2024-2025學年湖南省邵陽二中高二（上）入學數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省邵陽二中高二（上）入學數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數z=1+3i2+i的實部和虛部分別是(

)A.1，1 B.1，i C.?13,2.已知向量a=(2,2)，b=(λ,?4)，λ∈R，若a⊥(a+A.?1 B.0 C.1 D.23.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，則平面圖形ABCD的面積為(

)A.32

B.2

C.3

4.已知向量a=(1,1),b=(?2,1)，則a在b方向上的投影數量為A.15 B.?15 C.5.將函數y=sin(2x+π5)的圖象向右平移A.在區(qū)間[3π4,5π4]上單調遞增 B.在區(qū)間[3π4,π]6.已知f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)，若方程|f(x)|=1在區(qū)間(0,2π)上恰有3個實根，則ω的取值范圍是A.12<ω≤56 B.56<ω≤17.《九章算術》是我國古代的數學專著，是“算經十書”(漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書)中非常重要的一部.在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知“塹堵”ABC?A1B1C1的所有頂點都在球O的球面上，且AB=AC=1.若球A.2+22 B.22 C.8.已知f(x)是定義域為R的奇函數，且f(x?2)是偶函數，當0≤x≤2時，f(x)=x2?4x，則當6≤x≤8時，f(x)的解析式為A.f(x)=?x2?4x B.f(x)=x2?16x+60二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.同時拋出兩枚質地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點數為奇數，事件B：乙骰子點數為偶數，事件C：甲、乙骰子點數相同.下列說法正確的有(

)A.事件A與事件B對立 B.事件A與事件B相互獨立

C.事件A與事件C相互獨立 D.P(C)=P(AB)10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=3，A=π3，O為△ABC的外心，則(

)A.若△ABC有兩個解，則3<c<23

B.OA?BC的取值范圍為[?33,33]

C.BA?BC11.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論正確的是(

)A.當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角

B.當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角

C.直線AB與a所成角的最小值為45°

D.直線AB與a所成角的最大值為60°三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，在同一個平面內，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R)，則m+n=13.已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°.以D114.已知函數f(x)=12x+1(x>0)2x2+4x+2(x≤0)，若函數g(x)=f(f(x)?m)?2，當四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某地區(qū)對初中500名學生某次數學成績進行分析，將得分分成8組：[65,75)，[75,85)，[85,95)，[95,105)，[105,115)，[115,125)，[125,135)，[135,145)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求第七組的頻率；

(2)用樣本數據估計該地的500名學生這次考試成績的平均分(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)現(xiàn)從500名學生中利用分層抽樣的方法從[95,105)，[105,115)的兩組中抽取5個人進一步做調查問卷，再從這5個人中隨機抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率．16.(本小題15分)

如圖，已知多面體ABC?A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，17.(本小題15分)記△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BD(1)證明：BD=b;(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)求證：AB⊥PD；

(2)若∠BPC=90°，PB=2，PC=2，問AB為何值時，四棱錐P?ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC19.(本小題17分)

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，對任意兩個向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2).作：OM=m，ON=n當m,n不共線時，記以OM，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(m,n)=|x1y2?x2y1|；當m,n共線時，規(guī)定S(m,n)=0．

(1)參考答案1.A

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.AB

11.BC

12.3

13.214.(1,3]∪{4}

15.解：(1)由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：

1?(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)×10=0.080；

(2)用樣本數據估計該地500名學生這次考試成績的平均分為：

70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10=102(分)；

(3)由頻率分布直方圖可知[95,105)的頻數為500×0.030×10=150，[105,115)的頻數為500×0.020×10=100，所以兩組人數比值為3：2，

按照分層抽樣抽取5人，則在[95,105)，[105,115)分別抽取3人和2人，

記[95,105)這組三人的編號為A，B，C，[105,115)這組兩人的編號為a，b，

故從5人隨機抽取2名，共10種情況，為：

(A,B)，(A,C)，(C,B)，(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)

設事件M=“從5個人中隨機抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”

則M={(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)}，共6種情況．

故P(M)=610=35，

即從這16.(1)證明：以A為原點，AC，AA1所在直線分別為y，z軸，在平面ABC內作Ax⊥AC，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B1(1,3,2)，A1(0,0,4)，C1(0,23,1)，

∴AB1=(1,3,2)，A1C1=(0,23,?3)，

∴AB1?A1C1=3×23+2×(?3)=0，即AB1⊥A1C1．

(2)解：由17.解：(1)證明：由正弦定理知，bsin∠ABC=csin∠ACB=2R，

∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，

∵b2=ac，

∴b?2Rsin∠ABC=a?2Rsin∠ACB，

即bsin∠ABC=asinC，

∵BDsin∠ABC=asinC．

∴BD=b；

(2)由(1)知BD=b，

∵AD=2DC，

∴AD=23b，DC=13b，

在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA=BD2+AD2?AB22BD?AD=b2+(23b)2?c22b?23b=13b2?9c212b218.解：(1)∵在四棱錐P?ABCD中，ABCD為矩形，∴AB⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，

又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．

(2)過點P作PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，

又∵BC?平面ABCD，∴PO⊥BC，

作OM⊥BC，交BC于M，連接PM，

又∵OM?PO=O，OM，PO?平面POM，

∴BC⊥平面POM，

又∵PM?平面POM，∴PM⊥BC，

∵∠BPC=90°，PB=2，PC=2，

∴BC=PB2+PC2=6，

∴PM=PB·PCBC=226=233，

∴BM=PB2?PM2=2?43=63，

設AB=x，則OM=x，故PO=PM2?OM2=43?x2，

故VP?ABCD=13x×