專題8幾何作圖題與最短路徑問題(原卷版+解析)

專題8幾何作圖題與最短路徑問題（原卷版）類型一尺規(guī)作圖1．（2022秋?鎮(zhèn)原縣期中）已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h，如圖所示，利用尺規(guī)作圖，求作這個(gè)等腰三角形（不寫作法，保留作圖痕跡）．2．（2022?涼州區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD＝BA．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法），作∠ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E；（2）F為CD中點(diǎn)，連接EF，直接寫出線段EF和AC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．3．（2017秋?重慶月考）尺規(guī)作圖：如圖，某區(qū)擬在新竣工的四邊形廣場(chǎng)的內(nèi)部修建一個(gè)音樂噴泉M，現(xiàn)設(shè)計(jì)要求音樂噴泉M到廣場(chǎng)的兩個(gè)入口A、B的距離相等，且到自行車道AD、步行棧道DC的距離也相等，請(qǐng)?jiān)趫D中找出M的位置．（不寫已知、求作、作法，保留作圖痕跡）類型二無刻度作圖4．（2021?前郭縣三模）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)均為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．（1）在圖①中，作線段AB的垂直平分線；（2）在圖②中，作∠ABC的平分線．5．（2021?江西模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請(qǐng)僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中，作△ABC的高AM．（2）在圖2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)）6．（2023春?撫州期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，G，P，Q均在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無刻度直尺按下面要求作圖．（1）在圖1中，以D為頂點(diǎn)，作∠EDF＝∠ABC；（2）在圖2中，作△GPQ的對(duì)稱軸GH．

類型三網(wǎng)格作圖或畫圖7．（2023春?農(nóng)安縣期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC．（1）畫△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形（不寫畫法）；（2）若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積．（3）在直線MN上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小．8．（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2）．請(qǐng)按要求分別完成下列各小題：（1）把△ABC向下平移6個(gè)單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）畫出A1B1C1關(guān)于y軸對(duì)稱的△A2B2C2；（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使得它到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離和最?。ú灰髮懽鞣ǎ?/p>

9．（2023春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)月考）按要求完成作圖：（1）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）在x軸上畫出點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最小；（3）判斷△ABC的形狀，并說明理由．10．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中完成下列問題：（1）如圖①，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF為軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)用所學(xué)軸對(duì)稱的知識(shí)作出△ABC與△DEF的對(duì)稱軸l；（2）如圖②，請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱的圖形△A'B'C'；（3）在直線MN上找一點(diǎn)E，使BE+CE最?。?/p>

類型四坐標(biāo)系里畫圖11．（2022秋?西青區(qū)期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣4，3），C（﹣5，2）（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，其中，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1，并寫出△ABC上任意一點(diǎn)D（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)D1的坐標(biāo)．（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)畫出△ABC關(guān)于關(guān)于直線m（直線m上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為﹣1）對(duì)稱的△A2B2C2，其中，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2，B2，C2．類型五最短路徑問題12．（2023春?小店區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC＝4，△ABC面積為10，則BM+MD長(zhǎng)度的最小值為（）A．52 B．3 C．4 13．如圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路中間有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，請(qǐng)你設(shè)置一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使油車從油庫(kù)出發(fā)，經(jīng)過一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短．14．如圖所示，某條護(hù)城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5m，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒箯腁到B的路程最短，請(qǐng)確定兩座橋的位置．類型六作圖與計(jì)算或說理的綜合15．（2022秋?潛江期末）如圖，若△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝5，∠BCD＝15°，P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA﹣PB|的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．