2025屆上海市高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷1

2025屆高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷1時(shí)間：120分鐘滿分：150一?填空題：1.已知集合，集合，則__________.2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.3.現(xiàn)從甲?乙?丙3人中隨機(jī)選派2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則甲被選中的概率為_(kāi)_________.4.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則該組數(shù)據(jù)的方差__________.5.在平面直角坐標(biāo)系中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________.6.設(shè)函數(shù)，若成等差數(shù)列（公差不為零），則__________.7.已知下列兩個(gè)命題：，不等式恒成立；有最小值.若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.8.設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程是__________.9.已知，求使向量與向量的夾角為銳角的的取值范圍__________.10.已知函數(shù)，函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.11.如圖，用一塊形狀為半橢圓的鐵皮截取一個(gè)以短軸為底的等腰梯形，記所得等腰梯形的面積為，則的最小值是__________.12.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：①函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；②函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；④函數(shù)在上是增函數(shù).其中正確的命題的序號(hào)是__________.二?選擇題：13.設(shè)都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件14.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②的最大值為2；③在有4個(gè)零點(diǎn)；④在區(qū)間單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③15.如圖，平面為的中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且到直線的距離為，則的最大值為（）A.B.C.D.16.已知數(shù)列滿足：.若正整數(shù)使得成立，則（）A.16B.17C.18D.19三?解答題：17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，其中.（1）若，求證：.（2）若，求的值.18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.19.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，以橢圓左頂點(diǎn)為圓心作圓，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程；（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.21.已知函數(shù)（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值.參考答案及逐題解析：一?填空題：1.【答案】解：由題意可知集合表示四個(gè)實(shí)數(shù)，而集合表示非負(fù)實(shí)數(shù)，所以兩個(gè)集合交集為.2.【答案】解：先由復(fù)數(shù)乘法化為，再由純虛數(shù)的概念得即.3.【答案】解：從甲?乙?丙3人中隨機(jī)選派2人，共有甲乙?甲丙?乙丙三種選法，其中甲被選中有甲乙?甲丙兩種選法，所以甲被選中的概率為.4.【答案】解：..5.【答案】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以.又，所以.而雙曲線的漸近線方程為，即.6.【答案】2【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，.7.【答案】或.解：，不等式恒成立；即恒成立；由于的最小值為2，故為真命題時(shí)，有最小值.表示以為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且恒成立即，解得故為真命題時(shí)，兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，當(dāng)真假時(shí)，或或，當(dāng)假真時(shí)，這樣的值不存在故實(shí)數(shù)的取值范圍是或8.【答案】【詳解】：橢圓中中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，雙曲線中橢圓的離心率為，橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).雙曲線的離心率為，雙曲線中雙曲線的方程為.9.【答案】且【詳解】，，即，又不共線，，且.10.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即，，當(dāng)時(shí)，，所以，可得在單調(diào)遞增，所以，即，所以的值域?yàn)椋驗(yàn)榍?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以所以的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，若，則或，此時(shí)或，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍是：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.11.【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)?，可得且，所以梯形的面積為，則，所以，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，即.12.【答案】①②③【詳解】①由定義知：，所以，即的值域?yàn)?；故①?duì)；②因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；故②對(duì)；③因?yàn)?，所以函?shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；故③對(duì)；④當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故④錯(cuò).故答案為：①②③二?選擇題：13.【答案】C【解析】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C.14.【答案】A【解析】的定義域?yàn)?，因?yàn)?，故為偶函?shù)，結(jié)論①正確，當(dāng)，當(dāng)故當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，作出大致圖像，如圖所示故函數(shù)的最大值為2，結(jié)論②正確，根據(jù)圖像可得，在有3個(gè)零點(diǎn)，故結(jié)論③錯(cuò)誤，由圖象可以看出，在區(qū)間單調(diào)遞減，結(jié)論④正確.故選：A.15.【答案】B【解析】空間中到直線的距離為的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱面，它和面相交得一橢圓，所以在內(nèi)的軌跡為一個(gè)橢圓，為橢圓的中心，，則，于是為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)關(guān)于兩焦點(diǎn)的張角，在短軸的端點(diǎn)取得最大，故為.故選B.16.【答案】B【解析】，即，，時(shí)，，兩式相除可得，則，由，可得，且，正整數(shù)時(shí)，要使得成立，則，則，故選：B.三?解答題：17.【詳解】（1）由題設(shè)知.所以因?yàn)?，所?故.（2）因?yàn)椋?，即，解?因?yàn)椋?因此，.從而.18.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn).所以，又平面平面.所以平面.（2）由于點(diǎn)到平面的距離為1，故三棱錐的體積.19.【詳解】（1）由題意可知，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，所以，每噸二氧化碳的平均處理成本為，由基本不等式可得（元），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，該單位每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低；（2）令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即.所以，該單位每月不能獲利，國(guó)家至少需要補(bǔ)貼40000元才能使該單位不虧損.20.【詳解】（1）依題意，得，，故橢圓的方程為.（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，設(shè)，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，由，則，.由于故當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到.故圓的方程為：（3）設(shè)，則直線的方程為：，令，得，同理：.故又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，代入上式得：，所以21.解：（1）因?yàn)闉榈臉O值點(diǎn)，所以，即，解得.又當(dāng)時(shí)，，從而為的極值點(diǎn)成立.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故符合題意.②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必