2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題七概率學(xué)生版

專題七概率1．隨機(jī)事件的概率1．2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗(yàn)成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個人，每個人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗(yàn)成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立，該項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)按照甲、乙、丙順序派出，則試驗(yàn)任務(wù)成功的概率為（）A． B． C． D．2．（多選）如圖所示，是一個3×3九宮格，現(xiàn)從這9個數(shù)字中隨機(jī)挑出3個不同的數(shù)字，記事件A1：恰好挑出的是1、2、3；記事件A2：恰好挑出的是1、4、7；記事件A3：挑出的數(shù)字里含有數(shù)字1．下列說法正確的是（）123456789A．事件A1，A2是互斥事件 B．事件A1，A2是獨(dú)立事件C．P(A1|A3)＝P(A2|A3) D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)3．（多選）一口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和2個白球，則下列結(jié)論正確的是（）A．從中任取3球，恰有一個白球的概率是B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩個白球的概率為C．從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為4．某學(xué)校進(jìn)行班級之間的中國歷史知識競賽活動，甲、乙兩位同學(xué)代表各自班級以搶答的形式展開，共五道題，搶到并回答正確者得一分，答錯則對方得一分，先得三分者獲勝．每一次搶題且甲、乙兩人搶到每道題的概率都是，甲乙正確回答每道題的概率分別為，，且兩人各道題是否回答正確均相互獨(dú)立．（1）比賽開始，求甲先得一分的概率；（2）求甲獲勝的概率．5．如圖，點(diǎn)是周長為圓形導(dǎo)軌上的三個等分點(diǎn)，在點(diǎn)處放一顆珠子，規(guī)定：珠子只能沿導(dǎo)軌順時針滾動．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)時，珠子滾動，當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)時，珠子滾動，反復(fù)操作．（1）求珠子在點(diǎn)停留時恰好滾動一周的概率；（2）求珠子第一次在點(diǎn)停留時恰好滾動兩周的概率．6．甲、乙兩人在一起做猜拳（剪刀、石頭、布）游戲，他們規(guī)定每次猜拳贏的一方得1分，輸?shù)囊环降梅?，平局時兩個人都各得0分，出現(xiàn)得3分者游戲結(jié)束．（1）若進(jìn)行五次猜拳后游戲結(jié)束，求此時乙得分的概率；（2）求甲至多在進(jìn)行五次猜拳后獲勝的概率．7．第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動會于2021年7月23日至8月8日在日本東京舉辦，某國男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)本屆奧運(yùn)會，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．（1）求該局打4個球甲贏的概率；（2）求該局打5個球結(jié)束的概率．2．古典概型1．2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙、丁四個人，進(jìn)入太空空間站后他們需要走出太空站外完成某項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)，需派兩個人出去共同完成任務(wù)，則這項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)甲被派出的概率為（）A． B． C． D．2．2021年10月16日0時23分許，長征二號F遙十三運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火起飛，托舉載有翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員的神舟十三號載人飛船進(jìn)入太空．載人火箭從在發(fā)射臺等待發(fā)射到飛行過程中，故檢（故障檢測）逃逸系統(tǒng)會一直配合工作，故障檢測處理系統(tǒng)一旦檢測到火箭出現(xiàn)危及航天員安全的情況，將給逃逸系統(tǒng)發(fā)出逃逸指令，逃逸系統(tǒng)就會迅速將航天員帶離危險，使之安全返回地面．逃逸系統(tǒng)共配備了5種類型共12臺發(fā)動機(jī)，其中逃逸主發(fā)動機(jī)1臺，分離發(fā)動機(jī)1臺，控制發(fā)動機(jī)4臺，高空逃逸發(fā)動機(jī)4臺，高空分離發(fā)動機(jī)2臺．現(xiàn)從這12臺發(fā)動機(jī)中隨機(jī)抽取2臺發(fā)動機(jī)進(jìn)行電路測試，則抽取的2臺發(fā)動機(jī)都是控制發(fā)動機(jī)的概率為（）A． B． C． D．3．算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項(xiàng)偉大的?重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具．“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上?下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位?十位?百位?……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大?。F(xiàn)從個位?十位?百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率是（）A． B． C． D．4．為落實(shí)“雙減”政策，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在初一年級隨機(jī)抽取了20名學(xué)生進(jìn)行50米往返跑和跳繩測試，測試結(jié)果如下表：由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅知道從這20名參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到跳繩優(yōu)秀的學(xué)生的概率為．（1）求a，b的值；（2）從50米往返跑為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳繩為優(yōu)秀的學(xué)生的概率．5．袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．（1）若從袋中一次摸出2個小球，求這兩個小球恰為異色球的概率；（2）若從袋中一次摸出3個小球，求黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球個數(shù)的概率；（3）若從袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球記0分，取到白球記4分，取到紅球記2分，求最后得分為8分的概率．