616．（2023春?競(jìng)秀區(qū)期末）如圖，△ABC，（1）在△ABC中，按要求完成尺規(guī)作圖；①求作BC邊上一點(diǎn)D，使∠BAD＝∠DAC；②已知點(diǎn)A，C關(guān)于直線l對(duì)稱，求作直線l，交AD于點(diǎn)G；③連接GC；（要求：在答題紙上作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；鉛筆完成作圖后，用黑色水筆描畫，以保證閱卷掃描清晰）（2）（1）中得到的圖形中；①若∠B＝45°，∠BCA＝55°，求∠AGC的度數(shù)；②若∠B＝α，∠BCA＝β，則∠AGC＝．17．（2023春?連城縣期末）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點(diǎn)，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．（1）將△ABC沿直線l翻折得到△A′BC，用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A′BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）連接A′D，則直線A′D與l的位置關(guān)系是，并證明你的結(jié)論．18．（2023?龍巖模擬）如圖，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．（1）求作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下連接AE，BE，求證：∠AEB+∠C＝180°．

專題8幾何作圖題與最短路徑問題（解析版）類型一尺規(guī)作圖1．（2022秋?鎮(zhèn)原縣期中）已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h，如圖所示，利用尺規(guī)作圖，求作這個(gè)等腰三角形（不寫作法，保留作圖痕跡）．【思路引領(lǐng)】根據(jù)題目要求畫出線段a、h，再畫△ABC，使AB＝a，△ABC的高為h；首先畫一條射線，再畫垂線，然后截取高，再畫腰即可．【解答】解：作圖：①畫射線AE，在射線上截取AB＝a，②作AB的垂直平分線，垂足為O，再截取CO＝h，③再連接AC、CB，△ABC即為所求．【總結(jié)提升】此題主要考查了復(fù)雜作圖，掌握垂線的畫法，熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作是解決此類題目的關(guān)鍵．2．（2022?涼州區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD＝BA．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法），作∠ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E；（2）F為CD中點(diǎn)，連接EF，直接寫出線段EF和AC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）利用基本作圖作∠ABC的平分線即可；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE＝DE，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DF＝CF，則可判斷EF是△ADC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到EF與AC的關(guān)系．【解答】解：（1）如圖，BE為所作；（2）∴EF=12AC，EF∥理由如下：∵BD＝BA，BE是∠ABC的平分線，∴AE＝DE，∵M(jìn)F是DC垂直平分線，∴DF＝CF，∴EF是△ADC的中位線，∴EF=12AC，EF∥【總結(jié)提升】本題考查了作圖﹣基本作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)．3．（2017秋?重慶月考）尺規(guī)作圖：如圖，某區(qū)擬在新竣工的四邊形廣場(chǎng)的內(nèi)部修建一個(gè)音樂噴泉M，現(xiàn)設(shè)計(jì)要求音樂噴泉M到廣場(chǎng)的兩個(gè)入口A、B的距離相等，且到自行車道AD、步行棧道DC的距離也相等，請(qǐng)?jiān)趫D中找出M的位置．（不寫已知、求作、作法，保留作圖痕跡）【思路引領(lǐng)】作線段AB的垂直平分線EF，作∠ADC的平分線DO，射線OD交EF于M，點(diǎn)M即為所求．【解答】解：如圖點(diǎn)M即為所求．【總結(jié)提升】本題考查角平分線及線段垂直平分線的基本作圖；掌握基本作圖的作法是解決本題的關(guān)鍵．類型二無刻度作圖4．（2021?前郭縣三模）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)均為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．（1）在圖①中，作線段AB的垂直平分線；（2）在圖②中，作∠ABC的平分線．【思路引領(lǐng)】（1）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF即可．（2）連接AC，取AC的中點(diǎn)P，作射線AP即可．【解答】解：（1）如圖，直線EF即為所求作．（2）如圖，思想BP即為所求作．【總結(jié)提升】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．5．（2021?江西模擬）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請(qǐng)僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中，作△ABC的高AM．（2）在圖2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)）【思路引領(lǐng)】（1）取格點(diǎn)T，連接AT交BC于M，線段AM即為所求作．（2）取格點(diǎn)R，點(diǎn)Q，連接CQ，BR交于點(diǎn)I，連接AI，延長(zhǎng)AI交BC于N，線段AN即為所求作．【解答】解：（1）如圖，線段AM即為所求作．（2）如圖，線段AN即為所求作．【總結(jié)提升】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2023春?撫州期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，G，P，Q均在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無刻度直尺按下面要求作圖．（1）在圖1中，以D為頂點(diǎn)，作∠EDF＝∠ABC；（2）在圖2中，作△GPQ的對(duì)稱軸GH．【思路引領(lǐng)】（1）把線段AB向右平移5個(gè)單位得到DF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)；把線段BC平移到DE的位置，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E點(diǎn)，則∠DEF滿足條件；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)作出PQ的中點(diǎn)H，則直線GH滿足條件．【解答】解：（1）如圖，∠EDF為所作；（2）如圖，GH為所作．【總結(jié)提升】本題考查了作圖﹣平移變換：作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．