安徽省合肥七中合肥十中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期6月聯(lián)考試題理含解析

PAGE20-安徽省合肥七中、合肥十中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期6月聯(lián)考試題理（含解析）一、選擇題（共12小題）.1.已知集合,則A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以，故.選B.2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊為a，b，c，若b＝3，c，B，則角C＝（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】先利用正弦定理求出sinC，再結(jié)合大邊對(duì)大角推斷角C的范圍，即可得到角C的值．【詳解】解：由正弦定理得：，∴，∴sinC，∵b＞c，∴B＞C，又∵C∈(0，π)，∴C，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，由正弦求三角形內(nèi)角時(shí)，需確定角的范圍．3.若，，，則實(shí)數(shù)，，之間的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推斷三個(gè)數(shù)a、b、c與0，1的大小，即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴a=20.3＞20=1，∵,∴b=，又，即0<c<1，所以．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用及指對(duì)互化的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4.下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要條件；②f（x）是其定義域上的可導(dǎo)函數(shù)，“f'（x0）＝0”是“y＝f（x）在x0處有極值”的充要條件；③命題“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”；④若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用充要條件推斷①；函數(shù)的極值的概念推斷②；否命題概念推斷③；復(fù)合命題的真假推斷④．【詳解】解：①“x＞2”?“x＞1”，反之不成立，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分條件，①錯(cuò)；②f（x）是其定義域上的可導(dǎo)函數(shù)，“f'（x0）＝0”不能說明“y＝f（x）在x0處有極值”，如，，但0不是極值點(diǎn)，反之成立，所以f（x）是其定義域上的可導(dǎo)函數(shù)，“f'（x0）＝0”是“y＝f（x）在x0處有極值”的必要條件，②錯(cuò)；③命題“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”；滿意否命題的條件，③正確；④若“p且q”為假命題，則p、q至少一個(gè)是假命題，所以原推斷不成立，④錯(cuò)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，解決此類問題必需對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行推斷要求駕馭相應(yīng)的學(xué)問方法，簡(jiǎn)單選擇錯(cuò)誤，屬于中檔題．5.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題首先依據(jù)以及得出函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，然后依據(jù)奇函數(shù)以及增函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，最終通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)奇函數(shù)，因?yàn)楹愠闪?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，故即，所以，，解得或，的取值范圍為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)以及增函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查函數(shù)奇偶性的推斷，考查依據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)推斷函數(shù)單調(diào)性，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，是中檔題.6.函數(shù)，的部分圖象如圖，且，則的值為（）A.﹣1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，由函數(shù)的特別值求出，可得函數(shù)的解析式，從而求得的值．【詳解】依據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得：，解得：．由圖可得：，可得：，因?yàn)椋?故：.由于：，可得：A，可得.則.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查依據(jù)的部分圖像確定其解析式，并求函數(shù)值，嫻熟駕馭正弦函數(shù)的五點(diǎn)作圖為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7.由曲線與直線，所圍成的封閉圖形的面積為A. B.C.2 D.【答案】D【解析】依據(jù)題意作出所圍成的封閉圖形，如圖所示，圖中從左至右三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，所以題中所求封閉圖形的面積為，故選D.8.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)隨意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），且f（5）＝﹣3，則f（2024）的值為（）A.6 B.﹣3 C.0 D.3【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，在f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2）中，令x＝0變形可得f（2）＝0，即可得f（x+2）＝f（2﹣x），結(jié)合函數(shù)奇偶性可得f（x+4）＝﹣f（x），進(jìn)而可得函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，據(jù)此結(jié)合f（5）＝﹣3求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)于隨意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），令x＝0可得：f（2）＝f（2）+3f（2），解得f（2）＝0；則f（x+2）＝f（2﹣x），解得f（﹣x）＝f（4+x），又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），則有f（x+4）＝﹣f（x），所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，所以f（2024）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣f（5）＝3；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的實(shí)力，屬于中檔題.9.已知函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱，則在區(qū)間上的最小值為A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，（）的圖象向右平移個(gè)單位后，可得的圖象，再依據(jù)所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得，故，，在區(qū)間上，，，故f（x）的最小值為，

故選D.10.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】令,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時(shí),;時(shí),;時(shí),.結(jié)合圖象,若,有3個(gè)解;若,無解;若,有1個(gè)解.所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生的推理實(shí)力,屬于中檔題.11.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.（﹣∞，3） D.【答案】B【解析】【分析】求出，然后由可得，即，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】∵，，∴，∴，∵存在，使得，即∴，設(shè)，∴∴，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和利用導(dǎo)數(shù)解決存在性問題，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.12.若函數(shù)f（x）＝lnx與函數(shù)g（x）＝x2+2x+lna（x＜0）有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（0，1） B. C.（1，+∞） D.【答案】D【解析】【分析】分別設(shè)出切點(diǎn)，求出切線，然后依據(jù)切線相等，得到g（x）的切點(diǎn)橫坐標(biāo)與a的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：設(shè)f（x）切點(diǎn)為（x1，lnx1），因?yàn)?，所以切線為：y﹣lnx1，即，（x1＞0），設(shè)g（x）的切點(diǎn)為（x2，），因?yàn)間′（x）＝2x+2，故切線為：y（2x2+2）（x﹣x2）．即．（x2＜0），因?yàn)槭枪芯€，所以，消去x1得，lna，令h（x），x∈（﹣1，0），因?yàn)?，令得：或，所以?dāng)時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，故h（x）＞h（0），即，所以．故.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)學(xué)問，考查了推理論證實(shí)力，運(yùn)算實(shí)力，創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程，分類與整合，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）.13.