第5章-數字控制器離散直接設計方法

第五章數字控制器離散直接設計方法第一節(jié)脈沖傳遞函數解析設計原理第二節(jié)最少拍控制系統(tǒng)設計第三節(jié)純滯后對象的控制算法——史密斯預估器

第四節(jié)純滯后對象的控制算法——大林算法第五節(jié)數字控制器的程序實現

解析設計方法是一種直接在z域中設計方法，其基本思想是依據給定的控制環(huán)的系統(tǒng)結構，由系統(tǒng)的指標要求及實現的約束條件確定期望閉環(huán)z傳遞函數，通過代數方法求出所設計控制器的z傳遞函數第一節(jié)脈沖傳遞函數解析設計原理圖5.2典型計算機控制系統(tǒng)結構圖一、數字控制器D(z)的一般形式零階保持器的傳遞函數為：廣義被控對象的脈沖傳遞函數為：求出開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為：誤差的脈沖傳遞函數為：又求出數字控制器的脈沖傳遞函數為：二

在物理上的可實現性所謂數字控制器

的物理可實現，即要求數字控制器算法中不允許出現對未來時刻的信息的要求，反映在z傳遞函數上，即

的無窮級數展開式不能出現z的正冪次項，表現為分子階次必然要低于或等于分母階次。設被控對象具有

個采樣周期純滯后，純滯后脈沖傳遞函數為

，其脈沖傳遞函數為：設期望閉環(huán)傳遞函數為：

式(5-10)代入(5-9)得：(5-9)(5-10)將式(5-8)代入式(5-7)若

物理可實現，

中不能包含超前因子

，所以應滿足下式：因此，期望閉環(huán)

z的傳遞函數為：即期望閉環(huán)傳遞函數

與廣義對象

具有同樣的滯后。（5-12）三

閉環(huán)穩(wěn)定性要求為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，

的零點應包括

所有不穩(wěn)定的極點，而

應包括

的所有不穩(wěn)定的零點。因此能夠設

為下式為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，可建立(5-15)式，并能推導出(5-16)式。(5-15)(5-16)四

離散直接設計一般步驟離散化設計是把計算機控制系統(tǒng)近似看作離散系統(tǒng)，所用的數學工具是差分方程和z變換，完全采用離散控制系統(tǒng)理論進行分析，直接設計數字控制器。(1)根據式(5-2)求出帶零階保持器的廣義被控對象的脈沖傳遞函數

。(2)根據系統(tǒng)的性能指標要求和其它約束條件，確定閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數

。(3)根據式(5-7)求出數字控制器的脈沖傳遞函數

。(4)利用仿真軟件，對求出的數字控制器

進行校驗，若達到設計要求，進行下一個步驟，否則進行再設計。(5)根據數字控制器的脈沖傳遞函數

，求出差分方程，編寫控制程序。(6)接入硬件，進行系統(tǒng)調試。（1）單位階躍輸入：（2）單位速度輸入：（3）單位加速度輸入：它們都可以表示為：(5-17)式中，是不包括的多項式。為正整數，對于不同的輸入，只是不同而已，一般只討論的情況。自動控制系統(tǒng)中，有三種典型的輸入形式，其表示形式為：第二節(jié)最少拍控制系統(tǒng)設計

所謂最少拍控制，就是要求設計的數字調節(jié)器能使閉環(huán)系統(tǒng)在典型輸入作用下，具有最快的響應速度，能在有限采樣周期內達到采樣點上無穩(wěn)態(tài)誤差或無靜態(tài)誤差。最少拍系統(tǒng)是建立在時間最優(yōu)控制的基礎上，因此也叫最快響應系統(tǒng)一最少拍無差系統(tǒng)最少拍無差控制器的設計任務就是根據式(5-7)求出數字控制器的脈沖傳遞函數

，使閉環(huán)系統(tǒng)在特定的典型輸入作用下，以最少拍結束響應過程，并在采樣時刻系統(tǒng)不存在穩(wěn)態(tài)誤差，輸出能夠準確地跟蹤輸入。因此最少拍無差系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數形式為：（1）調節(jié)時間最短，即系統(tǒng)跟蹤輸入信號所需的采樣周期數最少；（2）在采樣點處無靜差，即對特定的參考輸入信號，在達到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)在采樣點能精確實現對輸入信號的跟蹤；（3）設計出來的數字控制器必須是物理上可以實現的；（4）閉環(huán)系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。對最小拍控制系統(tǒng)設計的要求是：一

最少拍無差系統(tǒng)二最小拍閉環(huán)脈沖傳遞函數的確定

最小拍控制系統(tǒng)的設計要求是對特定的參考輸入信號，在系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)在采樣點處靜差為零。根據此約束條件可以構造出系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數。典型計算機控制系統(tǒng)結構圖如圖5.2所示。圖5.2典型計算機控制系統(tǒng)結構圖由式（5-5）和式（5-6），得(5-19)利用Z變換的終值定理可以求出穩(wěn)態(tài)誤差為(5-20)由于不包括的因子，因此穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件是含有，則可為下列形式（5-21）式中為的有限多項式，即

