5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（精講）一.在適當?shù)闹苯亲鴺讼迪?，簡諧運動可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；(2)簡諧運動的周期是T＝eq\f(2π,ω)，它是做簡諧運動的物體往復(fù)運動一次所需要的時間；(3)簡諧運動的頻率由公式f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)；(4)ωx＋φ稱為相位；x＝0時的相位φ稱為初相.2.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，在刻畫周期變化預(yù)測其未來等方面發(fā)揮著十分重要的作用.具體地，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的“散點圖”，觀察散點圖，然后進行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題.3.在物理學(xué)中，當物體做簡諧運動時，可以用正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)來表示運動的位移y隨時間x的變化規(guī)律，其中：(1)A稱為簡諧運動的振幅，它表示物體運動時離開平衡位置的最大位移；(2)T＝eq\f(2π,ω)稱為簡諧運動的周期，它表示物體往復(fù)運動一次所需的時間；(3)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)稱為簡諧運動的頻率，它表示單位時間內(nèi)物體往復(fù)運動的次數(shù).考點一三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用【例1-1】（2023云南）(多選)如圖所示為一簡諧運動的圖象，則下列判斷不正確的是（

）A．該質(zhì)點的振動周期為B．該質(zhì)點的振幅為C．該質(zhì)點在和時的振動速度最大D．該質(zhì)點在和時的加速度為零【答案】ABC【解析】由圖象可知該質(zhì)點的振動周期為,故A是錯誤的；該質(zhì)點的振幅為,故B是錯誤的；該質(zhì)點在和時的振動速度是零，所以C是錯誤的，該質(zhì)點在和時處于平衡位置，速度達到最大，加速度為零，D正確，故選：D【例1-2】（2023春·北京·高一校考期中）如圖，彈簧掛著的小球上下振動，它在t（單位：s）時相對于平衡位置的高度h（單位：cm）由關(guān)系式確定，下列結(jié)論正確的是（

）A．小球的最高點和最低點相距 B．小球在時的高度C．每秒鐘小球往復(fù)運動的次數(shù)為 D．從到，彈簧長度逐漸變長【答案】D【解析】由題意彈簧掛著的小球上下振動，它相對于平衡位置的高度由關(guān)系式確定，則小球的最高點和最低點相距平衡位置都是，故小球的最高點和最低點相距，A錯誤；小球在時的高度，B錯誤；由知，最小正周期，則頻率為，則每秒鐘小球往復(fù)運動的次數(shù)為，C錯誤；由題意知當時，單調(diào)遞減，時，小球在平衡位置，因為且，故，所以即遞減，時，小球在平衡位置以上位置，時，小球在平衡位置以下位置，即小球此時從平衡位置以上位置逐漸向平衡位置以下位置運動，故彈簧長度逐漸變長，D正確，故選：D【一隅三反】1．（2023春·遼寧沈陽）（多選）已知彈簧上掛的小球做上下振動，它在時間t（s）時離開平衡位置的位移s（cm）滿足函數(shù)關(guān)系式．給出的下列說法中正確的是（

