2022-2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：一元二次方程（4大考點）

專題08一元二次方程（4大考點）

【考點歸納】

一、考點01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------1

二、考點02—元二次方程根的判別式-------------------------------------------------------------2

三、考點03根與系數(shù)的關(guān)系----------------------------------------------------------------------

四、考點04—元二次方程的實際應(yīng)用--------------------------------------------------------------

考點01解一元二次方程

一、考點01解一元二次方程

1.（2024.貴州.中考真題）一元二次方程尤2-2彳=0的解是（）

A.再=3,犬2=1B.石=2,X2=。C.%=3,x?=-2D.芯=—2,x?=-1

2.（2024?四川涼山?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程（。+2）/+彳+￡-4=0的一個根是》=0,則a的值

為（）

A.2B.-2C.2或—2D.；

3.（2022?青海?中考真題）已知方程必+如+3=0的一個根是1,則機的值為（）

A.4B.-4C.3D.-3

4.（2024?河北?中考真題）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1,

則。=（）

A.1B.y/2-1C.72+1D.1或a+1

5.（2024?內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程V-10x+21=0的兩個根，則這個三角形的

周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

6.（2024.吉林?中考真題）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）

A.（x-2）z=-lB.（x-2）2=0

C.（尤-2）2=1D.（x-2）2=2

7.（2024四川南充?中考真題）當(dāng)2。45時，一次函數(shù)了=（m+1）尤+蘇+1有最大值6,則實數(shù)根的值為（）

A.-3或0B.0或1C.-5或-3D.-5或1

8.（2024?四川涼山?中考真題）已知/一工=0,%2-3/+%-3=0,則x的值為.

9.（2023?廣東廣州?中考真題）解方程：<-6x+5=0.

10.（2024.青海?中考真題）（1）解一元二次方程：f-4x+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長.

考點02一元二次方程根的判別式

二、考點02一元二次方程根的判別式

11.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程（〃L2）f+4x+2=0有兩個實數(shù)根，則相

的取值范圍是（）

A.m<4B.m>4C.且加w2D.根?4且mw2

12.（2023?遼寧錦州?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程依2—2x+3=O有兩個實數(shù)根，則上的取值范圍是（

A.k<—B.k4—C.k<—且左D.k4—且左

3333

13.（2023?山東聊城?中考真題）若一元二次方程如2+2%+i=o有實數(shù)解，則根的取值范圍是（）

A.m>—1B.m￡1C.機之一1且相D.根￡1且機W0

14.（2022?四川宜賓?中考真題）若關(guān)于%的一元二次方程依2+2%-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則〃的取

值范圍是（）

A.B.〃>一1且C.-1且D.a>-l

15.（2024?甘肅蘭州?中考真題）關(guān)于％的一元二次方程9/—6%+c=0有兩個相等的實數(shù)根，貝（）

A.-9B.4C.-1D.1

16.（2024?四川廣安?中考真題）若關(guān)于犬的一元二次方程⑺+l）f-2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則冽的

取值范圍是（）

A.HIVO且"ZW—1B.m>0

C.根40且相。一1D.m<0

17.（2024?四川瀘州?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程d+2X+1—k=0無實數(shù)根，則函數(shù)y=依與函

2

數(shù)y=4的圖象交點個數(shù)為（）

X

A.0B.1C.2D.3

18.（2024.上海.中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）

A.X2-6x=0B.f-9=0

C.x2—6x+6=0D.x2-6x+9=0

19.（2024.北京?中考真題）若關(guān)于九的一元二次方程12—4x+c=。有兩個相等的實數(shù)根,則實數(shù)c的值為（）

A.-16B.-4C.4D.16

20.（2024.吉林長春?中考真題）若拋物線y=/_1+。（c是常數(shù)）與x軸沒有交點，則c的取值范圍是

21.（2024?河南?中考真題）若關(guān)于x的方程5--尤+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為.

22.（2024?湖南?中考真題）若關(guān)于尤的一元二次方程d_以+2左=0有兩個相等的實數(shù)根,則k的值為

23.（2024?山東?中考真題）若關(guān)于x的方程4尤2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則機的值為.

