2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步章末檢測課時作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE第一章立體幾何初步章末檢測(一)時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．棱長都是1的三棱錐的表面積為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：因?yàn)樗膫€面是全等的正三角形，則S表面積＝4S底面積＝4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).答案：A2.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，主視圖是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，左視圖是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形，則該幾何體的體積是()A．48 B．64C．96 D．192解析：由已知可得該幾何體是一個四棱錐，四棱錐的高為4，底面是矩形，∴V＝eq\f(1,3)·Sh＝eq\f(1,3)×8×6×4＝64.答案：B3．已知正方體的外接球的體積是eq\f(4π,3)，則這個正方體的棱長是()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(2\r(3),3)解析：設(shè)正方體的外接球半徑為r，正方體棱長為a，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π，∴r＝1，∴eq\r(3)a＝2r＝2，得a＝eq\f(2\r(3),3).答案：D4．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線()A．至少有一條 B．至多有一條C．有且只有一條 D．沒有解析：設(shè)這n條直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P不在直線a上，那么直線a和點(diǎn)P確定一個平面β，則點(diǎn)P既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，則平面α與平面β相交，設(shè)交線為直線b，則直線b過點(diǎn)P.又直線a∥平面α，則a∥b.很明顯這樣作出的直線b有且只有一條，那么直線b可能在這n條直線中，也可能不在，即這n條直線中與直線a平行的直線至多有一條．答案：B5．如圖所示，甲、乙、丙是三個幾何體的三視圖，甲、乙、丙對應(yīng)的標(biāo)號正確的是()①長方體②圓錐③三棱錐④圓柱A．④③② B．②①③C．①②③ D．③②④解析：由于甲的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又主視圖和左視圖均是矩形，則甲是圓柱；由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又主視圖和左視圖均是三角形，則該多面體的各個面都是三角形，則乙是三棱錐；由于丙的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又主視圖和左視圖均是三角形，則丙是圓錐．答案：A6．E，F(xiàn)，G分別為正方體ABCD-A1B1C1D1面A1C1，B1C，CD1的對角線交點(diǎn)，則AEA．90° B．60°C．45° D．30°解析：在△BDC1中，GF為△BDC1的中位線，∴GF∥BD.又∵BD⊥平面ACC1A1，AE?平面ACC1A1，∴BD⊥AE，∴FG⊥AE，∴AE與FG所成的角為90°，故選A.答案：A7．設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是()A．若a∥α，bα，則a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若aα，bβ，a∥b，則α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b解析：A錯，a，b可能平行或異面；B錯，a，b也可能相交或異面；C錯，可能α與β相交．答案：D8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(8π,3) B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π解析：由三視圖可知該幾何體的體積V＝π×12×2＋eq\f(1,2)×π×12×2＝3π.答案：B9.如圖是底面面積為eq\r(3)，體積為eq\r(3)的正三棱錐的主視圖(等腰三角形)和俯視圖(等邊三角形)，此正三棱錐的左視圖的面積為()A.eq\f(3\r(3),2) B．3C.eq\r(3) D.eq\f(3,2)解析：依據(jù)已知條件可得正三棱錐的底面邊長是2，高為3，故左視圖的面積是eq\f(1,2)×eq\r(3)×3＝eq\f(3\r(3),2).答案：A10.如圖是一建筑物的三視圖(單位：m)，現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆akg，則共需油漆的質(zhì)量為()A．(48＋36π)akgB．(39＋24π)akgC．(36＋36π)akgD．(36＋30π)akg解析：此建筑物是直四棱柱與圓錐的組合體，其外壁的面積S＝π×32－3×3＋π×3×5＋3×4×4＝39＋24π(m2)，因此共需油漆的質(zhì)量為(39＋24π)akg.答案：B11．已知m，n，l為三條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．α∥β，mα，nβ?m∥nB．l⊥β，α⊥β?l∥αC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．α∥β，l⊥α?l⊥β解析：A中m，n還可能異面關(guān)系，B中，lα也有可能．C中，nα也有可能．D正確．答案：D12．一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),12)解析：由題意，知正三棱錐的頂點(diǎn)究竟面的距離為1.∵底面是正三角形且球半徑為1，∴底面邊長為eq\r(3).∴底面積為eq\f(3\r(3),4).∴V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),4).答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)13．四棱錐P-ABCD中，各棱所在的直線相互異面的有________對．解析：以底邊所在直線為準(zhǔn)進(jìn)行推算，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平面圖形，4條邊在同一平面內(nèi)，不行能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2對異面直線，所以共有4×2＝8對異面直線．