高考總復習文數(shù)（北師大版）講義第1章第01節(jié)集合

第一節(jié)集合考點高考試題考查內容核心素養(yǎng)集合2017·全國卷Ⅰ·T1·5分集合運算與一次不等式的解法數(shù)學運算2017·全國卷Ⅱ·T1·5分并集運算2017·全國卷Ⅲ·T1·5分交集運算2016·全國卷Ⅰ·T1·5分集合的交集運算數(shù)學運算2016·全國卷Ⅱ·T1·5分集合運算與二次不等式的解法2016·全國卷Ⅲ·T1·5分集合補集運算2015·全國卷Ⅰ·T1·5分集合交集運算數(shù)學運算2015·全國卷Ⅱ·T1·5分集合交集運算命題分析集合的基本運算以及一元二次方程、函數(shù)定義域、值域的綜合問題是高考的熱點；難點是以集合及相關知識為背景的綜合問題.1．元素與集合(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．(2)集合與元素的關系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A．(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常用數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN＋或N*ZQR2.集合與集合之間的基本關系描述關系文字語言符號語言集合間的基本關系子集A中任何一元素都是B中的元素A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于AAB或BA相等如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，同時集合B中的任何一個元素都是集合A中的元素A＝B空集空集是任何集合的子集??A空集是任何非空集合的真子集?B且B≠?3.集合間的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}提醒：(1)若集合A含有n個元素，則其子集有2n個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．(2)在解決有關A∩B＝?，A?B等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮?是否成立，以防漏解．(3)集合的運算性質①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B；②A∩A＝A，A∩?＝?；③A∪A＝A，A∪?＝A；④A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A．(4)Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)集合{x2＋x,0}中實數(shù)x可取任意值．()(2)任何集合都至少有兩個子集．()(3)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，則A?B．()(4)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材習題改編)若集合A＝{x∈N＋|x≤8}，a＝2eq\r(2)，則下面結論中正確的是()A．{a}?A B．a?AC．{a}∈A D．a?A解析：選D因為2eq\r(2)不是正整數(shù)，所以a?A．3．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的個數(shù)為2.故選B．4．(2016·全國卷Ⅲ)設集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，則?AB＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：選C?AB＝{0,2,6,10}．5．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)＝()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：選D因為A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{4}．集合及集合間的關系[明技法](1)與集合中的元素有關問題的求解策略一看元素，二看限制條件，三列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)．注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．(2)判斷兩集合的關系常有兩種方法①化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關系．②用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系．[提能力]【典例】(1)設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為____________解析：(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b為1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4個元素．(2)∵B?A，∴若B＝?，則2m－1<m＋1，此時m<2.若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.②由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．答案：(1)B(2)(－∞，3][母題變式]在本例(2)中，若A?B，如何求解？解：若A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3.))所以m的取值范圍為?.[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結論正確的是()A．A＝B B．A∩B＝?C．A?B D．B?A解析：選D因為A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，所以結合數(shù)軸可得B?A．2．(2018·萊州模擬)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C?A}，則集合B中元素的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選CA＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4個子集，因此集合B中元素的個數(shù)為4，選C．集合的運算[析考情]集合的基本運算是歷年高考的熱點．高考中主要考查求集合的交、并、補運算，常與解不等式、求函數(shù)定義域和值域等知識相結合．考查題型以選擇題為主，屬容易題，分值5分．[提能力]命題點1：求交集或并集【典例1】(1)(2017·全國卷Ⅱ)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：選C∵A∩B＝{1}，∴1∈B．∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．(2)(2017·浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：選A∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，故選A．命題點2：交、并、補的綜合運算【典例2】(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：選B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴?RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(?RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．(2)(2018·柳州模擬)設全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，則(?UA)∩B＝________.解析：由題意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，則?UA＝{4,6,7,9,10}，∴(?UA)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}命題點3：集合的新定義問題【典例3】設A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，則A?B＝________.解析：由已知，A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥0))，A∩B＝{x|0<x<2}，故由新定義結合數(shù)軸得A?B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[悟技法]解決集合運算問題的四個關注點(1)看元素構成：集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵．(2)對集合化簡：有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決．(3)應用數(shù)形：常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．(4)創(chuàng)新性問題：以集合為依托，對集合的定義、運算、性質進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識和相應數(shù)學知識來解決．[刷好題]1．(2018·蘭州一模)已知集合M＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，N＝{x|－2≤x≤2}，則M∩N＝()A．[－2，－1] B．[－1,2]C．[－1,1] D．[1,2]解析：選A由(x－3)(x＋1)≥0，解得：x≤－1或x≥3，∴M＝{x|x≤－1或x≥3}，∵N＝{x|－2≤x≤2}，則M∩N＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．2．(2018·晉中一模)設U＝R，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?UB)＝()A．{1,2} B．{－1,0,1}C．{－2，－1,0} D．{－2，－1,0,1}解析：選C因為全集U＝R，集合B＝{x|x≥1}，所以?UB＝{x|x＜1}＝(－∞，1)，且集合A＝{－2，－1,0,1,2}，所