24.（2019?上海?中考真題）若關(guān)于x的方程—一萬+左=。沒有實數(shù)根，則上的取值范圍是.

25.（2024?廣東?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程Y+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則，=.

26.（2023?江蘇連云港?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程》2一2》+左=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的

取值范圍是.

27.（2024?四川遂寧?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程--（"z+2）x+相-1=0.

（1）求證：無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）如果方程的兩個實數(shù)根為為,9,且呼+君-%％=9,求機的值.

28.（2024?廣東廣州?中考真題）關(guān)于x的方程/一2元+4=0有兩個不等的實數(shù)根.

（1）求加的取值范圍；

一、咐1-m2m-1m-3

（2）化簡：-~---------

|m-312m+1

29.（2023?湖北襄陽?中考真題）關(guān)于龍的一元二次方程尤2+2尤+3-左=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求％的取值范圍;

⑵若方程的兩個根為。,且上z=a￡+3左，求左的值.

30.（2023?湖北?中考真題）已知關(guān)于尤的一元二次方程f-（2機+1）%+毋+〃2=0.

（1）求證：無論機取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

⑵設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為a，b,若（2a+6）（a+2b）=20,求優(yōu)的值.

31.（2023?湖北荊州?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程京2_色左+4）x+k-6=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求Z的取值范圍；

（2）當(dāng)左=1時，用膽方法解方程.

32.（2023?四川南充?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程尤2一（2機-l）x-3療+機=0

（1）求證：無論相為何值，方程總有實數(shù)根；

%x5

⑵若看，演是方程的兩個實數(shù)根，且上+」=-5,求機的值.

考點03根與系數(shù)的關(guān)系

三、考點03根與系數(shù)的關(guān)系

33.（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）已知占，巧是方程尤?2022=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式

X：-2022%+x；的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.1

_11c

34.（2024?四川樂山?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程廠+2x+p=0兩根為X]、々，且；+￡=3,則p

的值為（）

A.—B.-C.—6D.6

33

35.（2024?四川成都?中考真題）若加，”是一元二次方程/-5x+2=0的兩個實數(shù)根，則加+（〃-2）2的值

為.

36.（2024?四川瀘州?中考真題）已知X],巧是一元二次方程尤2-3彳-5=0的兩個實數(shù)根，則（W+3石尤?

的值是.

37.（2024.四川內(nèi)江?中考真題）己知關(guān)于x的一元二次方程V-px+l=0（P為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)

根與和巧.

（1）填空：尤]+々=，X1X2=；

111

（2）求一+—,%+—；

%x2X]

（3）已知片+考=2p+l,求P的值.

38.（2024?四川南充?中考真題）已知毛，巧是關(guān)于x的方程/一2依+左2一左+1=。的兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求人的取值范圍.

（2）若上＜5,且％,不，々都是整數(shù)，求％的值.

39.（2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）閱讀材料:

材料1：關(guān)于X的一元二次方程依2+Zzx+c=0(a#0)的兩個實數(shù)根占，%和系數(shù)a,6,c有如下關(guān)系：

bc

%+々=--,=—.

aa

材料2：已知一元二次方程V一無一1=0的兩個實數(shù)根分別為機，n,求根,+相〃2的值.

解：..."3"是一元二次方程d-x-l=o的兩個實數(shù)根，

m+n—l,mn=-1.

貝［|nrn+mn2=mn(z?z+?)=—lxl=-1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

(1)應(yīng)用：一元二次方程2尤2+3x-l=0的兩個實數(shù)根為4%,則為+9=,xtx2=；

⑵類比：已知一元二次方程2尤2+3x-l=0的兩個實數(shù)根為如n,求蘇+〃2的值；

(3)提升：已知實數(shù)s,r滿足2s2+3S-1=022+3，一1=0且￡片心求的值.

st

考點04一元二次方程的實際應(yīng)用

四、考點04一元二次方程的實際應(yīng)用

40.(2024?云南?中考真題)兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1

千克甲種藥品的成本為60元.設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,根據(jù)題意，下列方程正確的是()

A.80(1-X2)=60B.80(1-尤廣=60

C.80(1-^)=60D.80(1-2x)=6。

41.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)某市2021年底森林覆蓋率為64%,為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的

