正確地解決了問(wèn)題，請(qǐng)你將小明的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．步驟1分析：若要使得點(diǎn)P到點(diǎn)A，B的距離相等，則只需點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；若要使得點(diǎn)P到OM，ON的距離相等，則只需點(diǎn)P在∠MON的平分線上．步驟2作圖：如圖2，作∠MON的平分線OC，線段AB的垂直平分線DE，DE交OC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．步驟3證明：如圖2，連接PA，PB，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥ON于點(diǎn)F，PG⊥OM于點(diǎn)G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且點(diǎn)P在∠MON的平分線上（填寫(xiě)條件），∴PF＝PG（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）（填寫(xiě)理由）．∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線DE上，∴PA＝PB（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等）（填寫(xiě)理由）．∴點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)．【分析】利用角平分線的性質(zhì)，可得出PF＝PG，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可得出PA＝PB，進(jìn)而可得出點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)．【解答】證明：如圖2，連接PA，PB，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥ON于點(diǎn)F，PG⊥OM于點(diǎn)G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且點(diǎn)P在∠MON的平分線上，∴PF＝PG（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）．∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線DE上，∴PA＝PB（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等）．故答案為：點(diǎn)P在∠MON的平分線上；角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋?懷柔區(qū)期末）已知：如圖，∠ABC＝∠DBE＝90°，D為邊AC上一點(diǎn)，△ABD是等邊三角形，且AC＝DE．求證：△ABC≌△DBE．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到AB＝DB，再根據(jù)∠ABC＝∠DBE＝90°，可知△ABC和△DBE均為直角三角形，然后根據(jù)HL即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：∵△ABD是等邊三角形，∴AB＝DB，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴△ABC和△DBE均為直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．31．（2022秋?密云區(qū)期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB邊的垂直平分線分別交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝DC；（2）連接EC，若AB＝6，求△EBC的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝60°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝DB，求出∠A＝∠ABD＝30°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC；（2）判定△EBC是等邊三角形，即可求出周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE是AB邊的垂直平分線，∴AD＝DB，∴∠A＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°∴BD平分∠ABC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝DC；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴，∵DE是AB邊的垂直平分線，∴，∴BC＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴△EBC的周長(zhǎng)為9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．32．（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC與∠ABC的角平分線AD、BE分別交BC、AC邊于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）求證：△BEC是等腰三角形；（2）用等式表示線段AB、AC、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，角平分線的定義得出∠EBC＝∠C，進(jìn)而得出EB＝EC，即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，利用等邊對(duì)等角和三角形的外角得出∠F＝∠C，再證明△AFD?△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF＝AC，再根據(jù)線段的和差即可得出AB+BD＝AC．【解答】（1）證明：在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝40°，∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴△BEC是等腰三角形．（2）解：AB+BD＝AC，證明：延長(zhǎng)AB至F，使BF＝BD，連接DF，∴∠F＝∠BDF，∵∠ABC＝∠F+∠BDF＝80°，∴2∠F＝80°，∴∠F＝40°，∵∠C＝40°，∴∠F＝∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△AFD?△ACD（ASA），∴AF＝AC，∴AB+BF＝AC，即：AB+BD＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．33．（2022秋?平谷區(qū)期末）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)45°的角．作法：①作直線l，在直線l上任取一點(diǎn)O；②以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于MN兩點(diǎn)；③分別以M，N為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線l的上方交于點(diǎn)P，作直線OP；④作∠PON的角平分線OA；所以∠AON即為所求作的45°角．（1）利用直尺和圓規(guī)依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接PM，PN，∵PM＝PN，∴點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上（到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）（填推理的依據(jù)）．∵OM＝ON，∴點(diǎn)O在線段MN的垂直平分線上．∴直線OP是線段MN的垂直平分線．∴OP⊥MN．∴∠PON＝90°．∵OA平分∠PON，∴．【分析】（1）根據(jù)作法作圖即可；（2）由垂直平分線的判定可得答案．【解答】解：（1）如圖：∠AON即為所求；（2）證明：連接PM，PN，∵PM＝PN，∴點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上（到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）（填推理的依據(jù)）．∵OM＝ON，∴點(diǎn)O在線段MN的垂直平分線上．∴直線OP是線段MN的垂直平分線．∴OP⊥MN．∴∠PON＝90°．