等腰三角形的性質(zhì)課件2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

202X13.3.1等腰三角形的性質(zhì)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)PART.01等腰三角形腰腰底邊頂角底角底角定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。性質(zhì)1：等腰三角形的兩腰相等。1、等腰三角形一腰為3cm,底邊為4cm,則它的第三條邊長(zhǎng)是

cm；

2、等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為4cm,則它的第三條邊長(zhǎng)是

cm；

3、等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為8cm,則它的第三條邊長(zhǎng)是

cm.

33或48考考你小結(jié)：當(dāng)?shù)妊切蔚倪厸]說明是腰還是底邊時(shí)，需要分類討論，并要考慮能否構(gòu)成三角形。問題1：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)問題2：如何確定等腰三角形的對(duì)稱軸？AＢCDAＢCDAＢCD

下面的△ABC是等腰三角形，其中AB=AC.

AD為頂角平分線AD為底邊上的中線AD為底邊上的高問題3：怎樣證明直線AD就是等腰三角形的對(duì)稱軸？問題3：怎樣證明直線AD就是等腰三角形的對(duì)稱軸？AＢCDAD為頂角平分線證明：如圖，過點(diǎn)A作AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ADB和△ADC中

AB=AC，

∠BAD=∠CAD，

AD

=AD，∴△ADB≌△ADC（SAS）.

下面的△ABC是等腰三角形，其中AB=AC.

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC又∵∠ADB+∠ADC=180°∴∠ADB=∠ADC=90°∴AD垂直平分BC∴直線AD是等腰△ABC的對(duì)稱軸問題3：怎樣證明直線AD就是等腰三角形的對(duì)稱軸？AＢCDAD為頂角平分線證明：如圖，過點(diǎn)A作AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ADB和△ADC中

AB=AC，

∠BAD=∠CAD，

AD

=AD，∴△ADB≌△ADC（SAS）.

下面的△ABC是等腰三角形，其中AB=AC.

∴BD=CD又AB=AC∴點(diǎn)A和D都在線段BC的垂直平分線上∴AD垂直平分BC∴直線AD是等腰△ABC的對(duì)稱軸問題3：怎樣證明直線AD就是等腰三角形的對(duì)稱軸？AＢCDAD為頂角平分線證明：如圖，過點(diǎn)A作AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ADB和△ADC中

AB=AC，

∠BAD=∠CAD，

AD

=AD，∴△ADB≌△ADC（SAS）.

下面的△ABC是等腰三角形，其中AB=AC.

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC又∵∠ADB+∠ADC=180°∴∠ADB=∠ADC=90°∴AD垂直平分BC∴直線AD是等腰△ABC的對(duì)稱軸發(fā)現(xiàn)：等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線.思考1：另兩種看法，會(huì)證明嗎？思考2：關(guān)于角平分線AD，有新的發(fā)現(xiàn)嗎？問題3：怎樣證明直線AD就是等腰三角形的對(duì)稱軸？AＢCDAD為頂角平分線證明：如圖，過點(diǎn)A作AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ADB和△ADC中

AB=AC，

∠BAD=∠CAD，

AD

=AD，∴△ADB≌△ADC（SAS）.

下面的△ABC是等腰三角形，其中AB=AC.

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC又∵∠ADB+∠ADC=180°∴∠ADB=∠ADC=90°∴AD垂直平分BC∴直線AD是等腰△ABC的對(duì)稱軸發(fā)現(xiàn)：線段AD既是頂角平分線，也是底邊上的中線，還是底邊上的高.性質(zhì)3：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（簡(jiǎn)稱“三線合一”）AＢCDAD為頂角平分線證明：如圖，過點(diǎn)A作AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ADB和△ADC中

AB=AC，

∠BAD=∠CAD，

AD

=AD，∴△ADB≌△ADC（SAS）.

下面的△ABC是等腰三角形，其中AB=AC.

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC又∵∠ADB+∠ADC=180°∴∠ADB=∠ADC=90°∴AD垂直平分BC∴直線AD是等腰△ABC的對(duì)稱軸問題4：還有什么新的發(fā)現(xiàn)？∴∠B=∠C性質(zhì)4：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.問題5：怎么證明一個(gè)命題？AＢC

已知：在△ABC中，AB=AC.

命題：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

求證：∠B=∠C.

證明命題的一般步驟：1.畫圖；2.用符號(hào)語言列出命題中的已知條件和求證結(jié)論；3.證明。問題6：還有別的證法？AＢCD作底邊上的高AD證明：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC

已知：在△ABC中，AB=AC.

命題：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

求證：∠B=∠C.

∴∠ADB=∠ADC=90°

在Rt△ADB和Rt△ADC中

AB=AC

AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠B=∠C

證法2AＢCD作底邊上的中線AD證明：如圖，作底邊BC上的中線AD

已知：在△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C.