由最小拍控制系統(tǒng)的時間最短約束條件來確定的形式。當?。?，不僅可以簡化數字控制器，降低控制器階數,而且還可以使的項數最少，調節(jié)時間最短。由式（5-21）得為（5-23）

對于三種典型輸入信號下，最小拍控制系統(tǒng)的和匯總于表5-1中。三最小拍控制器的設計的確定1、廣義對象的脈沖傳遞函數:數字控制器零階保持器被控對象2、系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數為：3、誤差E(z)的脈沖傳遞函數為：4、數字控制器的脈沖傳遞函數為：

時間序列脈沖傳遞函數

單位階躍輸入

單位速度輸入單位加速度輸入

通式

典型的輸入形式:A(z)是不包括(1-z-1)因子的關于z-1的多項式

F(z)是不包含零點z=1的z-1的多項式根據z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)取F(z)=1，M=m討論：不同的輸入最少拍系統(tǒng)的調整時間？則有：單位階躍輸入：單位速度輸入：單位加速度輸入：單位階躍輸入時：系統(tǒng)經過T，系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)經過2T，系統(tǒng)穩(wěn)定單位速度輸入時：單位加速度輸入時：系統(tǒng)經過3T，系統(tǒng)穩(wěn)定1、對應于三種不同典型輸入，系統(tǒng)分別經過T，2T，3T

系統(tǒng)達到穩(wěn)定，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。2、對應于不同的典型輸入，為了得到最少拍響應，應選擇合適的Φe(z)。3、對應于典型輸入，選定Φe(z)后，可根據G(z)得到D(z)。

結論表5.1三種典型輸入下的理想最少拍無差系統(tǒng)

例5.1設最小拍控制系統(tǒng)如圖5.2所示，被控對象的傳遞函數,采樣周期，采用零階保持器，試設計在單位速度輸入時的最小拍控制器。解：根據圖5.2可求出系統(tǒng)廣義被控對象脈沖傳遞函數

將代入，有

根據題意，輸入信號為單位速度輸入，即，則有：

代入式（5-7）求出最小拍控制器為下面對設計出來的最小拍控制器進行分析與校驗。系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數為當輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)輸出序列的變換為

即輸出響應如圖5.3所示。從圖中可以看出，當系統(tǒng)為單位速度輸入時，經過兩拍以后，輸出量完全等于輸入采樣值，即。但在各采樣點之間還存在著一定的誤差，即存在著一定的波紋。

圖5.3單位速度輸入時最小拍控制系統(tǒng)輸出響應曲線圖第三節(jié)純滯后補償控制算法-史密斯預估器具有純滯后特性的對象屬于比較難于控制的一類對象，對其控制需采用特殊處理方法。一般來說，對于控制這類對象，快速性要求是次要的，調整時間允許較多的采樣周期，而對穩(wěn)定性、不產生超調的要求是主要的?；诖?，人們提出了許多設計方法，比較有代表性的方法有純滯后補償控制——史密斯(Smith)預估和大林(Dahlin)算法。一、純滯后對系統(tǒng)控制品質的影響常規(guī)控制系統(tǒng)的結構框圖如圖5.4所示。被控對象含有純滯后特性，其傳遞函數為式中，為被控對象不含純滯后特性的傳遞函數。圖5.4有純滯后的常規(guī)反饋控制結構圖一、純滯后對系統(tǒng)品質的影響

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數（不考慮擾動時）為（5-27）

系統(tǒng)的特征方程為（5-28）

這是一個復變數的超越方程，方程的根也就是系統(tǒng)閉環(huán)特征根，將受到純滯后時間的影響。通過對系統(tǒng)的頻域分析可知，的增加不利于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使閉環(huán)系統(tǒng)的控制品質下降。因此，在進行控制系統(tǒng)設計時，為了提高系統(tǒng)的控制品質，應設法努力減小處于閉環(huán)回路中的純滯后。除了選擇合適的被控變量來減小對象的純滯后外，在控制方案上，也應該采用各種補償的方法來減小或補償純滯后造成的不利影響。二、史密斯補償控制原理Smith預估補償控制是克服純滯后的一個有效的控制方法，其思想是根據系統(tǒng)的動態(tài)特性建立一個模型加入到反饋控制系統(tǒng)中，使延遲時間的被控量提前反映到控制器，從而減少超調量和加快控制過程。根據這個控制思想，控制器D(s)聯接一個補償環(huán)節(jié)，用來補償被控對象中的純滯后部分，這個補償環(huán)節(jié)稱為預估器，其傳遞函數為，由Smith預估器和控制器組成的補償回路稱為純滯后補償器，其傳遞函數為由Smith預估器和控制器組成的補償回路稱為純滯后補償器，其傳遞函數為。補償后系統(tǒng)框圖如圖5.5所示，圖5.6為其轉換后的等效形式。圖5.5Smith預估器控制系統(tǒng)結構圖