）．A．小球開始時在平衡位置上方2cm處B．小球下降到最低點時在平衡位置下方2cm處C．經(jīng)過小球重復(fù)振動一次D．小球振動的頻率為【答案】BCD【解析】A選項，時，，即小球開始時在平衡位置上方cm處，故A錯誤；B選項，由題可知s的最小值為，即小球下降到最低點時在平衡位置下方2cm處，故B正確；C選項，由題可知，最小正周期為，即經(jīng)過小球重復(fù)振動一次，故C正確；D選項，由C選項分析可知周期為，則振動的頻率為，故D正確.故選：BCD2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）如圖所示的是一質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該質(zhì)點的運動周期為0.7sB．該質(zhì)點的振幅為5cmC．該質(zhì)點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質(zhì)點在0.3s和0.7s時運動速度為零【答案】BC【解析】由題圖可知，運動周期為，故A錯誤；該質(zhì)點的振幅為5cm，B正確；由簡諧運動的特點知，在0.1s和0.5s時運動速度為零，質(zhì)點在0.3s和0.7s時運動速度最大，故C正確，D錯誤．故選：BC．3．（2023秋·安徽阜陽）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【解析】因為，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.故選：C.4．（2023春·云南紅河·高一開遠市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，一個質(zhì)點在半徑為2的圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向運動，每轉(zhuǎn)一圈．則該質(zhì)點到x軸的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點的縱坐標為，由題意可得，得.因為起始點在第四象限，所以初相，由圖可知，所以.所以該質(zhì)點到x軸的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是.故選:A.考點二三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用【例2】（2023秋·四川綿陽）（多選）如圖（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負數(shù))、與時間(單位：s)之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點D．時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)【答案】AC【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時，A正確；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B錯誤；對于C，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達到最高點，C正確.對于D，當時，，此時單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態(tài)，D錯誤.故選：AC.【一隅三反】1．（2023·北京）如圖，某港口某天從到的水深（單位：m）與時間（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫，據(jù)此可估計當天的水深為（

）

A． B．4mC． D．【答案】A【解析】由題圖可得，，則，當時，取得最小值，即，解得，∵函數(shù)的圖象過點，∴，又，則，所以，∴，∴．當時，，即估計當天的水深為．故選：A.2．（2023秋·遼寧沈陽）（多選）如圖（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負數(shù)）、與時間（單位：s）之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時30sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點【答案】BD【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時，A錯誤；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對于C，當時，，此時單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態(tài)，C錯誤；對于D，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達到最高點，D正確.故選：BD.3．（2023秋·湖南株洲）（多選）如圖（1）是一段依據(jù)正弦曲線設(shè)計安裝的過山車軌道.建立平面直角坐標系如圖（2），（單位：m）表示在時間（單位：s）時.過山車（看作質(zhì)點）離地平面的高度.軌道最高點距離地平面50m.最低點距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當時，過山車到達最高點，時，過山車到達最低點.設(shè)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為12B．C．時，過山車距離地平面40mD．一個周期內(nèi)過山車距離地平面低于20m的時間是4s【答案】ACD【解析】由題意可知，周期滿足，得，所以，得，又，解得，.所以，又，即，得，因為，所以，所以.對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，得，即，，，解得，，所以一個周期內(nèi)過山車距離底面低于20m的時間是，D正確.故選：ACD.考點三三角函數(shù)模型的擬合【例3】（2023春·貴州遵義）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】設(shè)簡諧振動的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過點，由周期，且，可得，由過點，可得，即，則，可得，所以簡諧振動的解析式為.故選：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間（，單位：時）的函數(shù)，記作：，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：（時）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀察，的曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）中的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的10：00至20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？【答案】(1)，，(2)5個小時【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函數(shù)解析式為：.（2）由題意知，當時才可對沖浪者開放，所以，所以，所以，，即，.又因為，故可令得，或，或.所以在規(guī)定時間10：00至20：00之間，有5個小時可供沖浪者活動，即上午10：00至下午3：00.2．（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：（小時）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【答案】(1)(2)16小時.【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進港，若欲于當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16小時.3．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┰谠铝梁吞柕囊ψ饔孟?，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點時刻的水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時間的關(guān)系都符合上圖所示．(1)請運用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出水深y與時間x的函數(shù)的近似表達式；(2)根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計劃明天進港卸貨．①求該船可以進港的時間段；②該船今天會到達港口附近，明天0點可以及時進港并立即開始卸貨，已知卸貨時吃水深度以每小時0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請設(shè)計一個卸貨方案，在保證嚴格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計?？看a頭和駛離碼頭所需時間）．【答案】(1)；(2)①0點到4點以及12點到16點進入港口；②該船在0點進港開始卸貨，5點暫時駛離港口，11點返回港口繼續(xù)卸貨，16點完成卸貨任務(wù).【解析】（1）觀察圖形知，，解得，，，解得，顯然函數(shù)的圖