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第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省成都市郫都區(qū)高三(上)段考數(shù)學(xué)試卷(一)一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={x∈N|1≤x≤5},則集合A的真子集有(
)A.7 B.15 C.31 D.632.已知z=?5?12i,則|z?|=A.?13 B.0 C.13 D.3.若“x>a”是“x>1”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
)A.(?∞,1) B.(?∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)4.象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲,具有深遠(yuǎn)的意義和價(jià)值.它具有紅黑兩種陣營(yíng),將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子.現(xiàn)將3個(gè)紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個(gè)黑色的“將”“車”棋子排成一列,則同色棋子不相鄰的排列方式有(
)A.120種 B.24種 C.36種 D.12種5.若雙曲線C:x2m?y2=1的一條漸近線為A.2 B.3 C.103 6.心形代表浪漫的愛情,人們用它來向所愛之人表達(dá)愛意.一心形作為建筑立面造型,呈現(xiàn)出優(yōu)雅的弧度,心形木屋融入山川,河流,森林,草原,營(yíng)造出一個(gè)精神和自然聚合的空間.圖2是由此抽象出來的一個(gè)“心形”圖形,這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成,則“心形”在x軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為(
)A.y=|x|4?x2 B.y=x4?7.過點(diǎn)(2,0)可作曲線f(x)=x3?3x?2的切線條數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.08.已知a=ln22e,b=1e2,A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1>0A.當(dāng)n=9或10時(shí),Sn取得最大值 B.S19>0
C.Sn<0成立的n10.若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=1,則下列說法正確的是(
)A.xy有最大值為18 B.1x+4y有最小值為6+42
C.411.隨機(jī)事件A,B滿足P(A)=12,P(B?)=2A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(AB?)=38
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.在(x+mx2)6(m>0)的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為9013.已知關(guān)于x,y的一組數(shù)據(jù):x1m345y0.50.6n1.31.4根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到的線性回歸直線方程為y=0.28x+0.16,則n?0.28m14.如圖,在多面體P?ABCD?Q的頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)S,質(zhì)點(diǎn)S每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng),且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同.從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱為移動(dòng)一次.若質(zhì)點(diǎn)S的初始位置在點(diǎn)A處,記質(zhì)點(diǎn)S移動(dòng)n次后仍在平面ABCD上的概率為Pn,則P3=______;i=1n(四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
已知數(shù)列{an}滿足:a1=3,an+1=3an?4n+2,n∈N?.
(1)證明:16.(本小題15分)
如圖,在四棱錐P?ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為等邊三角形,PD⊥AB,AD//BC,AD=2,AB=BC=1,M為PA的中點(diǎn).
(1)證明:DM⊥PB;
(2)求平面PCD與平面PAB所成二面角的正弦值.17.(本小題15分)
在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇.學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況,在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,其中男生和女生人數(shù)之比為1:1,現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”,不超過8次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”.“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人,“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐不喜歡食堂就餐10合計(jì)100(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān);
(2)用頻率估計(jì)概率,從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名,記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X.事件“X=k”的概率為P(X=k),求隨機(jī)變量X的期望和方差.
參考公式:χ2=n(ad?bcα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小題17分)
已知點(diǎn)A(?2,0),B(2,0),點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上運(yùn)動(dòng),PD⊥x軸,垂足為D,點(diǎn)M滿足DM=32DP點(diǎn)M的軌跡為W,過點(diǎn)(23,0)的直線l交W于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求W的方程;
(2)若直線l的傾斜角為60°,求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng);
(3)設(shè)直線AE,BF的斜率分別為19.(本小題17分)
定義運(yùn)算:m?np?q=mq?np,已知函數(shù)f(x)=lnx?x?11??a,g(x)=1x?1.
(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)證明:(1+122)(1+132參考答案1.C
2.D
3.A
4.D
5.D
6.C
7.B
8.D
9.AD
10.ABC
11.CD
12.613.0.64
14.58
(?15.證明:(1)由an+1=3an?4n+2得,
an+1?2(n+1)=3an?6n=3(an?2n),
又a1?2=1,
故{an?2n}是以1為首項(xiàng),316.解:(1)證明:取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO,
因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形,所以PO⊥AD,
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,
因?yàn)锳BC平面ABCD,所以AB⊥PO,
又PD⊥AB,PD∩PO=P,PD,PO?平面PAD,
所以AB⊥平面PAD,因?yàn)镈M?平面PAD,
所以AB⊥DM,
因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形,M是PA的中點(diǎn),所以DM⊥PA,
因?yàn)锳B,PA?平面PAB,且AB∩PA=A,
所以DM⊥平面PAB,
因?yàn)镻B?平面PAB,
所以DM⊥PB;
(2)因?yàn)锳D=2,BC=1,由(1)知四邊形ABCO為矩形,則AB/?/OC,
又AB⊥平面PAD,所以CO⊥平面PAD,
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C,OD,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,3),M(0,?12,32),C(1,0,0),D(0,1,0),
PD=(0,1,?3),CD=(?1,1,0),
由(1)知:DM⊥平面PAB,
所以平面PAB的法向量為DM=(0,?32,32),
設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),
則m?PD=y?3z=0m?CD=?x+y=0,令z=1,則x=17.解:(1)列聯(lián)表補(bǔ)充完整,得:男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐402060不喜歡食堂就餐103040合計(jì)5050100零假設(shè)H0:假設(shè)食堂就餐與性命無關(guān),
由列聯(lián)表可得H0:χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(40×30?10×20)250×50×60×40≈16.667>10.828,
根據(jù)小概率α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷H0不成立,
∴依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)得到學(xué)生喜歡食堂就餐與性別有關(guān).
(2)由題意昨抽取的10名學(xué)生中,喜歡飯?zhí)镁筒偷膶W(xué)生人數(shù)X服從二項(xiàng)公布,
且喜歡飯?zhí)镁筒偷念l率為6018.解:(1)由題意,點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),設(shè)M(x,y),P(x0,y0),D(x0,0),
由DM=32DP得x=x0,y=32y0,又x02+y02=4,
所以x2+(23y)2=4,
所以W的方程為x24+y23=1.
(2)直線l的方程為y=3(x?23),即3x?y?19.解:(1)由題意知:f(x)=alnx?x+1,
∴f′(x)=ax?1(x>0),
①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不存在最大值;
②當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,得x=a,
當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)<0,
∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a),單調(diào)減區(qū)間為(a,+∞).
∴f(x)max=f(a)=alna?a+1=0,
令φ(a)=alna?a+1,
求導(dǎo)得φ′(a)=lna,
當(dāng)a∈(0,1)時(shí),φ′(a)<0,函數(shù)φ(a)單調(diào)遞減,
當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),φ′(a)>0,函數(shù)φ(a)單調(diào)遞增,
因此φ(a)max=φ(1)=
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