環(huán)境系統(tǒng)分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃教學(xué)教程

環(huán)境系統(tǒng)分析

第10講二、動(dòng)態(tài)規(guī)劃

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是一種分析多段決定過(guò)程的數(shù)學(xué)方法，即解決多階段決策過(guò)程最優(yōu)化的一種方法。如：①河流與處理廠群的優(yōu)化問(wèn)題，約束條件為各段河流水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)，目標(biāo)函數(shù)為總處理費(fèi)用最小，決策變量為各處理廠的處理效率。

②廢水處理工藝（多段處理）的最優(yōu)處理流程選擇。動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法尤其適用于離散問(wèn)題，這是線性規(guī)劃和其它非線性規(guī)劃方法所不及的，且適用于具有序列結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的最優(yōu)化。如河流（上游對(duì)下游水質(zhì)有影響，下游卻上游無(wú)影響）1、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的特征：原始問(wèn)題可分階段。每個(gè)階段可被賦給幾種狀態(tài)。（如不同的水質(zhì)）

每個(gè)狀態(tài)都對(duì)目標(biāo)函數(shù)作出一份貢獻(xiàn)。各段狀態(tài)控制有序列遞推關(guān)系，即在某個(gè)階段，只要作出一個(gè)決定，就使該過(guò)程由所處階段的狀態(tài)變成相聯(lián)階段的一種狀態(tài)。如某處理廠的處理效率決定了后，則該河段的水質(zhì)控制成為其上一河段流下來(lái)的水質(zhì)控制問(wèn)題。

依一定順序決定每一個(gè)階段的最佳狀態(tài)，最終可得原始問(wèn)題的最優(yōu)解。（依據(jù)Bellman最優(yōu)性原理：每個(gè)階段的最優(yōu)決策具有那樣的性質(zhì)，無(wú)論是什么起始狀態(tài)和決定，余下的決定必須構(gòu)成一個(gè)關(guān)于由起始決定所得到的狀態(tài)的一個(gè)最優(yōu)決策。）無(wú)通用的解法必須針對(duì)具體問(wèn)題建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，再按動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的特征來(lái)求解。

2、動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的建立

以一個(gè)水污染控制系統(tǒng)規(guī)劃問(wèn)題為例

（1）問(wèn)題：設(shè)一河段上有三個(gè)集中排放口，河流的基本狀況如下圖所示，三個(gè)排放口由下游起往上游方向順序編號(hào)，每個(gè)排放口均未治理，排放強(qiáng)度為q1l1、q2l2和q3l3.

關(guān)于河流的數(shù)據(jù)Qin（流量）、x1、x2（河段長(zhǎng)度）、u1、u2（流速）和k1（BOD5衰減速率常數(shù)）均已知，該河段為穩(wěn)定流一維均勻河段，可以忽略彌散。在每個(gè)排放口斷面處的關(guān)于BOD的水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)已確定為L(zhǎng)1s,L2s,L3s

?，F(xiàn)狀由于排污不受限制，河流中的BOD已不符合標(biāo)準(zhǔn)。需要解決的問(wèn)題是為了達(dá)到河流BOD標(biāo)準(zhǔn)的同時(shí)治理費(fèi)用最低，決定各個(gè)排放口處要求的BOD去除率ηi（i=1,2,3）是多少。

（2）把問(wèn)題抽象為一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。一般步驟如下：a．劃分階段在每個(gè)排放口處都要選擇去除率，也即都要作出一個(gè)決定，而且在排放口斷面處的河水由于廢水的排入使BOD濃度發(fā)生突變，因而選定每個(gè)排放口斷面位置作為一個(gè)階段，定義i為階段變量，則對(duì)于本例有三個(gè)階段，i=1，2，3。

