2022年吉林省(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

吉林省2022年初中學業(yè)水平考試

數(shù)學試卷

數(shù)學試卷共6頁，包括六道大題，共26道小題;全卷滿分120分?？荚嚂r間120分鐘;考試結束后，

將本試卷和答題卡一并交回

注意事項：

1.答題前，請您將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內

2.答題時，請按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內作答，在草稿紙、試卷上答題無效

一、單項選擇題（每小題2分，共12分）

1.吉林松花石有“石中之寶”的美譽，用它制作的硯臺叫松花硯，能與中國四大名硯媲美.下圖是一款松花硯的

示意圖，其俯視圖為（）

々面

°o

A.jflB.1..................C.

2.要使算式（-1）口3的運算結果最大，則“口”內應填入的運算符號為（)

A.+B.-C.XD.+

3.y與2的差不大于0,用不等式表示為（）

A.y-2>0B.y-2<0C.y-2>0D.y-2<0

4.實數(shù)“，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則〃的大小關系為（)

------1------11------>>

a0b

A.a>hB.a<bC.a=bD.無法確定

5.如圖，如果N1=N2,那么A5〃CD,其依據(jù)可以簡單說成（）

AC

A兩直線平行，內錯角相等B.內錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

6.如圖，在:A8C中，ZACB=90°,A」B=5,BC=4.以點A為圓心，『為半徑作圓，當點。在A內且點

8在OA外時，r的值可能是（）

VphJ,"

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.實數(shù)—近的相反數(shù)是.

8.計算：a-a2=__.

9.籃球隊要購買10個籃球，每個籃球加元，一共需要元.（用含加的代數(shù)式表示）

10.《九章算術》中記載了一道數(shù)學問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒

3斛（斛，音hii,是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可以盛酒

多少斛？設1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛.根據(jù)題意，可列方程組為.

11.第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結和雪花兩種元素.如圖，這個圖案繞著它的中心旋

轉角a（0°<a<360°）后能夠與它本身重合，則角a可以為.度.（寫出一個即可）

12.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（—2,0）,點B在y軸正半軸上，以點8為圓心，84長為半徑作

弧，交》軸正半軸于點C,則點C的坐標為.

13.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,5。相交于點0,點E是邊AO的中點，點尸在對角線AC上，且

AF=-AC,連接EE.若AC=10,則a=.

4

14.如圖，在半徑為1的。0上順次取點A,B,C,D,E，連接AB,AE,OB,0C,0D,0E.若

ZBAE=65°,NCO￡>=70°,則與DE的長度之和為.（結果保留萬）.

三、解答題（每小題5分，共20分）

16.下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中A是關于加的多項式.請寫出多項式A,并將該例題的解答過

程補充完整.

例先去括號，再合并同類項：陽（A）-6（^+1）.

解：〃？（A）-6（m+l）

=m2+6m—6m-6

17.長白山國家級自然保護區(qū)、松花湖風景區(qū)和凈月潭國家森林公園是吉林省著名的三個景區(qū).甲、乙兩人用抽卡

片的方式?jīng)Q定一個自己要去的景區(qū).他們準備了3張不透明的卡片，正面分別寫上長白山、松花湖、凈月潭.卡

片除正面景區(qū)名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，甲先從中隨機抽取一張卡片，記下景區(qū)名稱后

正面向下放回，洗勻后乙再從中隨機抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長白山的概

率.

18.圖①，圖②均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.其中點A，8，C均在格點上.請在給

(1)在圖①中，找一格點。，使以點A,B,C,。為頂點的四邊形是軸對稱圖形；

(2)在圖②中，找一格點E，使以點A,B,C,E為頂點的四邊形是中心對稱圖形.

四、解答題(每小題7分，共28分)

19.劉芳和李婷進行跳繩比賽.已知劉芳每分鐘比李婷多跳20個，劉芳跳135個所用的時間與李婷跳120個所用

的時間相等.求李婷每分鐘跳繩的個數(shù).

