4空間直線與平面知識梳理高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專項復(fù)習(xí)滬教版

專題1.4空間直線與平面【知識梳理】一、平面與空間中的直線1、平面表示方法平面用平行四邊形表示，常用表示方法：①一個大寫字母，②一個小寫希臘字母，③三個或者三個以上的字母．2、平面的基本性質(zhì)公理1、如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．推理模式：如圖示：應(yīng)用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗證一個面是否是平面．公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法．公理2、如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．推理模式：且且唯一如圖示：應(yīng)用：①確定兩相交平面的交線位置；②判定點在直線上公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個平面交線的方法．公理3、經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．推理模式：不共線存在唯一的平面，使得應(yīng)用：①確定平面；②證明兩個平面重合“有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性．在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證．推論1、經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面．推理模式：存在唯一的平面，使得，推論2、經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面．推理模式：存在唯一的平面，使得推論3、經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．推理模式：存在唯一的平面，使得公理4、平行于同一條直線的兩條直線互相平行．推理模式：，3、空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交——有且只有一個公共點；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒有公共點；（3）異面——不在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．4、異面直線（1）異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．（2）異面直線畫法：（3）異面直線證法：反證法，即證明兩直線既不平行也不相交．（4）求異面直線所成的角異面直線所成的角是指過空間任意一點O分別作兩條異面直線的平行線，所得的兩條相交直線所成的銳角（或直角）。它的取值范圍為．辨析：異面直線所成的角的取值范圍是；向量所成的角的取值范圍是．所以，用向量方法求異面直線所成的角時，如果得出的是鈍角，還要修正為銳角．異面直線所成的角求法：①幾何法：通過直線搬動，具體搬動一條直線還是兩條都搬動，要看實際情況；②代數(shù)法：采用向量運(yùn)算．二、空間中的直線與平面1、直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線和平面平行（沒有公共點）2、線面平行（1）判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．（2）性質(zhì)3、線面垂直（1）判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．（2）性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．∥1．平面的斜線當(dāng)直線與平面相交且不垂直時，叫做直線與平面斜交，叫做平面的斜線.斜線與平面的交點叫做斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫做這個點到平面的斜線段．2．射影設(shè)直線與平面斜交于點，過上任意點，作平面的垂線，垂足為，我們把點叫做點在平面上的射影，直線叫做直線在平面上的射影．射影長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短．3．直線和平面所成角如圖，是平面的一條斜線，點是斜足，是上任意一點，是的垂線，點是垂足，所以直線（記作）是在內(nèi)的射影，（記作）是與所成的角．定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條斜線和平面所成的角.【規(guī)定】【規(guī)定】（1）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角；（2）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是的角．【注意】【注意】（1）直線與平面所成的角的大小與點在上的取法無關(guān)；（2）直線和平面所成角的范圍是；（3）斜線和平面所成角的范圍是．直線與平面所成角求解方法：第一步：作出斜線在平面上的射影，找到斜線與射影所成的角；第二步：解含的三角形，求出其大?。?．距離定義：（1）點和平面的距離：過點作平面的垂線，垂足為，我們把點到垂足之間的距離叫做點和平面的距離．（2）直線和平面的距離：設(shè)直線平行于平面．在直線上任取一點，我們把點到平面的距離叫做直線和平面的距離．（3）設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點，我們把點到平面的距離叫做平面和平面的距離．（4）異面直線和的距離：設(shè)直線和是異面直線，當(dāng)點、分別在和上，且直線既垂直于直線，又垂直于直線時，我們把直線叫做異面直線和公垂線，，垂足、之間的距離叫做異面直線和的距離．三、空間中的平面與平面1、平面與平面位置關(guān)系位置關(guān)系定義符號表示平行平面與平面沒有公共點∥相交平面與平面有且僅有一條公共直線2、平面與平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行圖形語言：符號語言：且，那么3、兩個平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行圖形語言：符號語言：若，，則4、幾個重要結(jié)論（1）垂直于同一條直線的兩個平面平行（2）如果兩個平面平行那么在一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面（3）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它也垂直于另外一個（4）夾在兩個平行平面中的平行線段相等（5）經(jīng)過平面外一點有且僅有一個平面與已知直線平行注：①兩個平面平行的判定定理中必須是“兩條”“相交”直線才能得出面面平行，把條件改成“一條”、“兩條”、“無數(shù)條”都不一定成立②面面平行則面內(nèi)的所有直線都平行與另一個平面，但是分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線不一定平行5、半平面的定義一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面6、二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面7、畫法第一種是臥式法，也稱為平臥式：第二種是立式法，也稱為直立式：8、二面角的平面角：（1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，【說明】（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直；（3）二面角的求法：①幾何定義法；②空間向量法；③射影面積法【說明】（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直；（3）二面角的求法：①幾何定義法；②空間向量法；③射影面積法.9、平面與平面垂直定義三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直說明：（1）定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式：三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式：．注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內(nèi)的直線。其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理。⑵要考慮的位置，并注意兩定理交替使用。

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面垂直.表示方法：平面與垂直，記作.畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖：10、平面與平面垂直的判定定理

判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

符號語言：

圖形語言：

特征：線面垂直面面垂直

注：平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直