∵OA平分∠PON，∴．、故答案為：到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線的方法．34．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求證：AC⊥AB；（2）分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在AC的左側(cè)），連接CD，AD，BD．求△ABD的面積．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CBA＝∠ACB＝45°，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB＝90°，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：AC＝AD＝CD＝8，從而可得△ACD是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝60°，從而利用平角定義可得∠DAE＝30°，最后在Rt△DEA中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得DE＝4，從而利用三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠CBA＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，∴AC⊥AB；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由題意得：AC＝AD＝CD＝8，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，∴DE＝AD＝4，∴△ABD的面積＝AB?DE＝×8×4＝16，∴△ABD的面積為16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋?順義區(qū)期末）下面是曉東設(shè)計(jì)的“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線l的垂線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．作法：如圖，①任取一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與點(diǎn)P在直線l兩側(cè)；②以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作弧交直線l于A，B兩點(diǎn)；③分別以A，B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線l下方交于點(diǎn)C；④作直線PC．所以直線PC為所求作的垂線．根據(jù)曉東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接PA，PB，AC，BC，∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）（填推理的依據(jù)）．∵CA＝CB，∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上．∴直線PC為線段AB的垂直平分線．即PC⊥l．【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷點(diǎn)P、點(diǎn)C都在線段AB的垂直平分線上，則PC垂直平分AB，所以PC⊥l．【解答】（1）解：如圖，PC為所作；（2）證明：連接PA，PB，AC，BC．如圖，∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．∵CA＝CB，∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上．∴PC垂直平分AB，∴PC⊥l．故答案為：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；CA＝CB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．36．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC，A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，直線l與BC，AC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E．（1）求點(diǎn)A到BC的距離；（2）連接BE，補(bǔ)全圖形并求△ABE的面積；（3）若位于x軸上方的點(diǎn)P在直線l上，∠BPC＝90°，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1），即可求點(diǎn)A到BC的距離；（2）根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形，進(jìn)而求△ABE的面積即可；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，此時(shí)∠BPC＝90°，進(jìn)而可以寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．∴點(diǎn)A到BC的距離為5；（2）如圖即為補(bǔ)全的圖形，∵△ABE的面積＝△ABC的面積﹣△BEC的面積＝8×5﹣8×4＝4；（3）由（2）可知：位于x軸上方的點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，因?yàn)镈E＝DC＝DB＝4，所以△BDE和△CDE是等腰直角三角形，所以此時(shí)∠BEC＝∠BPC＝90°，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，三角形面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．37．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜90°），AD為BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，交AD于點(diǎn)F，作∠ABE的角平分線AD于M，交AC于N．（1）①補(bǔ)全圖形1；②求∠CBE的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）如圖2，若∠α＝45°，猜想AF與BM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；②由等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，證出∠ADB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）連接MC，證出∠MBC＝45°，證明△AEF≌△BEC（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AF＝BC，證出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC＝BM，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①補(bǔ)全圖形如下：②∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝α，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CBE＝∠DAC＝α；（2）BM．證明：連接MC，∵∠BAC＝45°，∠AEB＝90°，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，∴AE＝EB，∵BN平分∠ABE，∴∠NBE＝∠ABE＝22.5°，∵∠DAC＝∠BAC＝22.5°，∴∠EBC＝∠DAC＝∠NBE＝22.5°，∴∠MBC＝45°，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF＝BC，∵D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴BM＝MC，∵∠MBC＝45°，∴△BMC是等腰直角三角形，∴BC＝BM，∴AF＝BM．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．38．（2022秋?東城區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．