33

20.密閉容器內有一定質量的氣體，當容器的體積V(單位：m)變化時，氣體的密度夕(單位：kg/m)隨

之變化.已知密度。與體積V是反比例函數(shù)關系，它的圖像如圖所示.

(1)求密度「關于體積V函數(shù)解析式;

(2)當V=10m3時，求該氣體的密度「.

21.動感單車是一種新型的運動器械.圖①是一輛動感單車的實物圖，圖②是其側面示意圖.4BCD為主車架,

AB為調節(jié)管，點A,B,C在同一直線上.已知BC長為70cm,N8CC的度數(shù)為58。.當48長度調至34cm時,

求點A到CD的距離AE的長度（結果精確到1cm）.（參考數(shù)據(jù)：sin58*0.85,cos58°=0.53,tan580-1.60）

22.為了解全國常住人口城鎮(zhèn)化率的情況，張明查閱相關資料，整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計圖如下:

注：城鎮(zhèn)化率=城鎮(zhèn)吊駐人口x100%.例如，城鎮(zhèn)常住人口60.12萬人，總人口100萬人，則總人口城鎮(zhèn)化

總人口

率60.12%.

回答下列問題:

（1）2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率的中位數(shù)是%；

（2）2021年年末全國人口141260萬人，2021年年末全國城鎮(zhèn)常住人口為萬人；（只填算式，不計算結

果）

（3）下列推斷較為合理的是（填序號）.

①2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于64

72%.

②全國常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加0.83%,全國常

住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率低于64.72%.

五、解答題(每小題8分，共16分)

23.李強用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質量的水，甲壺比乙壺加熱速度快.在一段時間內，水

溫y(℃)與加熱時間x(s)之間近似滿足一次函數(shù)關系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖象如下：

(2)求乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數(shù)解析式；

(3)當甲壺中水溫剛達到80℃時，乙壺中水溫是℃.

24.下面是王倩同學的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線「ABC與的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設乙與4之間的距離為〃，則Svw=；8C1，

???°qABC-_°qDBC?

【探究】

sh

(1)如圖②，當點。在4，4之間時，設點A,。到直線4的距離分別為〃，h',則設"=7；.

圖②

證明：???S.BC_______________

sAM

(2)如圖③，當點。在心，2之間時，連接AO并延長交4于點M，則產(chǎn)

1△DBC~DM

圖③

證明：過點A作AE_L8M，垂足為E，過點。作。尸J_3M，垂足為尸，則NA￡M=NOR0=9?！?

：.AE//.

△AEMs.

.AEAM

,?DF-DM.

s

由【探究】（1）可知產(chǎn)u=_______

'△DBC

__AM

S/\DBC~~DM'

(3)如圖④，當點。在4下方時，連接AQ交4于點石.若點A,E,。所對應的刻度值分別為5,1.5,0,

的值為________

DBC

h

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.如圖，在uWC中，NACB=90°，NA=3O。，AB=6cm.動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊

A8向終點B勻速運動.以期為一邊作N4%=120。，另一邊尸。與折線AC—CB相交于點。，以PQ為邊作

菱形PQMN,點N在線段PB上.設點尸的運動時間為x(s),菱形尸QWN與.ABC重疊部分圖形的面積為

J（cm2）.

(1)當點。在邊AC上時，H2的長為cm；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當點M落在邊BC上時，求x的值；

(3)求V關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/+歷c+c(b,，是常數(shù))經(jīng)過點41,0),點8(0,3).點p在此拋

物線上，其橫坐標為旭.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)當點P在x軸上方時，結合圖象，直接寫出加的取值范圍；

(3)若此拋物線在點尸左側部分(包括點P)最低點的縱坐標為2-機.

①求加的值；

②以R4為邊作等腰直角三角形PA。，當點。在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點。的坐標.

吉林省2022年初中學業(yè)水平考試

數(shù)學試卷

數(shù)學試卷共6頁，包括六道大題，共26道小題;全卷滿分120分?？荚嚂r間120分鐘;考試結束后，

將本試卷和答題卡一并交回

注意事項：

1.答題前，請您將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內

2.答題時，請按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內作答，在草稿紙、試卷上答題無效

一、單項選擇題（每小題2分，共12分）

1.吉林松花石有“石中之寶”的美譽，用它制作的硯臺叫松花硯，能與中國四大名硯媲美.下圖是一款松花硯的

示意圖，其俯視圖為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖）即可得.

