5.2 三角函數(shù)的定義（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學精講精練必修一

5.2三角函數(shù)的定義（精講）一．任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)二．三角函數(shù)值在各象限的符號1.口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).2.根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：(1)正弦函數(shù)值的符號取決于縱坐標y的符號；(2)余弦函數(shù)值的符號取決于橫坐標x的符號；(3)正切函數(shù)值的符號是由x，y的符號共同決定的，即x，y同號為正，異號為負.三.誘導公式一(1)語言表示：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.(2)式子表示：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝sinα，,cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tanα，))四.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系描述方式基本關(guān)系基本關(guān)系式語言描述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系Tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))一．三角函數(shù)的定義(1)若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點坐標，即可求出各三角函數(shù)值．(2)若已知角α終邊上一點P(x，y)(x≠0)是單位圓上一點，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(3)若已知角α終邊上一點P(x，y)不是單位圓上一點，則先求r＝eq\r(x2＋y2)，再求sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).(4)若已知角α終邊上的點的坐標含參數(shù)，則需進行分類討論．二．三角函數(shù)式的化簡(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的.(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的.三．已知tanα的值，求關(guān)于sinα，cosα齊次式的值的方法(1)對只含有sinα，cosα的齊次式，可根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，通過除以某一齊次項，轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，即化弦為切，整體代入.(2)對于形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，分子、分母同時除以cosα，cos2α，將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值.(3)對于形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cos2α，轉(zhuǎn)化為形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的式子求值.四．已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題一般利用三角恒等式，采用整體代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；(3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；(4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.上述三角恒等式告訴我們，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一個，則另兩個式子的值均可求出.五．證明三角恒等式常用的方法(1)從左向右推導或從右向左推導，一般由繁到簡；(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)化異為同法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對地變形，以消除差異；(4)變更命題法，如要證明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可證ad＝bc，或證eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等；(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“eq\f(左邊,右邊)＝1”.六．含有條件的三角恒等式證明的常用方法(1)直推法：從條件直推到結(jié)論；(2)代入法：將條件代入到結(jié)論中，轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明；(3)換元法：把條件和要證明的式子的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，利用代數(shù)即可完成證明.考點一坐標法求三角函數(shù)值【例1-1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【例1-2】（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一海拉爾第一中學校考期末）已知角的頂點為原點，起始邊為軸非負半軸，若點是角終邊上一點，且，則（

）A． B． C． D．【例1-3】（2023秋·高一課時練習）已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）若，且角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·云南大理）已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·四川眉山·高一校考期中）（多選）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值可能為（

）A． B． C． D．4（2023春·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點，且，則（

）A． B．C． D．考點二三角函數(shù)值在各象限的符號【例2-1】（2023·全國·高一專題練習）若且，則的終邊所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例2-2】（2023秋·高一課時練習）當x為第二象限角時，（

）A．1 B．0C．2 D．－2【例2-3】（2023春·新疆·高一八一中學?？计谥校┤?，，則的終邊在（

）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或在x軸的非負半軸上D．第二、四象限或在x軸上【一隅三反】1．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）“且”是“為第三象限角”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）若，，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角3．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知為第二或第三象限角，則（

）A． B．C． D．考點三誘導公式一【例3-1】（2023秋·高一課時練習）的值為（

）A．－ B．C．－ D．【例3-2】（2023春·四川宜賓·高一校考階段練習）（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·天津南開·高一學業(yè)考試）的值為（

）．A．1 B．0 C． D．不存在2．（2023春·廣東河源·高一?？茧A段練習）（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學?？计谀?/p>

）A． B． C． D．4．（2023秋單元測試）代數(shù)式的值為（

）A．－ B． C．－ D．考點四同角三角函數(shù)公式的簡單應用【例4-1】（2023·全國·高一課堂例題）已知是第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023春·云南曲靖·高一?？茧A段練習）若是第四象限的角，且，則.【一隅三反】1．（2023春·山東濟南·高一?？茧A段練習）若，且為第三象限角，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川宜賓·高一?？计谥校┮阎渲?，的值為（

）A．－ B．－ C． D．考點五弦切互化求值【例5】（2023·全國·高一課堂例題）已知，則（1）；（2）；（3）．【一隅三反】1．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）已知，則的值為.2．（2023春·四川自貢·高一?？计谥校┮阎?，求下列各式的值.(1)；(2).3．（2023春·四川達州·高一?？计谥校┮阎?1)求的值；(2)求的值．考點六sinα±cosα，sinαcosα求值【例6-1】（2023·全國·高一課堂例題）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【例6-2】（2023秋·高一課時練習）若，，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知與是方程的兩個根，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西上饒·高一上饒市第一中學?？茧A段練習）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高一專題練習）已知.(1)求sinθcosθ的值；(2)求sin3θ＋cos3θ的值．考點七三角函數(shù)式的化簡【例7】（2023·全國·高一課堂例題）化簡：(1