河北省張家口市尚義縣第一中學(xué)等校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年高二年級(jí)9月入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)考試說明：1.本試卷共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填在答題卡上.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解，再對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)可得.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.已知向量，且兩向量夾角為，則（）A.18 B.9 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.【詳解】依題意，.故選：B3.如圖，為水平放置的的直觀圖，的面積為，那么的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用斜二測(cè)畫法規(guī)則還原直觀圖，根據(jù)面積比例關(guān)系求解可得.【詳解】由，則，如圖，作出還原后，則，故，所以.故選：C4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為（其中），若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的方差和分位數(shù)分別是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用方差和分位數(shù)的意義計(jì)算判斷即可.【詳解】依題意，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，中位數(shù)為，解得，由，因此這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是8，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：D5.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，以軸為旋轉(zhuǎn)軸，將旋轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則此旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓柱、圓錐的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，，，，該旋轉(zhuǎn)體是底面圓半徑為3，高為4的圓柱挖去底面半徑為3，高為4的圓錐，其表面積故選：D6.如圖，在中，角所對(duì)的邊分別為交于點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C.6 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，即，則，所以.故選：A7.如圖，在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法求，則得線線角.【詳解】連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，不妨設(shè)，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.故選：B.8.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則周長(zhǎng)的最大值為（）A. B. C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦求出角，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，而，整理得，又，解得，由余弦定理，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為9.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，為上一點(diǎn)，，則（）A.當(dāng)為角的角平分線時(shí)，B.C.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，D.的外接圓半徑為1【答案】AC【解析】【分析】利用三角形面積公式計(jì)算判斷A；利用余弦定理判斷B；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷C；利用正弦定理求出外接圓半徑判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，解得，A正確；對(duì)于B，在中，，由余弦定理得，B錯(cuò)誤；對(duì)于，，則，C正確；對(duì)于D，的外接圓半徑，D錯(cuò)誤.故選：AC10.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.復(fù)數(shù)的虛部為3B.C.D.若是關(guān)于的方程的根，則【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出，再逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，，對(duì)于A，復(fù)數(shù)的虛部為3，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由是關(guān)于的方程的根，得是方程的另一根，則，因此，D正確.故選：ACD11.在中，已知.那么（）A.若是鈍角三角形，則B.若，則僅有一解C.的最大值是D.的最大值是6【答案】BC【解析】【分析】由為鈍角判斷A；由正弦定理計(jì)算判斷BC；利用正弦定理及三角恒等變換計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為鈍角時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，，僅有一解，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，由正弦定理，得，由，得，，則，因此，無最大值，D錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某初中七年級(jí)有男生600人，女生500人.為了解該班學(xué)生的體質(zhì)健康情況，按性別進(jìn)行分層，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為22的樣本進(jìn)行調(diào)查.若樣本按比例分配，則抽取的男生人數(shù)為__________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比計(jì)算即得.【詳解】依題意，樣本按比例分配，抽取的男生人數(shù)為.故答案為：1213.若，則__________.【答案】【解析】【分析】平方后利用二倍角公式可得【詳解】，，解得.故答案為：.14.已知菱形的邊長(zhǎng)為，將沿著對(duì)角線折起至，連接.若二面角的大小為時(shí)，則四面體的外接球的表面積為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定四面體外接球球心位置，結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即可得解.【詳解】由菱形，且，得均為正三角形，設(shè)它們的中心分別為，取的中點(diǎn)，連，則，點(diǎn)共線，點(diǎn)共線，是二面角的平面角，即，又平面，于是平面，即平面是線段的中垂面，則四面體外接球的球心平面，分別為的截面小圓圓心，，，≌，因此，，四面體的外接球半徑為，則，所以四面體的外接球的表面積.故答案：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量為同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，向量.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角的余弦值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，利用向量模的計(jì)算公式求解即得.（2）利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】由，設(shè)，則，解得，所以或.【小問2詳解】由與垂直，得，解得，所以與的夾角的余弦值.16.為了解某品牌型號(hào)空調(diào)的質(zhì)量，某商場(chǎng)對(duì)購(gòu)買該型號(hào)的顧客進(jìn)行了產(chǎn)品滿意度的問卷調(diào)查.隨機(jī)抽取了100位顧客的問卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì)，評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：.（1）求值；（2）求這100位顧客問卷評(píng)分的平均數(shù)；（3）若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評(píng)分在80,90和90,100內(nèi)的居民中共抽取7戶居民，查閱他們答卷的情況，再?gòu)倪@7戶居民中選取2戶進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評(píng)分在80,90內(nèi)的概率.【答案】（1）；（2）74；（3）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出值；（2）利用頻率分布直方圖估計(jì)問卷評(píng)分的平均數(shù).（3）求出評(píng)分在80,90和90,100內(nèi)的戶數(shù)，再利用列舉法求出古典概率.小問1詳解】由頻率分布直方圖，得，所以.【小問2詳解】這100位顧客問卷評(píng)分的平均數(shù).【小問3詳解】抽取的7戶居民中，評(píng)分在80,90的有戶，記為，評(píng)分在90,100的有2戶，記為，從這7戶居民中選取2戶的樣本空間為：，共21個(gè)樣本點(diǎn)，其中恰有1戶的評(píng)分在80,90內(nèi)的事件，共10個(gè)樣本點(diǎn)，所以恰有1戶的評(píng)分在80,90內(nèi)的概率.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角；（2）若，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)變形后利用余弦定理可求；(2)先將代入可得，再將代入得，聯(lián)立方程組解得，由此將向量用表示，求解向量的?？傻?【小問1詳解】由得，則由余弦定理得，，.【小問2詳解】由，解得①，，，則②，聯(lián)立①②可得，，或.，，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，，則長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，，則長(zhǎng)為.綜上所述，的長(zhǎng)為或.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示：（1）求函數(shù)的解析式；（2），求函數(shù)的值域；（3）若，求滿足不等式的的取值范圍【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先由圖象確定，再將點(diǎn)，分別代入解析式結(jié)合范圍求解的值即可；（2）利用整體角范圍結(jié)合正弦函數(shù)圖象求值域；（3）先以為整體，解二次不等式得，再根據(jù)整體角的范圍及特殊值求角可得.【小問1詳解】由圖象可知，則，由圖象過，可得，即，因?yàn)?，所以，故，又函?shù)圖象過，則，解得，所以，.由圖可知，，則有，解得，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意.綜上所述，函數(shù)的解析式是.【小問2詳解】，，則，所以.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【小問3詳解】由得，即，，，，故，或，解得，或，故滿足不等式的的取值范圍是.19.如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成的角為，求二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，連接，利用線面垂直的判定、面