課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)專題八立體幾何2空間點線面的位置關(guān)系試題文

PAGEPAGE12空間點、線、面的位置關(guān)系探考情悟真題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點點、線、面的位置關(guān)系①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解四個公理及推論;②會用平面的基本性質(zhì)證明點共線、線共點以及點線共面等問題;③理解空間兩直線的位置關(guān)系及判定,了解等角定理和推論2024課標(biāo)全國Ⅲ,8,5分兩條直線的位置關(guān)系面面垂直的性質(zhì)★★☆2024課標(biāo)全國Ⅲ,19,12分四點共面、四邊形的面積面面垂直的判定2024課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分異面直線所成的角面面平行的性質(zhì)2024課標(biāo)全國Ⅱ,9,5分異面直線所成的角線面垂直的性質(zhì)分析解讀高考對本節(jié)內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在兩個方面:一是以四個公理和推論為基礎(chǔ),考查點、線、面之間的位置關(guān)系;二是考查兩直線的位置關(guān)系.題型以選擇題和填空題為主,也可能是解答題,本節(jié)內(nèi)容主要考查學(xué)生的空間想象實力,在備考時應(yīng)加強訓(xùn)練.破考點練考向【考點集訓(xùn)】考點點、線、面的位置關(guān)系1.(2025屆安徽合肥八校第一次聯(lián)考,5)已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若a∥α,a⊥b,則b⊥αB.若a⊥α,a⊥b,則b∥αC.若a?α,b?α,a∥β,b∥β,則α∥βD.若a∩b=A,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,則α∥β答案D2.(2024湖南益陽、湘潭兩市聯(lián)考,10)如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有()A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④答案C3.(2025屆河南、河北重點中學(xué)摸底考試,9)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=2,點O為長方形ABCD對角線的交點,E為棱CC1的中點,則異面直線AD1與OE所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.下列說法中,正確的個數(shù)是()①假如兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條直線也和這個平面相交;②一條直線和另一條直線平行,它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面都平行;③經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線,有一個平面與另一條直線平行;④兩條相交直線,其中一條直線與一個平面平行,則另一條直線肯定與這個平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3答案C答案B6.(2024廣東東莞模擬,2)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點,則下列敘述正確的是()A.CC1與B1E是異面直線B.AC⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1為異面直線,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E答案C7.求證:假如兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交,那么這四條直線共面.答案已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c,l共面.證明:如圖所示,因為a∥b,所以由公理2的推論3可知直線a與b確定一個平面,設(shè)為α.因為l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因為A∈l,B∈l,所以由公理1可知l?α.因為b∥c,所以由公理2的推論3可知直線b與c確定一個平面β,同理可知l?β.因為平面α和平面β都包含著直線b與l,且l∩b=B,而由公理2的推論2知,平面α與平面β重合,所以直線a,b,c,l共面.煉技法提實力【方法集訓(xùn)】方法1證明點共線、線共點及點線共面的方法1.求證:兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).答案已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C,且A,B,C不重合.求證:直線AB,BC,AC共面.證法一:∵AB∩AC=A,∴直線AB,AC可確定一個平面α,∵B∈AB,C∈AC,∴B∈α,C∈α,故BC?α,因為直線AB,BC,AC都在平面α內(nèi),∴直線AB,BC,AC共面.證法二:∵A不在直線BC上,∴點A和直線BC可確定一個平面α,∵B∈BC,∴B∈α,又∵A∈α,∴直線AB?α,同理可得直線AC?α,故直線AB,BC,AC共面.證法三:∵A,B,C三點不在同一條直線,∴A,B,C三點可以確定一個平面α,∴A∈α,B∈α,∴直線AB?α,同理AC?α,BC?α,故直線AB,BC,AC共面.2.(2024河南濮陽一高10月月考,18)如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F,G分別在AB,BC,CD上,且滿意AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,過E,F,G的平面交AD于H,連接EH,HG.(1)求AH∶HD;(2)求證:EH,FG,BD三線共點.答案(1)∵AEEB=CF又∵EF?平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CG∴AH∶HD=3∶1.(2)證明:∵EF∥GH,且EFAC=13,GHAC∴四邊形EFGH為梯形,∴直線EH,FG必相交.設(shè)EH∩FG=P,則P∈EH,而EH?平面ABD,∴P∈平面ABD,同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH,FG,BD三線共點.方法2異面直線所成角的求解方法1.(2025屆四川雅安中學(xué)第一次月考,7)如圖,E、F分別是三棱錐P-ABC的棱AP、BC的中點,PC=10,AB=6,EF=7,則異面直線AB與PC所成的角為()A.30° B.120° C.60° D.45°答案C2.在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成角為60°,E為PC的中點,則異面直線PA與BE所成的角為()A.90° B.60° C.45° D.30°答案C3.(2024湖南永州三模,7)三棱錐A-BCD的全部棱長都相等,M,N分別是棱AD,BC的中點,則異面直線BM與AN所成角的余弦值為()A.13 B.24 C.3答案D4.如圖,已知在三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD成60°角,點M,N分別是BC,AD的中點,則直線AB與MN所成角的大小為.