類型三網(wǎng)格作圖或畫圖7．（2023春?農(nóng)安縣期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC．（1）畫△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形（不寫畫法）；（2）若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積．（3）在直線MN上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可畫△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形；（2）根據(jù)網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，即可求△ABC的面積；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可在直線MN上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求；（2）△ABC的面積＝4×5?12×1×4?（3）如圖，點(diǎn)P即為所求．【總結(jié)提升】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．8．（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2）．請(qǐng)按要求分別完成下列各小題：（1）把△ABC向下平移6個(gè)單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）畫出A1B1C1關(guān)于y軸對(duì)稱的△A2B2C2；（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使得它到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離和最?。ú灰髮懽鞣ǎ舅悸芬I(lǐng)】（1）依據(jù)平移的方向和距離，即可得到△A1B1C1，即可得出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（2）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可得到△A2B2C2，進(jìn)而得出點(diǎn)C2的坐標(biāo)；（3）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，與y軸交點(diǎn)即為點(diǎn)P，依據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，即可得到點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離和最小．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求，點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離和最小．【總結(jié)提升】此題主要考查了平移變換以及軸對(duì)稱變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．9．（2023春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)月考）按要求完成作圖：（1）作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）在x軸上畫出點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最?。唬?）判斷△ABC的形狀，并說明理由．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（2）連接A1C，交x軸于點(diǎn)Q，連接AQ，此時(shí)AQ+CQ的值最小，即△QAC的周長(zhǎng)最小．（3）利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求.（2）如圖，點(diǎn)Q即為所求．（3）△ABC為等腰直角三角形．理由：由勾股定理得，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝32+12＝10，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形．【總結(jié)提升】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}、勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．10．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中完成下列問題：（1）如圖①，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF為軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)用所學(xué)軸對(duì)稱的知識(shí)作出△ABC與△DEF的對(duì)稱軸l；（2）如圖②，請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱的圖形△A'B'C'；（3）在直線MN上找一點(diǎn)E，使BE+CE最?。舅悸芬I(lǐng)】（1）連接AD，作線段AD的垂直平分線即可．（2）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．（3）連接BC′交直線MN于E，連接EC，此時(shí)EC+EB的值最?。窘獯稹拷猓海?）如圖直線l即為所求．（2）如圖△A'B'C'即為所求．（3）如圖點(diǎn)E即為所求．【總結(jié)提升】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．類型四坐標(biāo)系里畫圖11．（2022秋?西青區(qū)期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣4，3），C（﹣5，2）（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，其中，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1，并寫出△ABC上任意一點(diǎn)D（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)D1的坐標(biāo)．（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)畫出△ABC關(guān)于關(guān)于直線m（直線m上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為﹣1）對(duì)稱的△A2B2C2，其中，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2，B2，C2．【思路引領(lǐng)】（Ⅰ）根據(jù)軸對(duì)稱的定義分別作出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可得；（Ⅱ）根據(jù)軸對(duì)稱的定義分別作出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可得．