發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%.如果這兩年森林覆蓋率的年平

均增長率為x,則符合題意得方程是()

A.0.64(1+%)=0.69B.0.64(1+%)2=0.69

C.0.64(1+2x)=069D.0.64(1+2x)2=0.69

42.(2024?四川眉山?中考真題)眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，

提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平

均增長率為x,則可列方程為()

A.670x(1+2x)=780B.670x(1+無『=780

C.670x(1+尤2)=780D.670x(1+%)=780

43.（2024.黑龍江牡丹江?中考真題）一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百

分率相同，則每次降價的百分率為（）

A.20%B.22%C.25%D.28%

44.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，小程的爸爸用一段10m長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長5.5m）

的矩形鴨舍，其面積為15m2,在鴨舍側(cè)面中間位置留一個1m寬的門（由其它材料制成），則長為（）

A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3m

45.（2023?浙江衢州?中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感.設(shè)每一輪傳染中平均

每人傳染了x人，則可得到方程（）

A.x+（l+x）=36B.2（l+x）=36C.l+x+x（l+x）=36D.1+尤+尤2=36

46.（2023?湖北襄陽?中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，

只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬

和長各是幾步.設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（）

A.2x+2（x+12）=864B,x2+（x+12）2=864

C.尤（尤―12）=864D.x（尤+12）=864

47.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）為了改善居民生活環(huán)境，云中小區(qū)對一塊矩形空地進行綠化，這塊空

地的長比寬多6米，面積為720平方米，設(shè)矩形空地的長為無米，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

A.x（x-6）=720B.x（x+6）=720C,x（x-6）=360D.x（x+6）=360

48.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，在長為100m,寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余

下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600H?,則小路的寬是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10m

49.（2022.黑龍江.中考真題）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比

賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

50.（2024.重慶?中考真題）隨著經(jīng)濟復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元，

2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是.

51.（2023?黑龍江牡丹江?中考真題）張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，

5月份盈利達到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同,則每月盈利的平均增長率是.

52.（2022?上海?中考真題）某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，已知6、7月的增長

率相同，則增長率為—.

53.（2022?四川成都?中考真題）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程/-6x+4=0的兩

個實數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是.

54.（2024?湖北?中考真題）學(xué)校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知墻長42m,

籬笆長80m.設(shè)垂直于墻的邊AB長為尤米，平行于墻的邊BC為，米，圍成的矩形面積為Sen?.

AD

IT------------r

（1）求y與x,s與x的關(guān)系式.

（2）圍成的矩形花圃面積能否為750cmL若能，求出x的值.

（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時無的值.

55.（2024?山東煙臺?中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美

好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時，每

天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛

輪椅的利潤不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

（2）全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

56.（2023?江蘇?中考真題）為了便于勞動課程的開展，學(xué)校打算建一個矩形生態(tài)園A3CD（如圖），生態(tài)園

一面靠墻（墻足夠長），另外三面用18m的籬笆圍成.生態(tài)園的面積能否為400??如果能，請求出A3的長；

如果不能，請說明理由.

墻

AB

生態(tài)園

D'-------lc

57.（2023?江蘇?中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的

邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為acm、6cm、ccm、dcm.若紙張大小為16cmxlOcm,

考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的70%,則需如何設(shè)置頁邊距？

58.（2023?湖北黃岡?中考真題）加強勞動教育，落實五育并舉.孝禮中學(xué)在當(dāng)?shù)卣闹С窒?，建成了?/p>

處勞動實踐基地.2023年計劃將其中l(wèi)OOOm?的土地全部種植甲乙兩種蔬菜.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種蔬菜種植成

本y（單位；元/nf）與其種植面積單位：m2）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中200WxW700；乙種蔬菜的

種植成本為50元/m/

⑴當(dāng)x=m?時，＞=35兀/m?;

（2）設(shè)2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最??？

（3）學(xué)校計劃今后每年在這1000m?土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術(shù)改進，預(yù)計種植成本逐年下

降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降10%,乙種蔬菜種植成本平均每年下降。％,當(dāng)“為何值時，2025

年的總種植成本為28920元？

59.（2022?山東德州?中考真題）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m,15m.現(xiàn)計劃對其進行擴充，將

綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.