【詳解】解：其俯視圖是由兩個同心圓（不含圓心）組成，即為

故選：C.

【點睛】本題考查了俯視圖，熟記定義是解題關鍵.

2.要使算式（-1）03的運算結果最大，則“口”內應填入的運算符號為（）

A.十B.C.XD.

【答案】A

【分析】將各選項的運算符號代入計算即可得.

【詳解】解：(-1)+3=2,

(—1)-37,

(—1)x3=—3,

(-1)+3=-g，

因為—4<—3<—<2,

3

所以要使運算結果最大，應填入的運算符號為+,

故選：A.

【點睛】本題考查有理數(shù)的加減乘除運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵.

3.y與2的差不大于0,用不等式表示為()

A.y—2>0B.y—2<0C,y-2>0D.y—2^0

【答案】D

【分析】根據(jù)差運算、不大于的定義列出不等式即可.

【詳解】解；由題意，用不等式表示為y-2W0,

故選：D.

【點睛】本題考查了列一元一次不等式，熟練掌握“不大于是指小于或等于“是解題關鍵.

4.實數(shù)"，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則。，〃的大小關系為()

------1------1--------------1------

a0b

A.a>hB.a<bC.a=bD.無法確定

【答案】B

【分析】在以向右為正方向的數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)，根據(jù)此結論即可得出結論.

【詳解】由圖知，數(shù)軸上數(shù)b表示的點在數(shù)。表示的點的右邊，則

故選：B.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上有理數(shù)大小的比較，是基礎題.

5.如圖，如果N1=N2,那么A8〃CD,其依據(jù)可以簡單說成（）

A.兩直線平行，內錯角相等B,內錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

【答案】D

【分析】根據(jù)“同位角相等，兩直線平行''即可得.

【詳解】解：因為N1與N2是一對相等的同位角，得出結論是A5CD,

所以其依據(jù)可以簡單說成同位角相等，兩直線平行，

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關鍵.

6.如圖，在4ABe中，ZACB=90°，AB=5,BC=4.以點A為圓心，『為半徑作圓，當點。在［A內且點

B在oA外時，r的值可能是（）

【答案】C

【分析】先利用勾股定理可得AC=3,再根據(jù)“點C在內且點8在OA外”可得3（廠<5,由此即可得出答

案.

【詳解】解：在二ABC中，ZACB=90°,43=5,BC=4,

.-.AC=7AB2-BC2=3>

點C在：A內且點B在0A外,

AC<r<AB,即3vrv5,

觀察四個選項可知，只有選項C符合，

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.實數(shù)—近的相反數(shù)是..

【答案】V2

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)為互為相反數(shù)進行解答.

【詳解】解：根據(jù)相反數(shù)的定義，

可得-正相反數(shù)是血.

故答案為：夜

【點睛】此題主要考查了實數(shù)的性質，關鍵是掌握相反數(shù)的定義.

8.計算：a-a2=__.

【答案】a3

2+23

【詳解】試卷分析：根據(jù)同底數(shù)塞的乘法性質，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可直接結算，a-a=a'=a.

考點：同底數(shù)塞的乘法

9.籃球隊要購買10個籃球，每個籃球加元，一共需要元.（用含加的代數(shù)式表示）

【答案】10小

【分析】根據(jù)“總費用=購買籃球的數(shù)量x每個籃球的價格”即可得.

【詳解】解：由題意得：一共需要的費用為10〃7元，

故答案為：10/71.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式，正確找出等量關系是解題關鍵.

10.《九章算術》中記載了一道數(shù)學問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒

3斛（斛，音hd,是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可以盛酒

多少斛？設1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒V斛.根據(jù)題意，可列方程組為.

x+5y-2

【答案】〈

5x+y=3

【分析】根據(jù)題中兩個等量關系：5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛；1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛，列

出方程組即可.