b．選定狀態(tài)變量在本例中，每個(gè)階段的決定（BOD去除率）都會(huì)影響河流中的BOD水平，河流把三個(gè)斷面連貫起來(lái)，再加上已經(jīng)確定了河流中的BOD標(biāo)準(zhǔn)，因此河水到達(dá)每個(gè)斷面時(shí)的BOD濃度Li與當(dāng)時(shí)要作的決定有直接關(guān)系，我們可以選擇Li為狀態(tài)變量（i=1，2，3），為了保證該斷面達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，一旦作出對(duì)ηi的決定，也就確定了上游來(lái)水應(yīng)有的BOD濃度Li。

c．選定決定變量決定變量取決于要決定的事情，在這里最終是要決定每個(gè)排放口的去除率，所以就可以選ηi為決定變量（i=1,2,3）d．確定狀態(tài)變換函數(shù)對(duì)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，必須是前一階段的狀態(tài)是它后一階段的狀態(tài)和決定變量的函數(shù)

在本例中從下游往上游排列階段，而下游階段（在動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題中是前一階段）的狀態(tài)Li的確是上游階段（在動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題中是下一階段）的狀態(tài)Li+1和決定變量是ηi+1的函數(shù)。若該河流可采用穩(wěn)態(tài)S-P模型來(lái)描述BOD的遷移變化，而且X1、X2足夠大，因而可忽略排放口混合段，則每個(gè)階段的狀態(tài)有以下關(guān)系：

e.建立目標(biāo)函數(shù)據(jù)本例要求，應(yīng)把費(fèi)用函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于每個(gè)排放口斷面可以認(rèn)為該處的治理費(fèi)用僅與該斷面的決定變量ηi有關(guān)，即

Ci=g(ηi)

當(dāng)排水量和濃度不變時(shí)費(fèi)用與去除率之間的關(guān)系可以是一個(gè)冪函數(shù)的關(guān)系：

Ci=pi

ηim

（2）這里為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取m=2，即

Ci=piηi2（2）

（3）f．建立約束條件依據(jù)每個(gè)排放口斷面處的BOD標(biāo)準(zhǔn)Lis和每個(gè)排放口斷面處都是完全混合的假設(shè)，可寫(xiě)出每個(gè)排放口斷面（即每個(gè)階段）的約束條件：

上式中僅ηi是要決定的變量，可把上式變?yōu)椋?/p>

（4）

g．利用Bellmavn原理順序作出最優(yōu)決定。對(duì)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題可以順序作出最優(yōu)決定，對(duì)于本例可從階段1開(kāi)始。對(duì)于階段1：目標(biāo)函數(shù)為:(5)約束條件為：

為了使式（5）取最小值，按照約束條件（6）的形式，顯然應(yīng)?。捍耄?）式得：由于狀態(tài)變量L1=f(L2、η2),而η2并未決定，L2也不知道，所以這時(shí)并不能算出η*1和C*1的值。對(duì)于階段2：目標(biāo)函數(shù)為：約束條件：把上一階層的結(jié)果（7）和狀態(tài)轉(zhuǎn)換函數(shù)代入（9）、（10）之后，在這個(gè)階段有兩種可能的選擇，一是取：

另一種可能是?。呵蠼庵蟮忙?2的表達(dá)式。仍有η3未知而使L2未知。對(duì)于階段3，目標(biāo)為：

約束條件為：代入η*1、η*2的表達(dá)式以及代入狀態(tài)轉(zhuǎn)換函數(shù)后同樣有兩種可能的解：?。≦2=Q3+q3

）或令得η3*的表達(dá)式

（16）。

至此，從式（5）至（16）為整個(gè)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。由于上游邊界條件Qin和Lin可以給定，實(shí)際上：

Q3=Qin

，

L3=Lin

(17)

所以，把已知數(shù)據(jù)代入（15）與（16）即可解得η*3的數(shù)值；再把η*3和L*3的值代入（11）與（12）式，并利用（1）得到L2即可解得η*2，最后可利用（7）方程得η*1，并計(jì)算得最優(yōu)解下的費(fèi)用函數(shù)值：

