2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：圓錐曲線中的范圍和最值問題（原卷）

專題12圓錐曲線中的范圍和最值問題

一、橢圓中的范圍和最值問題

1.已知橢圓C0+/=l(a>b>0)的左、右焦點分別為%,尸2，點B是橢圓c的上頂點，△BF1F2是等邊三

角形，ABFR的內(nèi)切圓的面積為泉

(1)求橢圓C的方程；

⑵已知7在無軸負(fù)半軸上且|。7|=4|。巳],過T的直線與橢圓交于M,N兩點，求AMNF1面積的最大值.

2.已知點(一2,0)在橢圓?！?，=1((1>6>0)上，點用(皿3(機力0)在橢圓。內(nèi).設(shè)點以4B為C的短軸

的上、下端點，直線分別與橢圓C相交于點E,F,且瓦4,EB的斜率之積為-1

4

(1)求橢圓。的方程；

(2)記5aBME，SAAMF分別為△BME,△4MF的面積,若優(yōu)€(—b,—1]U[1,百)，求愛絲的取值范圍.

b^BME

3.已知橢圓此馬+。=l(a>0)的一個焦點為F(—l,0),左、右頂點分別為4,B,經(jīng)過點下的直線/與橢

a3

圓M交于C,D兩點.

(1)當(dāng)直線I的斜率為1時，求線段CD的長；

⑵記△力BD與A2BC的面積分別為Si和S2，求IS1-S2I的最大值.

4.已知橢圓a《+胃=1(口>8>0)的離心率為￥，點(言,1)在橢圓(：上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點N(2,0)的直線與橢圓C交于4B兩點，求S“oB的最大值.

5.已知橢圓務(wù)/=1(。>6>0)的焦距與短軸長相等，點時(一1,一爭在橢圓上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若P,Q為橢圓上兩點，AOPQ是以PQ(斜率存在)為斜邊的直角三角形(。為坐標(biāo)原點)，求OP2+OQ2

的最大值.

6.已知F是橢圓。捺+，=l(a>b>0)的右焦點，。為坐標(biāo)原點，M為橢圓上任意一點，|MF|的最大值為

2+亞當(dāng)|OM|=|。/|時，AMOF的面積為

(1)求橢圓C的方程；

(2)力、B為橢圓的左、右頂點，點P滿足而=3兩，當(dāng)M與4、B不重合時，射線MP交橢圓C于點N,直線4M、

BN交于點T,求N4TB的最大值.

7.已知％,尸2為橢圓C的左右焦點，且拋物線y2=4代X的焦點為尸2,又為橢圓的上頂點，AM/Fz的面

積為2遍.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(0,1)的直線/與橢圓C交于H8兩點，O為坐標(biāo)原點，且赤=49(4>0),若橢圓。上存在一點

E,使得四邊形ONED為平行四邊形，求4的取值范圍.

8.已知橢圓C0+?=l(a>b>0)的左、右頂點分別為a、M2,T為橢圓上異于叫、的動點，設(shè)直線

TMi、TM2的斜率分別為的、k2,且自?七=—；

4

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)動直線］與橢圓C相交于力、B兩點，。為坐標(biāo)原點，若瓦？?礪=0,△(MB的面積是否存在最小值？若

存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

9.已知橢圓l(a>b>0)的兩焦點分別為％(一百,0),6(b,。)，N是橢圓E上一點，當(dāng)4小4尸2=

狎，△?丁尸2的面積為何.

(1)求橢圓E的方程；

(2)直線始的久-y+2/q=0(自>0)與橢圓E交于M,N兩點，線段MN的中點為P,過P作垂直x軸的直線在

第二象限交橢圓E于點S,過S作橢圓E的切線％，%的斜率為心，求心-的的取值范圍.

10.如圖，已知半圓Cl：x2+y2=》2(yW0)與X軸交于/、2兩點，與y軸交于E點，半橢圓。2：《+盤=1

(y>0,a>6>0)的上焦點為尸，并且AABF是面積為舊的等邊三角形，將由Q、G構(gòu)成的曲線，記為“廠

(1)求實數(shù)。、6的值；

(2)直線/：丫=&%與曲線性于河、N兩點，在曲線廠上再取兩點S、T(S、7分別在直線/兩側(cè))，使得這

四個點形成的四邊形MSNT的面積最大，求此最大面積；

(3)設(shè)點K(O,t)(teR),P是曲線「上任意一點，求|PK|的最小值.