∠MCA的平分線與射線BD交于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；用尺規(guī)作圖法作∠MCA的平分線；（2）求∠BEC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖法即可作∠MCA的平分線；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠CBD＝20°，∠MCE＝∠DCE＝70°，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，CE即為所求；（2）∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝20°，∵∠ACM＝180°﹣40°＝140°，CE是∠MCA的平分線，∴∠MCE＝∠DCE＝70°，∴∠BEC＝∠MCE﹣∠CBD＝70°﹣20°＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．39．（2022秋?懷柔區(qū)期末）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)完成下列作圖并解答問(wèn)題．已知：如圖△ABC．求作：△ABC邊AB上的高CD．小懷設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程如下：作法：①以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作??；②以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)E；③連接CE，交AB于點(diǎn)D．所以線段CD就是所求作的高線．（1）使用直尺和圓規(guī)，完成小懷的作圖（保留作圖痕跡）；（2）分別連接AE，BE，再將該作圖證明過(guò)程補(bǔ)充完整：由①可得：AC＝AE．∴點(diǎn)A在線段CE的垂直平分線上．到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上（填推理的依據(jù)）由②可得：BC＝BE∴點(diǎn)B在線段CE的垂直平分線上∴AB垂直平分線段CE．∴CD⊥AB即CD是△ABC邊AB上的高線．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）如圖，線段CD即為所求；（2）由①可得：AC＝AE．∴點(diǎn)A在線段CE的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上），由②可得：BC＝BE，∴點(diǎn)B在線段CE的垂直平分線上，∴AB垂直平分線段CE．∴CD⊥AB即CD是△ABC邊AB上的高線．故答案為：AC，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．40．（2022秋?懷柔區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，連接BD．（1）求證：△ABD≌△ECD；（2）若AD＝1，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出DB＝DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DBC＝∠C，然后證明△ABD≌△ECD（AAS）即可；（2）結(jié)合（1）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：在△ABC中，∠A＝90°，∵∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝30°，∵∠A＝90°，∴∠ABD＝30°，∴∠ABD＝∠C，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS）；（2）解：∵AD＝1，∴BD＝2AD＝2，∴CD＝BD＝2，∴AC＝AD+CD＝1+2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．41．（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，在∠BAC內(nèi)作射線AP（∠BAP＜30°），點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，作射線CD交AP于點(diǎn)E，連接BE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）設(shè)∠BAP＝α，求∠BCE的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（3）用等式表示EA，EB，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）先得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再得出∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，進(jìn)而得出∠CAD＝60°﹣2α，AD＝AC，得出∠ACD＝60°+α，即可得出結(jié)論；（3）如圖2，在EA上取一點(diǎn)F，使EF＝EB，先判斷出△BEF是等邊三角形，得出BF＝BE，∠EBF＝60°，再判斷出△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，∴∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠DAP＝60°﹣2α，AD＝AC，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝α；（3）EA＝EB+EC，證明：如圖2，在EA上取一點(diǎn)F，使EF＝EB，由（2）知，∠ACD＝60°+∠BAP，∵∠CAE＝60°﹣∠BAP，∴∠ACD+∠CAE＝120°，∴∠AEC＝60°，由折疊知，∠AEB＝∠AEC＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BF＝BE，∠EBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠ABF＝∠CBE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝CB，由（2）知，∠BAP＝∠BCE，∴△ABF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE，∴EA＝EF+AF＝EB+CE．【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了對(duì)稱(chēng)性，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解（3）的關(guān)鍵．42．（2022秋?西城區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，連接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）作圖與探究：①小明畫(huà)出圖1并猜想AE＝AC．同學(xué)小亮說(shuō)“要讓你這個(gè)結(jié)論成立，需要增加條件：∠ABC＝36°．”請(qǐng)寫(xiě)出小亮所說(shuō)的條件；②小明重新畫(huà)出圖2并猜想△ABE≌△DAC．他證明的簡(jiǎn)要過(guò)程如下：小明的證明：在△ABE與△DAC中，，可得△ABE≌△DAC．（ASA）請(qǐng)你判斷小明的證明是否正確并說(shuō)明理由；（2）證明與拓展：①借助小明畫(huà)出的圖2證明BE＝DE；②延長(zhǎng)AD到F，使DF＝AE，連結(jié)BF，CF．補(bǔ)全圖形，猜想∠BFE與∠AFC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【分析】（1）①增加∠ABC＝36°，證明△ABC≌△ABE（ASA），即可的結(jié)論成立；②小明證明時(shí)所使用的△DAC中的三個(gè)條件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“兩角和它們的夾邊”的關(guān)系，所以不能使用“ASA”來(lái)證明，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角定義即可解決問(wèn)題；②根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形；過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，如圖4，證明△ABE≌△CAF（SAS），可得∠E＝∠AFC，然后利用線段的和差和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】（1）解：①增加∠ABC＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DAC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠DAC＝36°，∴∠ABE＝∠ABC