5x+y=3

【詳解】由題意得：4/一

x+5y=2

5x+y=3

故答案為：*

x+5y=2

【點睛】本題考查了列二元一次方程組解實際問題，理解題意、找到等量關系并列出方程組是解題的關鍵.

11.第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結和雪花兩種元素.如圖，這個圖案繞著它的中心旋

轉角。（0°<。<360°）后能夠與它本身重合，則角a可以為度.（寫出一個即可）

【答案】60或120或180或240或300（寫出一個即可）

【分析】如圖（見解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉的定義即可得.

360°

【詳解】解：這個圖案對應著如圖所示的一個正六邊形，它的中心角Nl=；—=60°,

6

0°<a<360°,

角a可以為60°或120°或180?；?40°或300°,

故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個即可）.

【點睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉，熟練掌握正多邊形的性質是解題關鍵.

12.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-2,0),點B在y軸正半軸上，以點B為圓心，長為半徑作

弧，交x軸正半軸于點C,則點C的坐標為

【答案】(2,0)

【分析】連接BC,先根據(jù)點A的坐標可得。A=2,再根據(jù)等腰三角形的判定可得.ABC是等腰三角形，然后根

據(jù)等腰三角形的三線合一可得OC=Q4=2,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接BC,

.點A的坐標為(—2,0),

OA-2,

由同圓半徑相等得：BA=BC,

.?.AABC是等腰三角形，

BO1AC,

:.OC^OA=2(等腰三角形的三線合一),

又點C位于x軸正半軸，

二點C坐標為(2,0),

故答案為：(2,0).

【點睛】本題考查了同圓半徑相等、等腰三角形的三線合一、點坐標等知識點，熟練掌握等腰三角形的三線合一

是解題關鍵.

13.如圖，在矩形A8C。中，對角線AC,80相交于點。，點E是邊A。的中點，點尸在對角線AC

上，且AF=，AC,連接防.若AC=10,則"=—

【分析】由矩形的性質可得點尸是04的中點，從而EF是△40。的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF

的長.

【詳解】???四邊形ABC。是矩形，

：.BD=AC=10,0A=yAC,0D=』BD=5,

；AF=-AC,

4

AAF=-0A,即點尸是0A的中點.

2

???點E是邊AO的中點，

...EF是△AO。的中位線，

:.EF=-OD=-.

22

故答案為：一.

2

【點睛】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理等知識，掌握中位線定理是本題的關鍵.

14.如圖，在半徑為1的《O上順次取點A,B,C,D,E，連接AB,AE，OB,OC,OD,OE.若

NR4E=65。，NCQ9=70°,則BC與DE的長度之和為.（結果保留乃）.

【分析】由圓周角定理得/BQE=2NB4E=130°,根據(jù)弧長公式分別計算出BE與。C的長度，相減即可得到

答案.

【詳解】解：,??44E=65。,

...NBOE=2NBAE=130°

又:。的半徑為1,

130萬x1_13乃

的長度=

BE1801T

又NCW=70°,

““心70萬xl7萬

的長度二E

."C78

]376?

BC與DE的長度之和'

10101OJ

故答案為：~71?

【點睛】本題主要考查了計算弧長，圓周角定理，熟練掌握弧長計算公式是解答本題的關鍵.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.如圖，AB^AC,ABAD=ACAD.求證：BD=CD.

A

【答案】證明見解析

【分析】先利用三角形全等的判定定理（S45定理）證出_A3OM_AC。，再根據(jù)全等三角形的性質即可得.

AB^AC

【詳解】證明：在△A3。和AACZ)中，＜NBAD=ZCAD,

AD^AD

:._ABD=.ACD(SAS),

：.BD=CD.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解題關鍵.

16.下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中A是關于加的多項式.請寫出多項式A

,并將該例題的解答過程補充完整.

例先去括號，再合并同類項：m(A)-6(m+l).