11.已知橢圓C京+石=l(a>b>0)過和孚)兩點.

(1)求橢圓。的方程；

(2)如圖所示，記橢圓的左，右頂點分別為4,B,當(dāng)動點M在定直線x=4上運動時，直線則分別

交橢圓于兩點尸和。，求四邊形力PBQ面積的最大值.

12.已知橢圓E:5+，=l(a>b>0)的長軸長為4,上頂點P到直線/:乂+2y-6=0的距離為磐.

(1)求E的方程；

(2)直線丫=/^+家卜>0)與后交于4,B兩點，直線P4PB分別交直線［于C,。兩點，求|CD|的最小值.

13.已知P為橢圓C:=+『=1上一點，且點P在第一象限，過點P且與橢圓C相切的直線為

(1)若，的斜率為k,直線。P的斜率為k°p,證明：k?k°p為定值,并求出該定值；

⑵如圖,PQ,RS分別是橢圓C的過原點的弦，過P,Q,R,S四點分別作橢圓C的切線，四條切線圍成四邊形

若kop-k()s=—三，求四邊形4BCD周長的最大值.

16

14.已知橢圓C:5+,=l(a>b>0)的焦距為2加點(1,專在C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C與直線丫=/?+血,力0,瓶>與相交于不同的兩點“、N,P為弦MN的中點，4為橢圓C的下頂

點，當(dāng)APIMN時，求a的取值范圍.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點3與點力(-1,1)關(guān)于原點。對稱，尸是動點，且直線4P與AP的斜率之

積等于-g.

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)求4P4B面積的最大值；

(3)記APAB的周長為加，求證：4V2<m<2(V6+V2).

二、雙曲線中的范圍和最值問題

16.已知雙曲線?！?5=1。>0,6>0)的離心率為近，且C的一個焦點到其一條漸近線的距離為1.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)點4為C的左頂點，若過點(3,0)的直線/與C的右支交于P,Q兩點，且直線力P,力Q與圓。:/+產(chǎn)=a2分別

交于M,N兩點，記四邊形PQNM的面積為Si，A4MN的面積為S2，求%勺取值范圍.

17.設(shè)雙曲線—，=l(a>0為>0)的左、右焦點分別為Fi，尸2，尸141=2西，且￡的漸近線方程為y=±

X

2,

(1)求￡的方程；

(2)過尸2作兩條相互垂直的直線4和6，與E的右支分別交于4C兩點和2,。兩點，求四邊形48CD面積

的最小值.

18.已知雙曲線C：//=l(a>0">0)的左、右焦點分別為Fi、F2,焦距為4,右頂點為/,以/為

圓心，6為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R,S兩點，且NWS=60。.

⑴求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知點。是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，其中M位于第一象限，NF1Q七的角平分線記為/，

過點M做/的垂線，垂足為￡,與雙曲線右支的另一交點記為點N,求黑的最大值.

19.已知。為坐標(biāo)原點，雙曲線C：《—爰=l(m>0)的漸近線方程為y=±苧％.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點p(l,百)的直線/交C于跖N兩點，交X軸于。點.若IPMHPNI=36,問tan/OPQ是否存在？

若存在，求出tan/OPQ的值；若不存在，請說明理由.

20.已知雙曲線的:捺一/=1的離心率為VL點%(―c,0),F2(c,0)分別是其左右焦點，過點尸2的直線交

雙曲線的右支于P,N兩點，點P在第一象限.當(dāng)直線為的斜率不存在時，\PA\=2V2.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

(2)線段P%交圓C2：(x+c)+y=4a2于點B,記APF2B,△AF2F1,APA%的面積分別為Si,S2,S,求酒+目

的最小值.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：5-，=1(a>0,6〉0)的右焦點為尸，離心率為2,且過

點P(2,3).

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)過原點。的直線匕在第一、三象限內(nèi)分別交雙曲線E于/,C兩點，過原點。的直線G在第二、四象

限內(nèi)分別交雙曲線E于3,D兩點,若直線過雙曲線的右焦點R求四邊形/BCD面積的最小值.