(1)若擴充后的矩形綠地面積為800m2,求新的矩形綠地的長與寬；

(2)擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5:3.求新的矩形綠地面積.

60.(2022?遼寧沈陽?中考真題)如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABC，鐵絲恰好全

部用完.

(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米?

(2)矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

專題08一元二次方程（4大考點）（解析版）

【考點歸納】

一、考點01解一元二次方程....................................................................10

二、考點02一元二次方程根的判別式............................................................14

三、考點03根與系數(shù)的關(guān)系.....................................................................25

四、考點04一元二次方程的實際應(yīng)用............................................................32

考點01解一元二次方程

一、考點01解一元二次方程

1.（2024?貴州?中考真題）一元二次方程f-2x=0的解是（）

A.X]=3,%2~1B.±=2,工2=0C.%=3,%2=-2D.尤]=—2,x?=—1

【答案】B

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：X2-2X=0,

/.x（x-2）=0,

/.x=0或％-2=0,

,.百=2,X?—0,

故選：B.

2.（2024?四川涼山?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程（〃+2）尤2+天+/-4=。的一個根是》=0,貝ija的

值為（）

A.2B.-2C.2或—2D.1

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數(shù)不為0.由一元二次方程的定義,

可知a+2/O；一■根是0,代入（。+2）x?+了+。2-4=?？傻?—4=0,即可求答案.

【詳解】解：（a+2）Y+x+Y-4=。是關(guān)于x的一元二次方程，

.'.a+2^0,即①

由一個根x=0,代入（a+2）/+x+。--4=0,

可得/—4=0，解之得a=±2；②

由①@得a=2；

故選A

3.（2022?青海?中考真題）己知方程爐+,以+3=0的一個根是1,則加的值為（）

A.4B.TC.3D.-3

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握“能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元

二次方程的解”是解題的關(guān)鍵.

把尤=1代入一元二次方程得到1+機+3=0,求解即可得出機的值.

【詳解】解：把x=l代入方程/+wzx+3=0得：1+%+3=0,

解得：772=—4.

故選:B.

4.（2024?河北?中考真題）淇淇在計算正數(shù)。的平方時，誤算成。與2的積，求得的答案比正確答案小1,

則。（）

A.1B.V2-1C.V2+1D.1或立+1

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

由題意得方程2a+l=/,利用公式法求解即可.

【詳解】解：由題意得：2a+l=a2,

解得：4=1+0或4=1-0（舍）

故選：C.

5.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程f_10x+21=0的兩個根，則這個三角

形的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得再=3,

%=7,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由方程V-10x+21=0得，為=3,x2=7,

V3+3<7,

...等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

6.(2024?吉林?中考真題)下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是()

A.(%-2)2=-1B.(x-2)2=0

C.(尤-2)2=1D.(x-2)2=2

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟練掌握開平方法解方程是解題的關(guān)鍵.

分別對每一個選項運用直接開平方法進行解方程即可判斷.

【詳解】解：A、(X-2)2=-1<0,故該方程無實數(shù)解，故本選項不符合題意；

B、(X-2)2=0,解得：玉=%=2,故本選項符合題意；

C、(x-2)2=1,x-2-±l,解得尤|=3,々=1,故本選項不符合題意；

D、(X—2)2=2,尤一2=±0,解得占=2+血,三=2-灰，故本選項不符合題意.

故選:B.

7.(2024?四川南充?中考真題)當(dāng)2Wx45時，一次函數(shù)y=(m+1)尤+??+1有最大值6,則實數(shù)機的值

為()

A.一3或0B.0或1C.一5或-3D.一5或1

【答案】A

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，以及解一元二次方程，分兩種情況，當(dāng)機+1>0時和當(dāng)m+1<0,

根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)于m的一元二次方程，求解即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)機+1>0即m>-1時，一次函數(shù)y隨x的增大而增大，

.,.當(dāng)x=5時，y-6,

即5("?+1)+m2+1=6,

整理得：m2+5m=0

解得：加=0或加=-5(舍去)

當(dāng)m+l<OBP根<-1時，一次函數(shù)y隨x的增大而減小，

?,?當(dāng)％=2時，y=6,

即2(m+1)+m2+1=6,

整理得：m2+2m—3=0

解得：機=-3或根=1(舍去)

綜上，機=0或機=—3,

故選：A

8.(2024?四川涼山?中考真題)已知,2一%=0,x2-3/+x-3=0,則%的值為.

