5.1.2弧度制課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版22

第五章三角函數(shù)5.1

任意角和弧度制5.1.2弧度制新教材人教版·高中必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)1.理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和

角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會(huì)引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式。1.借助單位圓建立弧度制的概念，體會(huì)引入

弧度制的必要性，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決相關(guān)問(wèn)題，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)。目

錄要

求M度量長(zhǎng)度可以用米、英尺、碼等不同的單位制，且1米=3.28083989501英尺=1.0936133碼度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制，且1千克=2.2046226磅不同的單位制能給解決問(wèn)題帶來(lái)方便，角的度量是否也能用不同的單位制呢能否像度量長(zhǎng)度那樣，用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大小呢前言角的計(jì)量單位是“度”,用符號(hào)““表示。把半固

分成180等份，每一份所對(duì)的角的大小是1度記作1目錄

問(wèn)題1初中學(xué)過(guò)哪些度量角的單位在初中學(xué)過(guò)角度制，單位：度(°)、分()、秒(")且1°=60',1'=60”,它反映了度分秒之間是60進(jìn)制。周角的為1度的角，記作1°,即圓周的的圓弧所對(duì)的圓心角為1°的角。在鐘表中，一周60個(gè)小格，秒針走一格為1秒，那么此時(shí)分針轉(zhuǎn)了多少度復(fù)習(xí)引入目錄M公元六世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在創(chuàng)新制作正弦表時(shí)，就發(fā)現(xiàn)了有一個(gè)問(wèn)題不好解釋，比如sin30°=0.5,他發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題呢他發(fā)現(xiàn)等式右側(cè)是10進(jìn)制數(shù)，而等式左邊是60進(jìn)制數(shù)，兩個(gè)不同單位的量，分布在了等式的兩端，帶來(lái)很尷尬的局面，阿耶波多就想能不能將角的度量也變成10進(jìn)制的數(shù)這樣后來(lái)角出現(xiàn)了新的度量單位，就是我們今天要學(xué)習(xí)的——弧度制。情景引入印度偉大的著名數(shù)學(xué)家

及天文學(xué)家阿耶波多?

N目

錄新知引入尋找度量角的10進(jìn)制度量單位根據(jù)任意角的定義，射線OA

繞端點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn)到OB形成角α.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OA上點(diǎn)P

(不同于端

點(diǎn)0)的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對(duì)應(yīng)于圓心角

a.記a=n°,OP=r,

點(diǎn)P所形成的圓弧PP?

的長(zhǎng)為l.概念引入(1)由初中所學(xué)知識(shí)可知于圖5.1-9?

N目錄 問(wèn)題2如圖5.1-10,在射線OA上任取二點(diǎn)P、Q(不同于點(diǎn)O),0Q=r?,OP=r?.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)Q、P所形成的圓弧QQ1、PP?的長(zhǎng)為l?、l?,l?與r?、l?與r2的比值各是多少你能得出什么結(jié)論關(guān)，也就是說(shuō)，這個(gè)比值隨α的確定而唯一確定。這就啟發(fā)我們，可以利用圓的弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系度量圓心角。目錄概念引入(1)可以發(fā)現(xiàn)，圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值，只與α的大小有?

N當(dāng)弧長(zhǎng)與半徑相等時(shí)，

是一個(gè)定值1,此時(shí)圓心角等于

度，我們把的比值1記為1個(gè)單位的角，這樣可以用

來(lái)度量角的大小.比

如

即

l=2r時(shí)，所對(duì)圓心角為2個(gè)單位的角；即

l=0.5r

時(shí)，所對(duì)圓心角為0.5個(gè)單位的角，這樣可以用一來(lái)度量角的大小，這里一是一個(gè)實(shí)數(shù)，解決了用實(shí)數(shù)度量角的大小問(wèn)題.這就是度量角的另一種單位制--弧度制.目

錄

M概念引入(1)1弧度角的定義我們規(guī)定：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用符

號(hào)

rad

表示，讀作弧度。把半徑為1的圓叫做單位圓，如圖5.1-11,在單

位圓

0

中

，AB

的長(zhǎng)等于1,∠AOB

就

是

1弧度的角。概念引入(1)目錄

弦長(zhǎng)

AB=1.9178圖5.1-11 概念引入(1) 問(wèn)題3任意角都可以用表示嗎正角、負(fù)角和零規(guī)定：如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧長(zhǎng)為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是這里，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定。逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)，當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)一周后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，就可以得到弧度數(shù)大于2π或小于一2π的角，這樣就可以得到弧度為任意大小的角.角的弧度數(shù)如何規(guī)定呢目錄M一

般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)

數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.即角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(等于

這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一

的-個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)(圖5.1-12).正實(shí)數(shù)0負(fù)實(shí)數(shù)圖5.1-12目

錄

?