22.已知雙曲線。5一5=1,(a>0,b>0)的實軸長為2,且過點(e,3),其中e為雙曲線C的離心率.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點M(-2,0)且斜率不為0的直線/與C的左、右兩支分別交于點4,8,點N在線段上，且需=需，P

為線段的中點，記直線OP,ON(。為坐標(biāo)原點)的斜率分別為的，k2,求|自|+|七|的最小值.

23.雙曲線C:5一，=1(￡1>0">0)的左頂點為4焦距為4,過右焦點尸作垂直于實軸的直線交C于B、D

兩點，且AABD是直角三角形.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)M、N是C右支上的兩動點，設(shè)直線AM、AN的斜率分別為口、k2,若的電=-2,求點2到直線MN的距離

d的取值范圍.

24.已知力(一2,0),5(2,0),動點Q(x,y)關(guān)于%軸的對稱點為Qi，直線AQ與BQi的斜率之積為—右

(1)求點Q的軌跡C的方程；

(2)設(shè)點P是直線x=1上的動點，直線PA,PB分別與曲線C交于不同于4B的點M,N,過點B作MN的垂線,

垂足為D,求|4D|最大時點P的縱坐標(biāo).

25.已知雙曲線。經(jīng)過點P(3,魚)，它的兩條漸近線分別為x+V^y=0和尤-百y=0.

⑵設(shè)雙曲線。的左、右焦點分別為F1I2,過左焦點FI作直線/交雙曲線的左支于43兩點，求△ABF?周長

的最小值.

26.我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲

22

線.已知橢圓的:?+患=1(0<b<2),雙曲線C2是橢圓C1的“姊妹”圓錐曲線，/62分別為3,。2的離心率,

且0送2=半，點M,N分別為橢圓C1的左、右頂點?

4

⑴求雙曲線。2的方程；

(2)設(shè)過點G(4,0)的動直線1交雙曲線。2右支于4B兩點，若直線的斜率分別為%M#BN.

(i)試探究施M與心?的比值抖是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；

kBN

(ii)求卬=+1心村的取值范圍.

27.已知雙曲線一，=1。>0,6>0)的焦距為4n，直線y=小刀與C交于4B兩點，點P是C上異于4B

兩點的動點，且直線P4PB的斜率之積為去

(1)求C的方程;

(2)已知M是直線x=2上的動點，過點M作兩條傾斜角互補的直線分別交C于點S,7和點E,F,若|MS|.\MT\=

A\ME\'\MF\,求實數(shù)4的值.

28.在平面內(nèi)，動點M(x,?)與定點尸(2,0)的距離和它到定直線=T的距離比是常數(shù)2.

(1)求動點M的軌跡方程；

(2)若直線機與動點M的軌跡交于尸，0兩點，且。P_LOQ(。為坐標(biāo)原點)，求|OP『+|OQ『的最小值.

29.已知雙曲線C:《一，=1((1>0為>0)過點(2,3),左、右頂點分別是4B,右焦點尸到漸近線的距離為國,

動直線=kr+m與以ZB為直徑的圓相切，且i與C的左、右兩支分別交于「Q(%2，y2)兩點.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)記直線4P,BQ的斜率分別為的,k2,求產(chǎn)彳的最小值.

%2l

X1y,

：-彳))

GW13>0*0

30.我們把等軸雙曲線的一部分/b與半圓。2：/+〉2=&2(>30)合成的曲線稱

作，，異型，，曲線C,其中C1是焦距為2a的等軸雙曲線的一部分，如圖所示.

⑴求“異型”曲線c的方程；

⑵若P(O,p)(p>0),Q為“異數(shù)”曲線C上的點，求|PQ|的最小值；

(3)若直線=kx-1與“異形”曲線C有兩個公共點，求k的取值范圍.

三、拋物線中的范圍和最值問題

31.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動圓經(jīng)過點力(J，。)且與直線x=-：相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K,

尸是曲線K上一點.