【答案】3

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

將產(chǎn)=尤代入％2_3產(chǎn)+工_3=0,轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，y2=x>0,要進行舍解.

【詳解】解：???,2_%=0,

??y2=x)

將y2=%代入％2_3,2+%_3=0

得，x2-3x+x-3=0,

即：X2-2X-3=0,

(%-3)(x+l)=0,

:?x=3或,

*.*y2=x>0,

/.%=-1舍，

無=3,

故答案為：3.

2

9.(2023?廣東廣州?中考真題)解方程：X-6X+5=0.

【答案】%=1,%=5

【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】解：x2-6x4-5=0,

X—1=0或x-5=0,

%=1,%=5.

【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，正確計算是解題的關(guān)鍵.

10.(2024?青海?中考真題)(1)解一元二次方程：%2-4%+3=0；

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.

【答案】(1)尤=1或尤=3

(2)第三邊的長是亞或2后

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計算即

可.

【詳解】解：(1)x2-4.v+3=0

=0

x=l或x=3；

(2)當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為戶手=加；

當(dāng)一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為V?萬=2&.

答：第三邊的長是亞或2后.

二、考點02一元二次方程根的判別式

11.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)關(guān)于尤的一元二次方程("-2)Y+4x+2=。有兩個實數(shù)根，則

機的取值范圍是()

A.,72<4B.m>4C.且加r2D.且加力2

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據(jù)一元二次方程依②+法+。=0(。-0)的根的判別式

△=62_4“c的意義得到機-2/0且A20,即42-4x(2)x220,然后解不等式組即可得到加的取值范圍.

【詳解】解：.?關(guān)于X的一元二次方程（〃?-2）尤2+4苫+2=0有實數(shù)根，

〃z—2x0且AN。，

即42-4x（m-2）x2>0,

解得：m<4,

'''m的取值范圍是打W4且加r2.

故選：D.

12.（2023?遼寧錦州?中考真題）若關(guān)于尤的一元二次方程履2-2工+3=0有兩個實數(shù)根，則*的取值范圍

是（）

A.k<-B.^<-C.且上W0D.k<-S.k^O

3333

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答.

【詳解】解：：底_2尤+3=0為一元二次方程，

?*.%w0,

V該一元二次方程有兩個實數(shù)根，

A=（-2）2-4^X3>0,

解得￡，

/.左W—且左力0,

3

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)判別式的值大于。時，方程

有兩個不相等的實數(shù)根，同時要滿足二次項的系數(shù)不能是0.

13.（2023?山東聊城?中考真題）若一元二次方程“2+2尤+1=。有實數(shù)解，則機的取值范圍是（）

A.m>—1B.m￡1C.加之—1且相。0D.機￡1且相。0

【答案】D

【分析】由于關(guān)于x的一元二次方程如2+2%+1=。有實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知ANO,

且機。0,據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，4-4m>0,且相。0,

解得，m￡1,且znwO.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程分2+區(qū)+。=0（々*0）的根的判別式/\=〃一4或與根的關(guān)系，熟練掌握根

的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵.當(dāng)△>（）時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=（）時，一

元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<（）時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

14.（2022?四川宜賓?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程62+2.1=。有兩個不相等的實數(shù)根，貝I］。的

取值范圍是（）

A.a豐0B.a>—1且4HoC.a2—1且4工0D.<?>—1

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出"0,/l=22-4ax（-1）=4+4a>0,再求出即可.

【詳解】解：；關(guān)于x的一元二次方程以2+2/1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.a/0,J-2z-4ax（-1）=4+4。>0,

解得:a>-l且存0,

故選：B.

【點睛】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0

（。、b、c為常數(shù)，存0）,當(dāng)爐-4改>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)〃-4℃=0時，方程有兩個相等

的實數(shù)根；當(dāng)按-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根.