【解答】解：（Ⅰ）如圖所示，△A1B1C1即為所求，任意一點(diǎn)D（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（﹣x，y）；（Ⅱ）如圖所示，△A2B2C2即為所求．【總結(jié)提升】本題主要考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．類型五最短路徑問題12．（2023春?小店區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC＝4，△ABC面積為10，則BM+MD長(zhǎng)度的最小值為（）A．52 B．3 C．4 【思路引領(lǐng)】連接AD，交直線EF于點(diǎn)N，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，BM+MD長(zhǎng)度最小，最小值即為AD的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件求出AD即可．【解答】解：連接AD，交直線EF于點(diǎn)N，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，由題意得，直線EF為線段AB的垂直平分線，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，BM+MD長(zhǎng)度最小，最小值即為AD的長(zhǎng)．∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面積為10，∴12解得AD＝5．故選：D．【總結(jié)提升】本題考查作圖﹣基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}是解答本題的關(guān)鍵．13．如圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路中間有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，請(qǐng)你設(shè)置一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使油車從油庫(kù)出發(fā)，經(jīng)過一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短．【思路引領(lǐng)】利用關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出P點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)P′，以及P點(diǎn)關(guān)于BO的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P′P″得出即可．【解答】解：如圖所示：C、D點(diǎn)即為所求．【總結(jié)提升】此題主要考查了應(yīng)用作圖與設(shè)計(jì)，利用關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．14．如圖所示，某條護(hù)城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5m，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒箯腁到B的路程最短，請(qǐng)確定兩座橋的位置．【思路引領(lǐng)】由于含有固定線段“橋”，導(dǎo)致不能將ADD′E′EB通過軸對(duì)稱直接轉(zhuǎn)化為線段，需要構(gòu)造平行四邊形將AD、BE平移至D′F、E′B'，即可得到橋所在位置．【解答】解：如圖，作AF⊥CM，作BB'⊥CN，截取AF＝BB'＝5m，連接B'F交兩河岸為D'，E'，作D'D⊥CM于D，作E'E⊥CN于E，連接AD，BE，則折線ADD′E′EB的長(zhǎng)度等于折線AFD′E′B′B的長(zhǎng)度，等于折線FD′E′B′的長(zhǎng)度+AF+BB′．而折線FD′E′B′以線段FB′最短，∴確定兩座橋的位置是線段DD'和BB'．【總結(jié)提升】此題考查了軸對(duì)稱﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，由于有固定長(zhǎng)度的線段，常用的方法是構(gòu)造平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答．類型六作圖與計(jì)算或說理的綜合15．（2022秋?潛江期末）如圖，若△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝5，∠BCD＝15°，P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA﹣PB|的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路引領(lǐng)】作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA﹣PB|的值最大的點(diǎn)，|PA﹣PB|＝A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACD＝75°，于是得到∠CAA′＝15°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，推出△A′BC是腰三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA﹣PB|的值最大的點(diǎn)，|PA﹣PB|＝A′B，連接A′C，∵△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°，∴∠CAA′＝15°，∵AC＝A′C，∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，∴∠ACA′＝150°，∵∠ACB＝90°，∴∠A′CB＝60°，∴△A′BC是等邊三角形，∴A′B＝BC＝5．故選：C．【總結(jié)提升】此題主要考查軸對(duì)稱﹣﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?競(jìng)秀區(qū)期末）如圖，△ABC，（1）在△ABC中，按要求完成尺規(guī)作圖；①求作BC邊上一點(diǎn)D，使∠BAD＝∠DAC；②已知點(diǎn)A，C關(guān)于直線l對(duì)稱，求作直線l，交AD于點(diǎn)G；③連接GC；（要求：在答題紙上作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；鉛筆完成作圖后，用黑色水筆描畫，以保證閱卷掃描清晰）（2）（1）中得到的圖形中；①若∠B＝45°，∠BCA＝55°，求∠AGC的度數(shù)；②若∠B＝α，∠BCA＝β，則∠AGC＝α+β．【思路引領(lǐng)】（1）①作∠BAC的角平分線交BC于D，D即為所求；②作AC的垂直平分線即可；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)求解；②根據(jù)三角形的內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）如下圖：①點(diǎn)D即為所求；②直線l即為所求；（2）①∵∠B＝45°，∠BCA＝55°，∴∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∵點(diǎn)A，C關(guān)于直線l對(duì)稱，∴AG＝CG，∴∠GAC＝∠ACG＝40°，∴∠AGC＝100°；②∵∠B＝α，∠BCA＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β∴∠BAD＝∠DAC＝90°?12（α+∵點(diǎn)A，C關(guān)于