解：tn(A)-6(m+l)

=nr+6m-6m-6

【答案】A=m+6,解答過程補充完整為機2一6

【分析】利用根2+6根除以加可得A,再根據(jù)合并同類項法則補充解答過程即可.

【詳解】解：觀察第一步可知，A=(4+6m)+加，

解得A=〃z+6,

將該例題的解答過程補充完整如下：〃?(〃7+6)—6(m+1)

=加？+6m—6m—6

=療—6，

故答案為：m2—6■

【點睛】本題考查了多項式的乘除法、合并同類項，熟練掌握整式的運算法則是解題關鍵.

17.長白山國家級自然保護區(qū)、松花湖風景區(qū)和凈月潭國家森林公園是吉林省著名的三個景區(qū).甲、乙兩人用抽卡

片的方式?jīng)Q定一個自己要去的景區(qū).他們準備了3張不透明的卡片，正面分別寫上長白山、松花湖、凈月潭.卡

片除正面景區(qū)名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，甲先從中隨機抽取一張卡片，記下景區(qū)名稱后

正面向下放回，洗勻后乙再從中隨機抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長臼山的概

率.

【答案】甲、乙兩人都決定去長白山的概率為

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中兩人都決定去長白山的結果有1種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：長白山、松花湖、凈月潭依次用字母A,B,C表示，

畫樹狀圖如下：

ABC

Zl\/1\/1\

ABCABCABC

共有9種等可能的結果，其中甲、乙兩人都決定去長白山的結果有1種，

...甲、乙兩人都決定去長白山的概率為1.

【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及隨機事件等知識.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結

果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.圖①，圖②均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.其中點A，B,C均在格點上.請在給

（1）在圖①中，找一格點D,使以點A,B,C,。為頂點的四邊形是軸對稱圖形；

（2）在圖②中，找一格點￡,使以點A,B,C,E為頂點的四邊形是中心對稱圖形.

【答案】（1）圖見解析

（2）圖見解析

【分析】（1）以AC所在直線為對稱軸，找出點8的對稱點即為點再順次連接點即可得;

（2）根據(jù)點8平移至點A的方式，將點。進行平移即可得點￡,再順次連接點A,8,C,E即可得.

解：先將點B向左平移2格，再向上平移1個可得到點A,

則將點C按照同樣的平移方式可得到點E，

如圖②，平行四邊形ABCE是中心對稱圖形.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形、平移作圖，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念是解題

關鍵.

四、解答題（每小題7分，共28分）

19.劉芳和李婷進行跳繩比賽.已知劉芳每分鐘比李婷多跳20個，劉芳跳135個所用的時間與李婷跳120個所用

的時間相等.求李婷每分鐘跳繩的個數(shù).

【答案】160個

【分析】設李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為x個，則劉芳每分鐘跳繩的個數(shù)為（x+20）個，根據(jù)“劉芳跳135個所用的時間

與李婷跳120個所用的時間相等”建立方程，解方程即可得.

【詳解】解：設李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為*個，則劉芳每分鐘跳繩的個數(shù)為（x+20）個,

135120

由題意得:

x+20x

解得x=160,

經(jīng)檢驗，x=160是所列分式方程的解，且符合題意,

答：李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為160個.

【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，正確找出等量關系，并建立方程是解題關鍵.

20.密閉容器內有一定質量的氣體，當容器的體積V（單位：n?）變化時，氣體的密度夕（單位：kg/n?）隨

之變化.已知密度夕與體積V是反比例函數(shù)關系，它的圖像如圖所示.

(1)求密度Q關于體積V的函數(shù)解析式;

(2)當V=10m3時，求該氣體的密度「.

【答案】(1)p=^(V>0)

(2)1kg/m3

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可完成；

(2)把V=10值代入(1)所求得的解析式中，即可求得該氣體的密度.

【小問1詳解】

設密度P關于體積v的函數(shù)解析式為p=9(v〉0,氏70),

把點A的坐標代入上式中得：-=2.5,

4

解得：k=10,

.”=￡”>0).

【小問2詳解】

當V=100?時，夕=*=1(kg/m3).