已知命題p：“?x∈（0，+∞），3x＜4x”，則￢p為_____．【答案】?x0∈（0，+∞），34．【解析】【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可．【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題p：“?x∈（0，+∞），3x＜4x”，則￢p：?x0∈（0，+∞），34．故答案為：?x0∈（0，+∞），34．【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.14.若函數(shù)f（x）＝ex﹣lnx﹣mx在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_____．【答案】【解析】【分析】把函數(shù)在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍問題，其中解答中把函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在上恒成立是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力.15.已知，則_____．【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角平方關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】因?yàn)椋?又，所以，則＝,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力.16.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知D為邊BC上一點(diǎn)，，，且，則_____．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得，代入已知等式求出A，進(jìn)而得到，在利用正弦定理結(jié)合已知條件得到，由化簡(jiǎn)即可得到的值．【詳解】∵∴整理得：∴，，又∵，∴∵，∴，在中，有，又∵∴由得：，整理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.三、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為成等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)和公比，即可得到答案；（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和及不等式的性質(zhì)，即可得證．【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列知，，即所以，即，又，所以，所以，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：由（1）知所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，由，可得．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和、不等式的證明，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊為a，b，c，已知f（A）＝﹣1，a＝2，求△ABC的面積的最大值．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為和．（2）．【解析】【分析】（1）先把函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)成．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間．（2）把f（A）＝﹣1代入函數(shù)解析式求出A，再有余弦定理列出b，c的方程，利用均值不等式求出bc的最大值，進(jìn)而求△ABC的面積的最大值．【詳解】解：（1）∴，∴（k∈Z）∴函數(shù)f（x）在[0，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為和．（2）∵△ABC為銳角三角形，∴，又，即．∵a2＝b2+c2﹣2bcosA＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，又a＝2，∴bc≤4，∴．當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)，△ABC的面積取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)性，考查余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，解題關(guān)鍵是化函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)型三角函數(shù)，即形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解．19.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點(diǎn)，現(xiàn)以AE為折痕將△DAE向上折起，D變?yōu)镈'，使得平面D'AE⊥平面ABCE．（1）求證：平面ABD'⊥平面BD'E；（2）求直線CE與平面BCD'所成角的正弦值．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】（1）證明AE⊥BE，BE⊥AD'，結(jié)合D′E⊥AD′，推出AD′⊥面BD′E，然后明面ABD′⊥面BD′E．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCD′的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線CE與平面BCD'所成角的正弦值即可．【詳解】（1）證明：AE＝BE，AB＝4，∴AB2＝AE2+BE2，∴AE⊥BE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交線為AE，∴BE⊥平面D'AE，又平面，∴BE⊥AD'，又D′E⊥AD′，AE∩D′E＝E，∴AD′⊥面BD′E，∵AD′?面ABD′，∴面ABD′⊥面BD′E．（2）解：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋瑒t，又平面D′AE⊥平面ABCE，且交線為AE，所以平面ABCE，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4，2，0)、C(0，0，0)、B(0，2，0)、，E(2，0，0)，從而（2，0，0），，．設(shè)為平面BCD′的法向量，則，取，則，，所以．，故直線CE與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查證明面面垂直，考查用空間向量法求線面角，駕馭面面垂直的判定定理是解題基礎(chǔ)，建立空間直線坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵．20.已知F是拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，過E（0，﹣1）的直線l與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)．（1）設(shè)直線AF，BF的斜率分別為k1，k2，證明：k1+k2＝0；（2）若的面積為，求直線l的方程．【答案】（1）見解析；（2）y＝±2x﹣1．【解析】【分析】（1）當(dāng)直線l的斜率為不存在時(shí)，易得不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，與x2＝4y聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及斜率關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得證；（2）由題意，解得k，然后求出直線l的方程，即可得解.【詳解】（1）證明：當(dāng)直線l的斜率為不存在時(shí)，l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，與x2＝4y聯(lián)立得：x2﹣4kx+4＝0，，解得或，則x1+x2＝4k，x1x2＝4，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，∴，得證；（2）由題意，解得k＝±2，∴直線l的方程為：y＝±2x﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與直線的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與邏輯推理實(shí)力，合理轉(zhuǎn)化與細(xì)心計(jì)算是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.21.某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，制作一個(gè)蛋糕成本4元，且以9元的價(jià)格出售，若當(dāng)天賣不完，剩下的則無償捐獻(xiàn)給飼料加工廠．依據(jù)以往100天的資料統(tǒng)計(jì)，得到如表需求量表：需求量/個(gè)[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]天數(shù)1525302010該蛋糕店一天制作了這款蛋糕X（X∈N）個(gè)，以x（單位：個(gè)，100≤x≤150，x∈N）表示當(dāng)天的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示當(dāng)天出售這款蛋糕獲得的利潤．（1）當(dāng)x＝135時(shí)，若X＝130時(shí)獲得的利潤為T1，X＝140時(shí)獲得的利潤為T2，試比較T1和T2的大?。唬?）當(dāng)X＝130時(shí)，依據(jù)上表，從利潤T不少于560元的天數(shù)中，按需求量分層抽樣抽取6天．（i）求此時(shí)利潤T關(guān)于市場(chǎng)需求量x的函數(shù)解析式，并求這6天中利潤為650元的天數(shù)；（ii）再從這6天中抽取3天做進(jìn)一步分析，設(shè)這3天中利潤為650元的天數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）T1＜T2．（2）（i），3（ii）見解析【解析】【分析】（1）X＝130時(shí)，求出T1，X＝140時(shí)，求出T2，推斷即可．（2）（i）當(dāng)X＝130時(shí)，利潤，求出T≥560時(shí)的