⑴求曲線K的方程；

⑵過點A且斜率為k的直線/與曲線K交于5、C兩點，若1〃OP且直線OP與直線x=1交于0點.求盟端

的值；

(3)若點D、￡在y軸上，APDE的內(nèi)切圓的方程為(無一+儼=1,求APDE面積的最小值.

32.曲線「:f=4刈第一象限內(nèi)點/在「上，/的縱坐標(biāo)是a.

⑴若/到準(zhǔn)線距離為3,求a；

(2)若a=4,8在x軸上，中點在/上，求點3坐標(biāo)和坐標(biāo)原點。到距離；

⑶直線〃x=-3,令尸是第一象限：T上異于N的一點，直線為交/于。，“是尸在/上的投影，若點/滿

足”對于任意尸都有舊QI>4”,求a的取值范圍.

33.已知尸是拋物線。產(chǎn)=2px(p>0)的焦點，過點F的直線交拋物線C于力、B兩點，且吃+高=2.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若。為坐標(biāo)原點，過點B作y軸的垂線交直線力。于點D,過點力作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為E,

4E的中點為G,求照的取值范圍.

34.拋物線ad=2py(p〉0)的焦點為凡準(zhǔn)線為I,點4在拋物線C上.已知以F為圓心，|凡4|(|/川>p)為半

徑的圓F交/于P,Q兩點，若乙PFQ=9(T,AAPQ的面積為VI

⑴求p的值；

(2)過點A的直線a交拋物線C于點B(異于點力)，交x軸于點M,過點B作直線a的垂線交拋物線C于點D,若

點4的橫坐標(biāo)為正實數(shù)如直線DM和拋物線C相切于點。，求正實數(shù)t的取值范圍.

35.已知曲線「在x軸上方，它上面的每一點到點Q(0,2)的距離減去到無軸的距離的差都是2.若點分別

在該曲線「上，且點4c在y軸右側(cè)，點B在y軸左側(cè)，△力BC的重心G在y軸上，直線交y軸于點M且滿足

3MMi<\BM\,直線BC交y軸于點N.記△ABC,△力MG,ACNG的面積分別為Si，S2，S3

⑴求曲線「方程；

(2)求怨步的取值范圍.

51

36.已知點”(0,1)和點N(xo,2)(為>0)之間的距離為2,拋物線C:產(chǎn)=2px(p>0)經(jīng)過點N,過點M的直

線I與拋物線C有兩個不同的交點A,B,點E,F分別在直線N4NB上,且麗=4(流-麗),MO=n(NF-

麗)(。為坐標(biāo)原點).

(1)求直線I的傾斜角的取值范圍;

(2)求2+4的值.

x—sintH———

37.在直線坐標(biāo)系久。y中國，曲線C的參數(shù)方程為4sint(1為參數(shù)且/：6(0,兀)),以坐標(biāo)原點。

丫=而+焉

為極點，久軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，ae(0,￡)且tana=[,直線I的極坐標(biāo)方程為psin(。+a)=

m(m￡R).

(1)求直線I的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

⑵若直線I與曲線C有公共點，求實數(shù)小的取值范圍.

38.從拋物線的焦點發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于

拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中.如

圖，已知拋物線C:/=2py(p>1),從點(4,9)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的。點，經(jīng)過拋物

線兩次反射后，反射光線由G點射出，經(jīng)過點(-1,5).

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知圓M:/+(y-3尸=4,在拋物線。上任取一點￡,過點E向圓M作兩條切線及4和即，切點分別

為4、B,求薛?麗的取值范圍.

39.如圖，已知點P(2,2)是焦點為尸的拋物線C：V=2px上一點，A,3是拋物線C上異于P的兩點，且直

線E4,總的傾斜角互補，若直線以的斜率為k(lWk〈2).

(1)判斷直線N2的斜率是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由;

(2)設(shè)焦點尸到直線的距離為d,求昌-島的取值范圍.

40.已知拋物線E:y2=2px(p>0)與雙曲線擠-9=1的漸近線在第一象限的交點為P,且點P的橫坐標(biāo)

為3.

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點4、3是第一象限內(nèi)拋物線E上的兩個動點，點C(t,0)為x軸上的動點，若AABC為等邊三角形，求實

數(shù)/的取值范圍.

41.平面直角坐標(biāo)系中，過點(1,0)的圓C與直線光=