非線性有限元作業(yè)

非線性有限元1.2對于梁的動力方程，確定方程類型。 解：設(shè)，。 所以：（1-1）（1-2）（1-3）（1-4） 結(jié)合公式（1-1）~（1-4）得到：（1-5） 因為det（A）=0，所以得到：（1-6） 所以，所以梁的動力方程為拋物線型。2.3考慮一個逐漸變細(xì)的兩節(jié)點單元，采用如例2.4中更新的Lagrangian格式的線性位移場。它的當(dāng)前橫截面面積為，其中A1和A2分別為節(jié)點1和2處的當(dāng)前橫截面積。對于更新的Lagrangian格式，以Cauchy應(yīng)力的形式建立內(nèi)部節(jié)點力，假設(shè)，其中和分別是節(jié)點1和2處的Cauchy應(yīng)力。對于常體力問題建立外部節(jié)點力。 解： 速度場為：（2-1） 其中： 用單元坐標(biāo)的形式，則速度場為：（2-2） 由于位移是速度的時間積分，而與時間無關(guān)，則（2-3） 由于x=X+u，所以（2-4） 其中，是單元的當(dāng)前長度。我們可以用Eulerian坐標(biāo)的形式表示：（2-5） 由鏈規(guī)則得到B矩陣：（2-6） 所以變形率為（2-7） 所以得到內(nèi)部節(jié)點力為：（2-8） 將公式（2-8）進行積分得到內(nèi)部節(jié)點力： 外部節(jié)點力為：（2-9） 公式（2-9）中，右邊第二項只有單元節(jié)點處在力邊界上時，才做出貢獻。求解外部節(jié)點的積分方法與求解內(nèi)部節(jié)點的積分方法相同，最后得到的外部節(jié)點力為：3.1考慮在圖3.4中所示的單元。設(shè)運動為在t=1時拉伸單元。計算此刻的變形梯度和Green應(yīng)變張量，解釋在Green應(yīng)變中非零項的物理意義。計算t=1時單元的速度和加速度計算t=1時單元的變形率和角加速度在t=0.5時重復(fù)以上步驟計算作為時間函數(shù)的J行列式，并確定多長時間行列式保持正值。當(dāng)J行列式改變符號時拉伸單元，此時你能看到什么運動。解： 由已知得運動的表達式為：（3-1） 所以變形梯度為：（3-2） 因此t=1時刻和t=0.5時刻的變形梯度為： 其Green應(yīng)變張量為：（3-3） 因此t=1時刻和t=0.5時刻的Green應(yīng)變張量為： 此處矩陣第一行第一列項表示沿x方向的應(yīng)變量，第一行第二列項和第二行第一列項表示xy方向的切應(yīng)變量，第二行第二列項表示y方向的應(yīng)變量。 單元的速度為：（3-4） 所以單元的加速度為：（3-5） 由公式（3-4）和公式（3-5）可以看出，不管何時刻，單元的速度和加速度都不變。 結(jié)合公式（3-1）和公式（3-4）得到t=1時刻和t=0.5時刻的速度表達式： 所以速度梯度為： 得到變形率和角速度為： 根據(jù)公式（3-2）Jacobian行列式為： 令J=0，得出t=1.414。因此在1.414