2024年浙江省北斗星盟競(jìng)賽（強(qiáng)基）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年浙江省北斗星盟競(jìng)賽（強(qiáng)基）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共12小題，每小題8分，共96分。1.已知0<m<n，關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|m<x<n}，則關(guān)于x的一元二次不等式(a+c?b)2.已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=3，且(3a3.已知tanαtan(α+π4)4.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3，z4滿足|z1?z2|=1，5.在四面體PABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=?PC6.設(shè)a，b，c∈[1,2]，則(b?c)2bc7.數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=3an+1+an，則[8.已知實(shí)數(shù)a滿足：①a∈[0,2π)；②存在實(shí)數(shù)b，c(a<b<c<2π)，使得a，b，c是等差數(shù)列，cosb，cosa，cosc也是等差數(shù)列.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．9.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第2n?1(n∈N?)局，甲贏的概率為23；第2n(n∈N?)局，乙贏的概率為210.設(shè)0≤α、β≤2π，α、β≠π3,5π3，且2sinα?11.設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，滿足下列性質(zhì)的集合稱為“翔集合”：集合至少含有兩個(gè)元素，且集合內(nèi)任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于2.則A的子集中有

個(gè)“翔集合”．12.甲乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：兩人輪流在黑板上寫數(shù)字，并且當(dāng)數(shù)字a和b已經(jīng)出現(xiàn)在黑板上時(shí)，就不允許寫所有滿足ax+by(x,y為非負(fù)整數(shù))形式的數(shù)，最后兩人中不得不寫下數(shù)字1的人為失敗者.已知黑板上已有數(shù)字5和6，此時(shí)由甲開始寫數(shù)字，若甲要保證必勝，那么他第一次只能夠填的數(shù)字有______．二、解答題：本題共3小題，共54分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.(本小題14分)

已知點(diǎn)M(?3,0)，N、P兩點(diǎn)分別在y軸、x軸上運(yùn)動(dòng)，且滿足MN?NQ=0，NP=12PQ．

(1)求Q的軌跡方程；

14.(本小題20分)

求證：關(guān)于x的方程x(x+1)(x+2)…(x+2024)?1=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根x0，且這個(gè)實(shí)根x0滿足：12024!+1015.(本小題20分)

最近的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共6道試題，每題答對(duì)得7分，答錯(cuò)(或不答)得0分.賽后某參賽代表隊(duì)獲團(tuán)體總分161分，且統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：該隊(duì)任兩名選手至多答對(duì)兩道相同的題目，沒有三名選手都答對(duì)兩道相同的題目.試問該隊(duì)選手至少有多少人？

參考答案1.{x|12.π63.2

4.14

5.7206.1

7.1

8.(2arcsin39.9210.?11.49

12.19

13.解：(1)設(shè)點(diǎn)Q(x,y)，

因?yàn)镹P=12PQ，且點(diǎn)N在y軸上，

所以N(0,?12y)，

又M(?3,0)，則MN=(3,?12y)，NQ=(x,32y)，

由MN?NQ=3x?34y2=0，得y2=4x，

故點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=4x．

(2)設(shè)正方形ABCD在y2=4x上的三個(gè)頂點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，

不妨設(shè)A，B在x軸的下方(包括x軸)，且y3≥0≥y2>y1，

則x1=y124，x2=y224，x3=y324，

設(shè)直線AB的斜率為k，則y14.證明：設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2024)?1，

易知：當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(0)=?1<0，f(1)=2025！?1>0，

所以f(x)=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根x0，

下面先證明兩個(gè)引理：

引理一：6+362024!<1+12+13+?+12024<10，

證明：k=120241k=1+12+i=19(12i+1+12i+2+?+12i+1)+11025+?+12024>1+12+i=19(12i+1+12i+1+?+12i+1)+362024!=1+12+i=192i2i+1+362024!=6+362024!，

k=120241k<k=120471k=1+12+13+i=210(12i+12i+1+……13×2i?1?1)+i=210(13×2i?1+115.解：設(shè)該隊(duì)有n名選手，分別記為a1，a2，…，an，記6道題的編號(hào)依次為1，2，…，6，以編號(hào)為行、選手為列作一個(gè)6xn的方格表，

如果選手ai(i=1,2,n)答對(duì)第j(j=1,2,6)題，就將方格表中第j行第i列的小方格(j,i)的中心染成紅點(diǎn)，

我們的問題就是在6×n的方格表中，不存在“橫”6點(diǎn)矩形和“縱”6點(diǎn)矩形的情況，且至少有23個(gè)紅點(diǎn)時(shí)，求n的最小值．

如第1列有6個(gè)紅點(diǎn)，那么，后面各列至多有2個(gè)紅點(diǎn)，

因?yàn)镃62=15>9，于是，取第2至10列，其中第2至9列每列有2個(gè)紅點(diǎn)，第1θ列1個(gè)紅點(diǎn)(如圖)滿足題設(shè)，這說明n的最小值不大于1θ．

我們發(fā)現(xiàn)，可通過將第1列中某點(diǎn)移到此點(diǎn)所在行的其他列中來減少圖6的列數(shù)，

如作移動(dòng)(6,1)→(6,2)，可同時(shí)作移動(dòng)(4,10)→(6,3)，(3,9)→(6,4)，(5,9)→(6,7)，這樣便得到有23個(gè)紅點(diǎn)的圖甲，

類似地可得圖乙，這說明n的最小值不大于7．

下面證明：n的最小值大于6．

對(duì)于一個(gè)恰有6列的方格表，由抽屜原理知至少有一列紅點(diǎn)數(shù)不少于4，不妨設(shè)第1列，且第1列的前4行的小方格的中心是紅點(diǎn)，

如果某列有2個(gè)紅點(diǎn)，則稱其為某列上的一個(gè)紅點(diǎn)“行對(duì)”，這樣在前4行中，除第1列外的5列中每列只能有一個(gè)行對(duì)．于是，前4行中總共有C42+5=11個(gè)行對(duì)．

考慮最后兩行：若第1列還有紅點(diǎn)，那么，有紅點(diǎn)的這一行不能再有其他的紅點(diǎn)，如第1列還有2個(gè)紅點(diǎn)，這時(shí)能增加9個(gè)行對(duì)，6×6方格表中共有11+9=2θ個(gè)行對(duì)；

如第1列還有1個(gè)紅點(diǎn)，不妨設(shè)第1列第5行的小方格有紅點(diǎn)，

這時(shí)即使第6行除第1列外的其他小方格都有紅點(diǎn)，那么，可增加C41+5×2=14個(gè)行對(duì)，6×6方格表中共有11+14=25個(gè)行對(duì)；

如第1列沒有其他的紅點(diǎn)，那么，在最后兩行中最多還有兩個(gè)行對(duì)，這兩個(gè)行對(duì)占去了兩列，在余下的三列中，每列最多有1個(gè)紅點(diǎn)，

于是，可增加行對(duì)2×5+3×2=1