N概念的理解正角零

角負(fù)角公元6世紀(jì)，印度人在制作正弦表時(shí)，曾用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念.

歐拉是明確提出弧度制思想的數(shù)學(xué)家.1748年，在

他的一部劃時(shí)代著作《無(wú)窮小分析概論》中，提

出把圓的半徑作為弧長(zhǎng)的度量單位，使一個(gè)圓周角等于2π弧度，1弧度等于周角的

●。這一思想將線段與弧的度量統(tǒng)一起來(lái)，大大簡(jiǎn)化了三角公式及計(jì)算.概念的理解歐拉目錄M角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間應(yīng)該可以換算.如何換算呢當(dāng)角是零角時(shí)，以度和弧度為單位數(shù)值相等，都是0;用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同，當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)一周，角所對(duì)的弧長(zhǎng)即周長(zhǎng)=2π,角的弧度 ,而在角度制下為360°,即360°=2πrad,180°=πrad,概念引入(2)目錄

概念引入(2)即有以下弧度與角度的換算關(guān)系：180°=π

rad目

錄

M~1.178097245

rad≈1.178

rad目錄

M例1按照下列要求，把67°30'化成弧度：(1)精確值；(2)精確到0.001的近似值.鞏固與練習(xí)解(1)因?yàn)椤瘛?79.9087477～179.909溫馨提示：用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，

而只寫該角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)，例如，角α=2就表示α是2

rad

的角.鞏固與練習(xí)例2將3.14

rad

換算成角度(用度數(shù)表示，精確到0.001).解目錄規(guī)律方法1.在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式πrad=180°

是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)

×180=弧度數(shù)，弧度數(shù)度數(shù)。2.互化時(shí)注意兩點(diǎn)：(1)角度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度。(2)角度化為弧度時(shí)，其結(jié)果寫成π的形式，沒(méi)特殊要求不必化成小數(shù)。鞏固與練習(xí)目錄

溫馨提示：

要想熟記這些特殊角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換，

歸根結(jié)底還是熟記180°=π國(guó)為90目錄度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π-6π-4|22π3345π6π3π22π鞏固與練習(xí)填寫下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表：?jiǎn)?/p>

題44,證明：由公式

得

l=aR.下面證明(2)(3)半徑為R,

圓心角為n°的扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式分別是●2例3利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：(1)l=aR;(2)

;(3).其中R

是圓的半徑，a(0<a<2π)為圓心角，l是扇形的弧長(zhǎng)，S是扇形的面積.鞏固與練習(xí)目錄

例3利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：(1)l=aR;(2)

;(3)其中R是圓的半徑，a(0<a<2π)為圓心角，l是扇形的弧長(zhǎng)，S是扇形的面積.將n°轉(zhuǎn)化為弧度，得于是將l=aR

代人上式，即得鞏固與練習(xí)目錄1、角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時(shí)不能混用，例如a=k·360°),β=2kπ+60°(k∈Z)等寫法都是不規(guī)范的。2、做一做(多選)下列命題中，正確的是()A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.1°

的角是周角的，1rad的角是周角的C.1

rad的角比1°的角要大D.

用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)答案

ABC目錄

?

N深化與思考(1)我們學(xué)習(xí)了任意角的新的度量制——弧度制①弧度制的本質(zhì)是用線段的長(zhǎng)度度量角的大小，如果半徑為r

的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,

那么角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是

a

的

正負(fù)由角a

的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定；②弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度；③

任意角的弧度制和角度制之間可以互化.(2)數(shù)學(xué)知識(shí)大多來(lái)源于現(xiàn)實(shí)或自然科學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題，我們通過(guò)對(duì)問(wèn)題的理解、分析，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維思

考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題.小結(jié)目錄1.

將鐘表的分針撥慢20分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是()A.