∴BD=CD

在△ADB和△ADC中

AB=ACBD=CD

AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠B=∠C

證法3命題：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.問題6：還有別的證法？

C

BＡ用符號(hào)語言表示為：在△ABC中，∵AC=AB（）∴∠B=∠C（）已知等邊對(duì)等角（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)4：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.⒈等腰三角形一個(gè)底角為80°,它的另外兩個(gè)角為

.⒉等腰三角形一個(gè)頂角為80°,它的另外兩個(gè)角為

.⒊等腰三角形一個(gè)內(nèi)角為80°,它的另外兩個(gè)角為

.4.等腰三角形一個(gè)外角為80°,它的三個(gè)內(nèi)角為

.80°,20°性質(zhì)應(yīng)用AＢC80°,20°或50°,50°50°,50°100°，40°,40°對(duì)應(yīng)內(nèi)角為100°5.等腰三角形一個(gè)外角為100°,它的三個(gè)內(nèi)角為

.6.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角為100°,它的另外兩個(gè)角為

.性質(zhì)應(yīng)用AＢC80°,80°,20°或80°,50°,50°變式訓(xùn)練：對(duì)應(yīng)內(nèi)角為80°40°,40°小結(jié)：當(dāng)?shù)妊切蔚膬?nèi)角不說明是頂角還是底角時(shí)，需要分類討論，并要注意底角只能是銳角。7.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。ABCD解：∵AB=AC，BD=BC，BD=AD∴∠ABC=∠C，∠C=∠BDC，∠A=∠ABD

（等邊對(duì)等角)設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,∴在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°x⌒2x⌒2x⌒⌒2x8.如圖，在△ABC中，AC=BC，CD為AB邊上的中線，DE⊥CB于E，∠B=55°，求∠CDE的度數(shù)．解：∵∠B=55°，DE⊥BC

∴∠BDE=25°∵AC=BC，CD為AB邊上的中線，

∴CD⊥AB（三線合一）

∴∠CDE=90°-∠BDE

=90°-25°=55°

55°等腰三角形兩底角相等.(簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.(簡(jiǎn)稱“三線合一”)等腰三角形小結(jié)的性質(zhì)

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.AＢCD

等腰三角形兩腰相等.AＢCD思考：任意一個(gè)等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形嗎？

已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC．求證：等腰△ABC是軸對(duì)稱圖形．證明：如圖，作底邊BC上的高AD.

HL

證法：1.找可能是對(duì)稱軸的直線；

2.證直線的兩旁部分全等.AＢCD思考：任意一個(gè)等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形嗎？

已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC．求證：等腰△ABC是軸對(duì)稱圖形．證明：

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸．關(guān)鍵：1.找可能是對(duì)稱軸的直線；

2.證直線的兩旁部分全等.AＢCD思考：任意一個(gè)等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形嗎？

已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC．求證：等腰△ABC是軸對(duì)稱圖形．證明：如圖，作底邊BC上的高AD.

HL

證法：1.找可能是對(duì)稱軸的直線；

2.證直線的兩旁部分全等.AＢCD思考：任意一個(gè)等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形嗎？

已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC．求證：等腰△ABC是軸對(duì)稱圖形．證明：如圖，作頂角∠A的平分線AD.

SAS

AＢCD思考：任意一個(gè)等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形嗎？

已知：如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC．求證：等腰△ABC是軸對(duì)稱圖形．證明：如圖，作底邊BC上的中線AD.

SSS

AＢCD等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩腰相等.

性質(zhì)2：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在的直線就是它的對(duì)稱軸.小結(jié)思考：由等腰三角形的軸對(duì)稱性，你能推理得到什么嗎？提示：等腰三角形被對(duì)稱軸分得的兩個(gè)三角形全等，再由全等的性質(zhì)能得到什么呢？AＢCD等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩腰相等.

性質(zhì)2：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在的直線就是它的對(duì)稱軸.小結(jié)性質(zhì)3：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

性質(zhì)4：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）性質(zhì)3：等腰三角形的兩底角相等。

C

BＡ用符號(hào)語言表示為：在△ABC中，∵AC=AB（）∴∠B=∠C（）已知等邊對(duì)等角（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）

ACBD性質(zhì)4：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）用符號(hào)語言表示為：在△ABC中，∵AC=AB，AD⊥BC∴AD平分∠BAC，BD=CD（三線合一）在△ABC中，∵AC=AB，AD平分∠BAC∴AD⊥BC，BD=CD（三線合一）（三線合一）在△ABC中，∵AC=AB，BD=CD∴AD⊥BC，AD平分∠BAC⒈等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為

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