即此時該氣體的密度為1kg/m3.

【點睛】本題是反比例函數(shù)的應用問題，考查了求反比例函數(shù)的解析式及求反比例函數(shù)的函數(shù)值等知識，由圖像

求得反比例函數(shù)解析式是關鍵.

21.動感單車是一種新型的運動器械.圖①是一輛動感單車的實物圖，圖②是其側面示意圖.ABC。為主車架，

AB為調節(jié)管，點A,B,C在同一直線上.已知BC長為70cm,N8CD的度數(shù)為58。.當AB長度調至34cm時,

求點A到C￡>的距離AE的長度(結果精確到1cm).(參考數(shù)據(jù):sin580=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)

圖1圖2

【答案】點A到CD的距離AE的長度約為88cm.

【分析】根據(jù)正弦的概念即可求解.

【詳解】解：在RdACE中，ZAEC=90°,ZACE=58°,AC=A8+BC=34+70=104(cm),

AE?AE

VsinZAC￡=---,即nsin58°=----,

AC104

.,M￡=104x0.85=88.4~88(cm),

二點A到CD的距離AE的長度約為88cm.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵.

22.為了解全國常住人口城鎮(zhèn)化率的情況，張明查閱相關資料，整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計圖如下:

城鎮(zhèn)常駐人口

注：城鎮(zhèn)化率=叫/1；九八又100%.例如，城鎮(zhèn)常住人口60.12萬人，總人口100萬人，則總人口城鎮(zhèn)化

總人口

率為60.12%.

回答下列問題:

(1)2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率的中位數(shù)是%；

(2)2021年年末全國人口141260萬人，2021年年末全國城鎮(zhèn)常住人口為萬人；(只填算式，不計算結

果)

(3)下列推斷較為合理的是(填序號).

①2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于64.72%.

②全國常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加0.83%,全國常

住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率低于64.72%.

【答案】⑴62.71

（2）141260x64.72%

（3）①

【分析】（D根據(jù)中位數(shù)的定義即可得；

（2）根據(jù)城鎮(zhèn)化率的計算公式即可得；

（3）根據(jù)全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升的趨勢，可估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于64.72%,由

此即可得出答案.

【小問1詳解】

解：2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率按從小到大進行排序為60.24%,61.5%,62.71%,63.89%,

64.72%,則排在中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，

所以中位數(shù)為62.71%,

故答案為：62.71.

【小問2詳解】

解：2021年年末全國城鎮(zhèn)常住人口為141260x64.72%萬人，

故答案為：141260x64.72%.

【小問3詳解】

解：2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于

64.72%,則推斷①較為合理；

全國常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加0.83%,全國常

住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，可估計全國常住人口城鎮(zhèn)化率2022年年末比2021年年末增加幅度小于0.83%,

但2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率會高于64.72%,則推斷②不合理；

故答案為：①.

【點睛】本題考查了中位數(shù)和折線統(tǒng)計圖，讀懂折線統(tǒng)計圖是解題關鍵.

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.李強用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質量的水，甲壺比乙壺加熱速度快.在一段時間內，水

溫y（℃）與加熱時間x（s）之間近似滿足一次函數(shù)關系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖象如下:

(2)求乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數(shù)解析式；

(3)當甲壺中水溫剛達到80℃時，乙壺中水溫是℃.

3

【答案】(1)20(2)y=-x+20

8

(3)65

【分析】(1)根據(jù)x=0時，y=20即可得；

(2)先判斷出乙壺對應的函數(shù)圖象經(jīng)過點(0,20),(160,80),再利用待定系數(shù)法即可得；

(3)先利用待定系數(shù)法求出甲壺中y與x的函數(shù)解析式，再求出y=80時，x的值，然后將x的值代入乙壺中y

與x的函數(shù)解析式即可得.

【小問1詳解】

解：由函數(shù)圖象可知，當x=0時，y=20,

則加熱前水溫是20。。，

故答案為：20.