三、水污染控制系統(tǒng)最優(yōu)規(guī)劃

目標(biāo)是協(xié)調(diào)系統(tǒng)內(nèi)各組成部分之間的關(guān)系，以最低的水污染控制費(fèi)用滿足水環(huán)境質(zhì)量要求。1.按污染物歷程分類：污染源子系統(tǒng)污染物的收集、輸送子系統(tǒng)污水處理子系統(tǒng)受納水體子系統(tǒng)

2.按層次分類：流域規(guī)劃：協(xié)調(diào)各污染源的關(guān)系，保證各河段和支流滿足水質(zhì)要求（總量控制）；區(qū)域規(guī)劃：將流域規(guī)劃的結(jié)果“各段排放總量”分配給各個(gè)分污染源，并為此制訂具體的方案；設(shè)施規(guī)劃：按照區(qū)域規(guī)劃的結(jié)果，提出既能滿足污水處理效率又能使處理費(fèi)用最低的污水處理設(shè)施。3.按方法分類：（考慮處理效率和處理規(guī)模）排放口處理最優(yōu)規(guī)劃（水質(zhì)規(guī)劃）；均勻處理最優(yōu)規(guī)劃（污水處理的廠群規(guī)劃）；區(qū)域處理最優(yōu)規(guī)劃（上兩規(guī)劃的綜合）；

排放口處理最優(yōu)規(guī)劃：以每個(gè)小區(qū)的污水排放口為基礎(chǔ)，在水體水質(zhì)條件的約束下，求解各排放口的污水處理效率的最佳組合，目標(biāo)是各排放口的污水處理費(fèi)用之和最低，此規(guī)劃時(shí)，各個(gè)污水處理廠的處理規(guī)模不變，等于各小區(qū)收集的污水量。均勻處理最優(yōu)規(guī)劃：在區(qū)域范圍內(nèi)尋找最佳的污水處理廠的位置與規(guī)模的組合，在同一的污水處理效率的條件下，追求全區(qū)域的污水處理費(fèi)用最低。（可證明對(duì)任一小區(qū)，只有在全不處理（輸送到別的小區(qū)）或全部處理時(shí)系統(tǒng)的總費(fèi)用才取得極值）

區(qū)域處理最優(yōu)規(guī)劃：前兩規(guī)劃的綜合，處理規(guī)模、效率均變化尋優(yōu)；既要尋求最佳的污水處理廠的位置和容量（處理規(guī)模），又要尋求每座污水處理廠的最佳處理效率（既充分發(fā)揮污水處理系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效能，又合理利用水體的自凈能力。）

4、規(guī)劃的依據(jù)

a.水體的的自凈能力：一種自然環(huán)境資源，利用它可降低污水處理費(fèi)用，但必須與防止水體污染相協(xié)調(diào)平衡。

b．污水處理與輸送的規(guī)模經(jīng)濟(jì)效應(yīng)（正效應(yīng)）國(guó)內(nèi)較普通使用的污水處理費(fèi)有函數(shù)為：

η——處理效率Q——處理規(guī)模C——處理費(fèi)用K1、K2、K3、K4為參數(shù)

當(dāng)η為常數(shù)時(shí)，C=aQk2

a=K1+K3ηk4

k2=0.7~0.8

因?yàn)閗2＜1，所以處理單位污水的費(fèi)用將隨著處理規(guī)模的增大而下降，故大型污水處理廠（集中處理）經(jīng)濟(jì)效應(yīng)更高，輸水管道也存在類似的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，隨著輸水量的增加，輸送單位污水的費(fèi)用下降。c．污水處理效率的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)（常為負(fù)效應(yīng)）處理量不變。因?yàn)镵4＞0，所以處理單位污水所需的費(fèi)用將隨著污水處理效率的增加而增加。故規(guī)劃時(shí)應(yīng)首先致力于解決那些尚未處理的污水的治理，或者首先提高那些低水準(zhǔn)處理的污水處理程度，然后再進(jìn)行