答案：814．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對角線AC＝BD＝2，且AC⊥BD，則四邊形EFGH的面積為________．解析：如圖，由條件易推斷EH綊FG綊eq\f(1,2)BD，∴EH＝FG＝1，同樣有EF綊GH綊eq\f(1,2)AC，EF＝GH＝1，又BD⊥AC，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是邊長為1的正方形，其面積S＝12＝1.答案：115．若圓錐的母線長為2cm，底面圓的周長為2πcm，則圓錐的表面積為________．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r.則2πr＝2π，∴r＝1.則圓錐的表面積：S＝eq\f(1,2)×2π×2＋πr2＝2π＋π＝3π.答案：3π16.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為eq\f(9,8)，底面周長為3，則這個球的體積為________．解析：令球的半徑為R，六棱柱的底面邊長為a，高為h，明顯有eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2)＝R，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(V六棱柱＝6×\f(\r(3),4)a2×h＝\f(9,8)，,6a＝3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,h＝\r(3)))?R＝1?V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)已知底面半徑為eq\r(3)cm，母線長為eq\r(6)cm的圓柱，挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn)，下底面為底面的圓錐，求所得幾何體的表面積及體積．解析：如圖所示，所得幾何體的表面積為：S＝S底＋S柱側(cè)＋S錐側(cè)＝(3＋6eq\r(2)＋3eq\r(3))π(cm2)．所得幾何體的體積為：V＝V柱－V錐＝S底·eq\r(6)－eq\f(1,3)S底·eq\r(6)＝eq\f(2,3)S底·eq\r(6)＝2eq\r(6)π(cm3)．18．(12分)如圖所示，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M為BC的中點(diǎn)．(1)求證：AM⊥PM；(2)求二面角P-AM-D的大?。馕觯?1)證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，EA.∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝eq\r(3).∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四邊形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均為直角三角形．由勾股定理可求得EM＝eq\r(3)，AM＝eq\r(6)，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角．∴tan∠PME＝eq\f(PE,EM)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P-AM-D的大小為45°.19．(12分)某幾何體及其三視圖如圖所示(尺寸的長度單位：m)(1)O為AC的中點(diǎn)，求證：BO⊥平面APC；(2)求該幾何體的體積．解析：(1)證明：由三視圖可知，平面PAC⊥平面ABC，BO⊥AC，∴BO⊥平面APC.(2)如圖，過P點(diǎn)在平面PAC內(nèi)作PE⊥AC交AC于E，由俯視圖可知：CE＝1，AE＝3，PE＝2，又BO＝3，AC＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×3＝6，∴VP-ABC＝eq\f(1,3)×6×2＝4.20．(12分)某高速馬路收費(fèi)站入口處的平安標(biāo)識墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識墩的主視圖和俯視圖．(1)請畫出該平安標(biāo)識墩的左視圖；(2)求該平安標(biāo)識墩的體積；(3)證明：直線BD⊥平面PEG.解析：(1)左視圖同主視圖，如圖所示．(2)該平安標(biāo)識墩的體積為：V＝VP-EFGH＋VABCD-EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)證明：如圖，連接EG，HF及BD，EG與HF相交于O，連接PO.由正四棱錐的性質(zhì)可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF.又EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG.又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.21．(13分)我國北方冬季種植蔬菜要在暖室里種植，如圖，某蔬菜專業(yè)戶要借助自家圍墻修建一暖室，暖室由兩墻面、地面和塑料薄膜四個面圍成，已知兩墻的長度分別為a米和b米，高為c米，認(rèn)定兩墻面、地面彼此交線相互垂直．問：修建暖室須要多少塑料薄膜？解析：∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB，∴OC⊥AB，過O作OM⊥AB于M，則AB⊥平面COM，∴AB⊥CM，在Rt△OAB中，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(a2＋b2)，∴OM＝eq\f(OA·OB,AB)＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))，∴CM＝eq\r(OC2＋OM2)＝eq\r(\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a2＋b2)).∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CM＝eq\f(\r(a2b2＋b2c2＋c2a2),2).故修建暖室，須要塑料薄膜eq\f(\r(a2b2＋b2c2＋c2a2),2).22．(13分)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中左視圖是邊長為2的正三角形，主視圖是矩形且AA1＝3，設(shè)D為AA1的中點(diǎn)．(1)作出該幾何體的直觀圖并求其體積；(2)求證：平面BB1C1C⊥平面(3)BC邊上是否存在點(diǎn)P，使AP∥平面BDC1？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結(jié)論．解析：(1)由題意可知該幾何體為直三棱柱，且它的直觀圖如圖所示．∵幾何體的底面積S＝eq\r(3)，高h(yuǎn)＝3，∴所求體積V＝3