4.3 對(duì)數(shù)運(yùn)算（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

4.3對(duì)數(shù)運(yùn)算（精講）一.對(duì)數(shù)的概念1.對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)名稱(chēng)定義符號(hào)常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)log10N記為lgN自然對(duì)數(shù)以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，e是無(wú)理數(shù)，e＝2.71828…logeN記為lnN二.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系與性質(zhì)1．對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系(1)若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.(2)對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)．三.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0).2.換底公式對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特別地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．一．對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系示意圖．二．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化1.指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式．2.對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式．三．利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)與求值1.基本原則：①正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，②選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行.2.兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差).考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的概念【例1】（2022秋·上海徐匯）若，則的取值范圍是.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┤舸鷶?shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（2022秋·上海虹口）使得表達(dá)式有意義的x范圍是．考點(diǎn)二指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【一隅三反】（2023·江蘇）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．考點(diǎn)三對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)【例3-1】（2023·江蘇·）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【例3-2】（2023·江蘇）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).【例3-3】（2023廣東潮州）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2).(3)；(4)(5)．【一隅三反】1．（2023·廣東深圳）計(jì)算下列各式的值（或的值）：(1)(2)(3)(4)2．（2023廣東湛江）計(jì)算下列各式的值．(1)；(2)．(3)；(4)．(5).(6).(7)；(8)(9)；(10)(11),(12),考點(diǎn)四對(duì)數(shù)與指數(shù)的綜合應(yīng)用【例4-1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┮阎瑒t（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，若，則＝（

）A．或 B．C． D．2或【例4-3】（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；【一隅三反】1．（2023春·天津）已知，則的值（

）A． B． C．1 D．22．（2023秋·廣東）已知，則.3．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知，，則的值為．4．（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）下列計(jì)算恒成立的是A．B．C．D．考點(diǎn)五對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例5】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森在歐幾里得?費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)（為素?cái)?shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物理數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在的素?cái)?shù)中，當(dāng)，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時(shí)，是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù).除了和兩個(gè)數(shù)被后人證明不是素?cái)?shù)外，其余都已被證實(shí).人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在型素?cái)?shù)研究中所做的開(kāi)創(chuàng)性工作，就把型的素?cái)?shù)稱(chēng)為“梅森素?cái)?shù)”，記為.幾個(gè)年來(lái)，人類(lèi)僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們答為“數(shù)海明珠”.已知第7個(gè)梅森素?cái)?shù)，第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）要測(cè)定古物的年代，可以用放射性碳法：在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性．動(dòng)植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原來(lái)的會(huì)自動(dòng)衰變．經(jīng)過(guò)5730年，它的殘余量只有原始量的一半．現(xiàn)用放射性碳法測(cè)得某古物中含量占原來(lái)的，推算該古物約是m年前的遺物（參考數(shù)據(jù)：），則m的值為（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．240342．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的，即441個(gè)點(diǎn)，根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉3×1015個(gè)二維碼，那么大