答案60°或30°【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點點、線、面的位置關(guān)系1.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,8,5分)如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案B2.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,9,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.22 B.32 C.5答案C3.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32 B.22C.3答案A4.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,19,12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.答案本題考查了線面、面面垂直問題,通過翻折、平面與平面垂直的證明考查了空間想象實力和推理論證實力,考查了直觀想象的核心素養(yǎng).(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中點M,連接EM,DM.因為AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點點、線、面的位置關(guān)系1.(2024浙江,2,5分)已知相互垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿意m∥α,n⊥β,則()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n答案C2.(2024廣東,6,5分)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交答案D3.(2024天津,17,13分)如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點M為棱AB的中點,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.(1)求證:AD⊥BC;(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.答案(1)證明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)取棱AC的中點N,連接MN,ND.又因為M為棱AB的中點,故MN∥BC.所以∠DMN(或其補角)為異面直線BC與MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=AD2+A因為AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=AD2+A在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=12MNDM所以,異面直線BC與MD所成角的余弦值為1326(3)連接CM.因為△ABC為等邊三角形,M為邊AB的中點,故CM⊥AB,CM=3.又因為平面ABC⊥平面ABD,而CM?平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD=AC在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=3所以,直線CD與平面ABD所成角的正弦值為34C組老師專用題組考點點、線、面的位置關(guān)系1.(2024山東,6,5分)已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A2.(2024浙江,4,5分)設(shè)α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β.()A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥mC.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m答案A3.(2010全國Ⅰ,6,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.(2011全國,15,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為C1D1的中點,則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.

答案25.(2024四川,18,12分)一個正方體的平面綻開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由);(2)推斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)證明:直線DF⊥平面BEG.答案(1)點F,G,H的位置如圖所示.(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形.所以BE∥CH.又CH?平面ACH,BE?平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)證明:連接FH,BD.因為ABCD-EFGH為正方體,所以DH⊥平面EFGH,因為EG?平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF?平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.6.(2013課標(biāo)Ⅰ,19,12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)證明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.答案(1)證明:取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B.因為CA=CB,所以O(shè)C⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1⊥AB.因為OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C,所以AB⊥A1C.(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形,所以O(shè)C=OA1=3.又A1C=6,則A1C2=OC2+OA12,故OA因為OC∩AB=O,所以O(shè)A1⊥平面ABC,OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.又△ABC的面積S△ABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC·OA1=3.【三年模擬】時間:45分鐘分值:50分一、選擇題(每小題5分,共45分)1.(2025屆河北棗強中學(xué)9月月考,5)在空間中,a,b,c是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題為真命題的是()A.若a∥α,a∥b,b∥c,則c∥αB.若a?α,b?β,α⊥β,則a⊥bC.若a⊥α,a⊥b,b⊥c,則c⊥αD.若α∥β,a?α,則a∥β答案D2.(2024四川成都二診,8)已知a,b是兩條異面直線,直線c與a,b都垂直,則下列說法正確的是()A.若c?平面α,則a⊥αB.若c⊥平面α,則a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a?α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α答案C3.(2025屆甘肅蘭州重點中學(xué)9月聯(lián)考,6)正方體的平面綻開圖如圖,AB、CD、EF、GH四條對角線兩兩一對得到6對對角線,在正方體中,這6對對角線所在直線成60°角的有()A.1對 B.2對 C.3對 D.4對答案D4.(2025屆河南頂級名校摸底考試,10)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M為棱A1B1的中點,則異面直線AM與BD所成角的余弦值為()A.32 B.34 C.10答案D5.(2024山西臨汾模擬,5)如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1的6個頂點中任取3個點作平面α,設(shè)α∩平面ABC=l,若l∥A1C1