【小問2詳解】

解：因為甲壺比乙壺加熱速度快，

所以乙壺對應的函數(shù)圖象經(jīng)過點(0,20),(160,80),

設乙壺中水溫N關于加熱時間x的函數(shù)解析式為y=kx+b*70),

160攵+。=80

將點(0,20),(160,80)代入得:

。=20

,3

k=-

解得《8,

Z?=20

3

則乙壺中水溫y關于加熱時間X的函數(shù)解析式為y=W尤+20,

O

自變量X的取值范圍是OWxW160.

【小問3詳解】

解：設甲壺中水溫y關于加熱時間x的函數(shù)解析式為y=mx+n(m豐0),

SOm+”=60

將點(0,20),(80,60)代入得：\M,

”=20

1

m--

解得J2,

n=20

則甲壺中水溫V關于加熱時間x的函數(shù)解析式為y=gx+20,

當y=80時，1x+20=80,解得x=120,

33

將x=120代入y=—x+20得：j=-xl20+20=65,

88

即當甲壺中水溫剛達到80°C時，乙壺中水溫是65℃,

故答案為：65.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應用，讀懂函數(shù)圖象，并熟練掌握待定系數(shù)法是解題關鍵.

24.下面是王倩同學的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線4〃6，一ABC與的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設4與4之間的距離為〃，則S&DBC=qBCh

??0ABC-°DBC.

【探究】

Sh

(1)如圖②，當點。在4，6之間時，設點A,。到直線4的距離分別為〃，/?'，則《3=77.

'△DBC"

圖②

證明：???S.BC_______________

sAM

(2)如圖③，當點。在心，2之間時，連接AO并延長交4于點M，則產(chǎn)

1△DBC~DM

圖③

證明：過點A作AE_L8M，垂足為E，過點。作。尸J_3M，垂足為尸，則NA￡M=NOR0=9?！?

：.AE//.

△AEMs.

.AEAM

,?DF-DM.

s

由【探究】（1）可知產(chǎn)u=_______

'△DBC

__AM

S/\DBC~~DM'

(3)如圖④，當點。在4下方時，連接AQ交4于點石.若點A,E,。所對應的刻度值分別為5,1.5,0,

的值為________

DBC

/1

圖④

【答案】（1）證明見解析

7

（2）證明見解析（3）-

3

【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得S由此即可得證；

（2）過點A作AEJ_8W，垂足為E，過點。作。產(chǎn)_L?W,垂足為E，先根據(jù)平行線的判定可得AEDF,

再根據(jù)相似三角形的判定可證AEMDFM，根據(jù)相似三角形的性質可得一=——，然后結合【探究】

DFDM

（1）的結論即可得證；

（3）過點A作A〃_L3C于點/，過點。作ON，3c于點N,先根據(jù)相似三角形的判定證出

A.UAP7

NAME^/DNE,再根據(jù)相似三角形的性質可得——=——=一，然后根據(jù)三角形的面積公式可得

DNDE3

SABC=]8C-AM,SDBC=-BCDN,由此即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：SABC=—BC?h,SDBC——BC-h',

【小問2詳解】

證明：過點A作AE_L8W，垂足為E，過點。作OFLBM，垂足為尸，則NA￡M=NDR0=90°,

BECFM

圖③

r.AE//DF.

：^AEM-.DFM.

AEAM

?________

"~DF~~DM'

由【探究】（1）可知乎竺-=槳,

、VDBC

.SvABC_AM

SvDBCDM

【小問3詳解】

AMPDN,

：NAME^/DNE,

.AMAE

,?而一法’

點AE,。所對應的刻度值分別為5,1.5,0,

；.AE=5—L5=3.5,DE=1.5,

?AM__3_.5__7

"15N~T5~3,

又?'SDBC=^BC.DN，

.S7ABe_AM_7

7

故答案為：一.

3

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、平行線的判定、三角形的面積等知識點，熟練掌握相似三角形的

判定與性質是解題關鍵.