3．幾何概型1．在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則滿足的概率為（）A． B． C． D．2．已知圓，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為中點(diǎn)作弦AB，則弦長的概率為（）A． B． C． D．3．某企業(yè)的商標(biāo)圖案是曲線所圍成的圖形，設(shè)，則在曲線內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自曲線內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．4．如圖，三棱錐的四個面都為直角三角形，平面，，，三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，現(xiàn)在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自三棱錐內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．答案與解析1．隨機(jī)事件的概率1．【答案】D【解析】試驗(yàn)任務(wù)成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，事件，，互斥，，，，所以試驗(yàn)任務(wù)成功的概率，故選D．2．【答案】AC【解析】A．挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同時發(fā)生，正確；B．事件A1，A2不是獨(dú)立事件，錯誤；C．，正確；D．，，錯誤，故選AC．3．【答案】ABD【解析】對選項(xiàng)A，從中任取3球，恰有一個白球的概率是，故A正確；對選項(xiàng)B，從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到白球的個數(shù)，故恰好有兩個白球的概率為；對選項(xiàng)C，從中不放回的取球2次，每次任取1球，記A為“第一次取到紅球”，B為“第二次取到紅球”，則所求概率為，故C錯誤；對選項(xiàng)D，從中有放回的取球3次，每次任取一球，則取到紅球的個數(shù)，至少有一次取到紅球的概率為，故D正確，故選ABD．4．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）每道題的搶答中，記甲得一分為事件，由題意，發(fā)生有兩種可能：甲搶到題且答對，乙搶到題且答錯，∴，故比賽開始，甲先得一分的概率為．（2）由（1）知：在每道題的搶答中甲、乙得一分的概率分別為，，設(shè)兩人共搶答了道題比賽結(jié)束且甲獲勝，根據(jù)比賽規(guī)則，的可能取值為3，4，5，∴，，，∴甲獲勝的概率．5．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)擲出3的倍數(shù)為事件，擲出不是3的倍數(shù)記為事件，則，，珠子恰好轉(zhuǎn)一周回到點(diǎn)包含的事件為，，且這三種情況互斥，故所求概率為．（2）珠子滾兩周回到點(diǎn)，則必須經(jīng)歷以下三個步驟：①②③，①A至C：此時概率為，②C至B：擲出的必須是3的倍數(shù)，此時的概率為，③B至：概率與①相同，又以上三個步驟相互獨(dú)立，故所求概率為．6．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)事件“第次劃拳甲贏”為；事件“第次劃拳甲乙平局”為；事件“第次劃拳甲輸”為，則．因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時甲得3分，乙得?3分，所以這包含兩種可能的情況：第一種：前4次猜拳甲贏2次，平局2次，第5次猜拳甲獲勝，其概率為；第二種：前3次猜拳甲贏2次，輸1次，第4，5次猜拳甲連勝，其概率為，所以游戲結(jié)束時乙得?3分的概率為．（2）依題可知包含三種情況：第一種：進(jìn)行3次猜拳后游戲結(jié)束，只可能為甲連勝3次，其概率為；第二種：進(jìn)行4次猜拳后游戲結(jié)束，只可能為甲在前3次中勝2次，平1次，第4次甲勝，其概率為：；第三種：進(jìn)行5次猜拳后游戲結(jié)束，由（1）知，其概率為，綜上：甲至多在進(jìn)行五次猜拳后獲勝的概率為．7．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，由題知，，，∴，∴，∴該局打4個球甲贏的概率為．（2）設(shè)該局打5個球結(jié)束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結(jié)束為事件F，易知D，E為互斥事件，，，，∴，，∴，∴該局打5個球結(jié)束的概率為．2．古典概型1．【答案】A【解析】甲、乙、丙、丁四個人派出兩個人有6種可能（甲乙）、（甲丙）、（甲?。ⅲㄒ冶?、（乙丁）、（丙?。?，甲被派出的有3種可能（甲乙）、（甲丙）、（甲?。?，故選A．2．【答案】A【解析】由題意，從這12臺發(fā)動機(jī)中隨機(jī)抽取2臺發(fā)動機(jī)，共有種情況；若抽取的2臺發(fā)動機(jī)都是控制發(fā)動機(jī)，共有種情況，故所求概率為，故選A．3．【答案】A【解析】從個位?十位?百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠，得到的整數(shù)共有32個，分別為：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的整數(shù)有24個，分別為：15，55，105，505，110，150，510，550，1005，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，20，200，2000，60，600，6000，則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率為，故選A．4．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意，．（2）根據(jù)表格，50米往返跑為優(yōu)秀的學(xué)生有6人，記這6人為1，2，3，4，5，6，其中5，6表示這6人中跳繩為優(yōu)秀的學(xué)生，于是從這6人中抽取2人的所有情況為：{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，總共15種情況，其中至少有一位跳繩優(yōu)秀的情況有：{15，16，25，26，35，36，45，46，56}，共9種情況，所以所求概率．5．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）摸出的2個小球?yàn)楫惿虻姆N數(shù)為，從8個球中摸出2個小球的種數(shù)為，故所求概率．（2）從袋中一次摸出3個小球，黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球個數(shù)有三種情況：①摸出1個紅球，1個黑球，1個白球，共有種；②摸出2個紅球，1個其他顏色球，共有種；③摸出3個球均為紅球，共有種；因?yàn)閺?個球中摸出3個小球的種數(shù)為，所以所求概率．（3）由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個白球1個黑球或1個白球2個紅球，所以所求概率．3．幾何概型1．【答案】B【解析】畫出區(qū)域（圖中及內(nèi)部），區(qū)域內(nèi)滿足的區(qū)域?yàn)閳D中四邊形的內(nèi)部及邊界（不包括），且，，，所以，所以，故所求概率，故選B．2．【答案】B【解析】當(dāng)時，此時，若，則點(diǎn)P必須位于以點(diǎn)C為圓心，半徑為1和半徑為