15.（2024?甘肅蘭州?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程9尤2一6元+c=0有兩個相等的實數(shù)根，貝壯=（）

A.-9B.4C.-1D.1

【答案】D

【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)上的取值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程

辦2+云+。=0g/0）根的判別式△=廿一4℃,當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，A>0；當(dāng)方程有兩個相

等的實數(shù)根時，△=（）;當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，A<0.

【詳解】解：：關(guān)于》的一元二次方程9/-6x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

AA=（-6）2-4X9XC=36-36C=0,

解得：c=l,

故選：D.

16.（2024?四川廣安?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程（加+1祥-2工+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則機

的取值范圍是（）

A.機<0且MW—1B.m>0

C.切W0且mW—1D.m<0

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程依2+/+。=。（°二0）,若

A=b2-4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若A=〃—4ac=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根，若

A=b2-4ac<0,則方程沒有實數(shù)根.由關(guān)于x的一元二次方程（m+Dx2-2x+l=0兩個不相等的實數(shù)根，可得

△>0且m+1/0,解此不等式組即可求得答案.

【詳解】解：；關(guān)于X的一元二次方程（機+l）f-2丈+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

/.A=（-2）2-4（m+l）>0,

解得：m<0,

m+1^0,

/.m^-1,

廠.機的取值范圍是：加〈0且加。-1.

故選：A.

17.（2024?四川瀘州?中考真題）已知關(guān)于工的一元二次方程％2+2%+1—左=0無實數(shù)根，則函數(shù)y=履與

2

函數(shù)y=—的圖象交點個數(shù)為（）

X

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】本題考查了根的判別式及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象.首先根據(jù)一元二次方程無實數(shù)根確定攵

的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象的位置.

【詳解】解：???方程/+2%+1—左=。無實數(shù)根，

AA=4-4（l-jt）<0,

解得：k<0,則函數(shù)丁=丘的圖象過二，四象限，

2

而函數(shù)y=—的圖象過一，三象限，

X

2

工函數(shù)y=區(qū)與函數(shù),=一的圖象不會相交，則交點個數(shù)為0,

X

故選：A.

18.（2024?上海?中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）

A.X2—6x=0B.x2-9=0

C.X2—6x+6=0D.x2-6x+9=0

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程

ax2+Z?x+c=0),當(dāng)△=〃—4ac>0時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當(dāng)△=〃-4ac=0時，方程的兩個

相等的實數(shù)根；當(dāng)A=/-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根.分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷.

【詳解】解：A.A=(-6)2-4xlx0=36>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；

B.A=02-4xlx(-9)=36>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；

C.A=(-6)2-4xlx6=12>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；

D.A=(-6)2-4xlx9=0,該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；

故選：D.

19.(2024?北京?中考真題)若關(guān)于x的一元二次方程Y-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的值

為()

A.-16B.-4C.4D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)方程的根的判另U式△=b2-4ac=(T)2-4xlxc=0即可.本題考查了一元二次方程的根的判別

式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】???方程f—4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，a=l,b=-4,c=c,

：.A=b2-4ac=(-4)2-4xlxc=0,

4c=16,

解得c=4.

故選C.

20.(2024?吉林長春?中考真題)若拋物線y=x2-x+c(c是常數(shù))與x軸沒有交點，則c的取值范圍是

【答案】c>7

［分析】本題主要考查了拋物線y=ax?+次+c與x軸的交點問題，掌握拋物線y=辦?+法+c與x軸沒有交

點與尤2-尤+c=0沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

由拋物線與無軸沒有交點，運用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可.

【詳解】解：：拋物線y=V-x+c與x軸沒有交點，

=0沒有實數(shù)根,

**?A=l2-4xlxc=l-4c<0>

4

故答案為：c>：.

4

21.(2024?河南?中考真題)若關(guān)于x的方程［x2-x+c=。有兩個相等的實數(shù)根，則。的值為_________.

2

【答案】1/0.5

【分析】本題考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系.掌握一元二次方程a/+bx+c=0(aw0)的根的判別式

為公=k一4",且當(dāng)△>()時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=()時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；

當(dāng)A<0時，該方程沒有實數(shù)根是解題關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根與其判別式的關(guān)系可得：

91

A=(-1)--4X-C=0,再求解即可.