六、解答題（每小題10分，共20分）

25.如圖，在ABC中，ZACB=90°,NA=3O。，AB=6cm.動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊

A8向終點5勻速運動.以曰為一邊作=120。，另一邊PQ與折線AC—C8相交于點。

，以尸。為邊作菱形PQMN,點N在線段PB上.設點P的運動時間為Ms),菱形尸QMN與.ABC重疊部分圖

形的面積為'(cm?).

(1)當點。在邊AC上時，PQ的長為cm；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當點〃落在邊8C上時，求x的值；

(3)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】(1)2x(2)1

2屈20<x<l

3

(3)丫=-7后+18辰-96Kx<-

2

yf3x2-6s/3x+9y/3|X3

【分析】(1)先證明/A=NAQP=30。，BPAP=PQ,根據(jù)題意有AP=2x,即PQ=2x；

(2)當M點在BC上，。點在AC上，在(1)中己求得AP=PQ=2x,再證明△MNB是等邊三角形，即有

BN=MN,根據(jù)AB=6x=6cm,即有1(s)；

(3)分類討論：當OVxWl時，此時菱形PQMN在△ABC的內部，此時菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱

形PQMN的面積，過。點作QGLAB于G點，求出菱形的面積即可；當x>l,且。點在線段AC上時，過。點

作QGLA5于G點，設QM交8c于F點，MN交BC于■E羔,過M點作M/D于〃點，先證明△ENB是等邊

三角形、AMEF是等邊三角形，重疊部分是菱形PQMN的面積減去等邊△ME尸的面積，求出菱形PQWN的面積

和等邊AMEF的面積即可，此時需要求出當。點在C點時的臨界條件；當3<XW3時，此時。點在線段BC

2

上，此時N點始終與B點重合，過。點作0GLAB于G點，重疊部分的面積就是△PBQ的面積，求出等邊△P8。

的面積即可.

【小問1詳解】

當。點在AC上時，

VZA=3O°,ZAPQ=\20Q,

AZAQP=3>0°,

JNA=NAQP,

：.AP=PQ,

???運動速度為每秒2cm,運動時間為x秒,

.\AP=2xf

：.PQ=2x；

【小問2詳解】

當M點在3c上，。點在AC上，如圖，

在(1)中已求得AP=PQ=2x,

???四邊形。尸MN是菱形，

:?PQ=PN=MN=2x,PQ//MN,

VZAPQ=\20°,

AZ0PB=6O°,

?.?PQ//MN,

:?/MNB=/QPB=60°,

???在R/ZV1BC中，ZC=90°,ZA=30°,

AZB=60°,

???△MN8是等邊三角形，

:.BN=MN,

：.AB=AP+PN+BN=2xX3=6x=6cm,

Ax=l(s)；

【小問3詳解】

當尸點運動到8點時，用時6+2=3(s),

即x取值范圍為：0Wx<3,

當M點剛好在5C上時，

在(2)中已求得此時x=l,

分情況討論，

即當0<xWl時，此時菱形PQMN在△ABC的內部，

...此時菱形PQWN與△4BC重疊的面積即是菱形PQMN的面積,

過。點作QGLAB于G點，如圖，

VZAPQ=\20a,

:.NQPN=60°,即菱形PQMN的內角/QPN=NQMN=60°,

AQG=PQxsinZQPN=2xxsin600=y/3x，

...重疊面積等于菱形PQMN的面積為，即為：y=PNxQG=2x義超x=2出士；

當x>l,且。點在線段AC上時，

過。點作QGLAB于G點，設。M交BC于F點，MN交BC于E前,過M點作N”_LEF于”點，如圖,

PQ//MN,

NMNB=NQPN=60,

;NB=60°,

是等邊三角形，

同理可證明△MEF是等邊三角形

.\BN=NE,ZM￡F=60°,ME=EF,

,:AP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,

:.BN=6-AN=64x,

：.ME=MN-NE=2x-BN=6x-6,

'：MHLEF,

，MH=MExsin/MEH=(6x-6)xsin60°=(3x-3)百，

.,.△MEF的面積為：S4MEF=gxEFxMH=^x(6x-6)x(3x-3)>/3=9A/3(X-1)2,

QG二PQxsinNQPN