1、

【詳解】解：：方程彳f-x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

2

,1

AA=(-l)--4x-c=0,

?c=L

2，

故答案為：義.

22.(2024湖南中考真題)若關(guān)于x的一元二次方程f一?+2左=0有兩個相等的實數(shù)根，則人的值為

【答案】2

【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù).一元二次方程水2+辰+。=0(。*0)有兩個不相等的

實數(shù)根，則△=〃-4或:>0;有兩個相等的實數(shù)根，則A=〃—4ac=0;沒有實數(shù)根，則據(jù)

此即可求解.

【詳解】解：由題意得：△="-4ac=(-4)2-4x1x2左=0,

解得：k—2

故答案為：2

23.(2024?山東?中考真題)若關(guān)于x的方程4/一2%+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則機的值為.

【答案】^/0.25

4

【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=廿-4收=22-4*4*m=0,解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:?關(guān)于x的方程4x2_2x+〃z=0有兩個相等的實數(shù)根，

*'?A=Z?2—4ac=22-4x4x/n=4-16m=0,

解得：m=g.

4

故答案為：—.

4

24.（2019?上海?中考真題）若關(guān)于x的方程必一彳+左=0沒有實數(shù)根，則上的取值范圍是.

【答案】k>\

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式.根據(jù)一元二次方程根的判別式可進行求解.

【詳解】解：\?關(guān)于x的方程/-x+左=0有實數(shù)根，

：.A=b2-4ac=l-4k<Q,

解得：I；

4

故答案為：k>:.

4

25.（2024?廣東?中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程V+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則。=.

【答案】1

【分析】由d+2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，可得公=〃一44=0進而可解答.

【詳解】解：.??必+2彳+°=0有兩個相等的實數(shù)根，

\=b2-4ac=4-4c=0，

c=1.

故答案為：L

【點睛】本題主要考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

26.（2023?江蘇連云港?中考真題）若關(guān)于龍的一元二次方程尤2一2%+左=0有兩個不相等的實數(shù)根，則發(fā)

的取值范圍是.

【答案】k<\

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據(jù)根的判別式的意義得到（-2）2-4k>0,然后解不等式即

可.

【詳解】解：根據(jù)題意得△=（/?-必>0,

解得左<1.

故答案為：k<l.

27.（2024?四川遂寧?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程V-（"z+2）x+〃z-l=0.

（1）求證：無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)如果方程的兩個實數(shù)根為玉,馬,且片+其-否彳2=9,求加的值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵班=1或加2=-2.

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，掌握一元二次方

程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)根的判別式證明A>0恒成立即可；

(2)由題意可得，xt+x2=m+2,-x2=m-l,進行變形后代入即可求解.

【詳解】⑴證明：A=[-("z+2)]~-4x1x(,"-1)=〃/+8,

:無論機取何值，/+8>0,恒成立，

...無論切取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：,蒼，聲是方程尤2-(%+2)x+nt-l=0的兩個實數(shù)根，

...玉+/=機+2,x,-x2=m-1,

才+xf—XyX2=(玉+九2J—3玉/=(機+2)2—3(m—1)=9,

解得：叫=1或e=-2.

28.(2024?廣東廣州-中考真題)關(guān)于元的方程V—2x+4-機=0有兩個不等的實數(shù)根.

⑴求加的取值范圍；

,,_1-m2m-1m-3

(2)化簡：-~---------

Im-312m+1

【答案】(1)加>3

⑵一2

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運算，掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論化簡絕對值，再計算分式的乘除混合運算即可.

【詳解】⑴解：,??關(guān)于x的方程/-2X+4-〃z=0有兩個不等的實數(shù)根.

AA=(-2)2-4X1X(4-/M)>0,

解得：m>3；

（2）解:Vm>3,

.1-m2m-1m-3

|m-312m+1

_+2m-3

m-3m-1m+1

=-2；

29.（2023?湖北襄陽?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程f+2x+3-左=0有兩個不相等的實數(shù)根