實際工程上設計Smith預估器時，將其并聯在控制器上，對圖5.5作方框圖等效變換，得到圖5.6所示的形式。

圖5.6Smith預估器控制系統(tǒng)等效圖

圖中虛線部分是帶純滯后補償控制的控制器，其傳遞函數為

(5-29)

經過純滯后補償控制后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為

(5-30)

由式(5-30)可見，帶純滯后補償的閉環(huán)系統(tǒng)與圖5.4所示的理想結構是一致的，其特征方程為：。純滯后環(huán)節(jié)已經不出現在特征方程中，故不再影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分子中的并不影響系統(tǒng)輸出量的響應曲線和系統(tǒng)的其他性能指標，只是把控制過程推遲了時間。換句話說，純滯后補償控制系統(tǒng)在單位階躍輸入時，輸出量的響應曲線和系統(tǒng)的其他性能指標與控制對象不含純滯后特性時完全相同，只是在時間軸上滯后，閉環(huán)系統(tǒng)輸出特性如圖5.7所示。

圖5.7閉環(huán)系統(tǒng)輸出特性示意圖三、史密斯補償器的計算機實現

帶有純滯后Smith補償器的計算機控制系統(tǒng)如圖5.8所示。圖5.8純滯后補償計算機控制系統(tǒng)結構圖

圖中為數字PID控制器；Smith補償器與對象特性有關；為被控對象傳遞函數中不包含純滯后環(huán)節(jié)的部分。

下面以一階慣性純滯后對象為例，說明Smith純滯后補償器的計算機實現過程。設被控對象的傳遞函數為式中Smith補償器為：（5-32）離散化處理為：（5-33）式中，，，（取整數）。

為了便于說明Smith補償器的計算機實現過程，將圖中5.8的虛框部分變換為圖5.9所示形式。圖5.9Smith補償器計算機實現結構圖由圖5.9有（5-34）為了便于計算機實現，由式（5-33），令可得到Smith補償器的差分方程為（5-35）由式（5-35）可見，Smith補償器的差分方程中有項。

那么如何用計算機產生該純滯后信號，對純滯后補償控制的計算機實現是至關重要。

下面介紹一種在計算機控制系統(tǒng)中常用的產生純滯后信號的方法，即存儲單元法。

為了形成純滯后步的信號，需在內存中開辟個存儲單元，用來存儲的歷史數據

用上述方法產生純滯后信號后，由式（5-35）即可求出。Smith補償控制算法的實現步驟為：（1）計算偏差（2）計算控制器輸出式中，，，（取整數）。式中，為比例系數；為積分系數；為微分系數。第四節(jié)純滯后對象的控制算法——大林算法

大林算法的目標是設計一個合適的數字調節(jié)器D(z)，使整個系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數相當于一個帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，而且要求閉環(huán)系統(tǒng)的純滯后時間等于被控對象的純滯后時間。大林算法方法比較簡單，只要能設計出合適的且可以物理實現的數字調節(jié)器D(z)，就能夠有效地克服純滯后的不利影響，因而在工業(yè)生產中得到了廣泛應用。但它的缺點是設計中存在振鈴現象，且與Smith算法一樣，需要一個準確的過程數字模型，當模型誤差較大時，控制質量將大大惡化，甚至系統(tǒng)會變得不穩(wěn)定。第三節(jié)大林控制算法

按照計算機控制系統(tǒng)直接化設計方法，Dahlin算法根據純滯后系統(tǒng)的主要控制要求，將期望的閉環(huán)脈沖傳遞函數設計為一個帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，且純滯后時間與被控對象的純滯后時間相同。Dahlin算法的設計目標是設計一個合適的數字控制器，使整個閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數相當于一個一階慣性純滯后環(huán)節(jié)，即式中，為被控對象的純滯后時間，。為簡單起見，設為采樣周期的整數倍，即為正整數。為期望閉環(huán)傳遞函數的時間常數，其值由設計者用試湊法給出。一大林算法基本原理大林算法的設計目標是將整個系統(tǒng)的傳遞函數設計為具有一階慣性加純滯后環(huán)節(jié)形式，其中純滯后時間與被控過程的純滯后時間相等或近似相等，即將期望閉環(huán)傳遞函數設計為如果采用計算機控制，需要加入零階保持器，此時期望閉環(huán)傳遞函數可離散化為：則可導出數字控制器的z傳遞函數如式(5-40)所示(5-40)(5-38)(5-39)1．含純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)的控制形式帶純滯后的一階被控對象的傳遞函數為廣義被控對象的脈沖傳遞函數為將式(5-41)代入式(5-38)，得(5-36)(5-41)(5-42)二大林算法數字控制器的基本形式2．含純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)的控制器形式帶有純滯后特性的二階被控對象的傳遞函數為廣義被控對象的脈沖傳遞函數為式中，(5-43)得(5-44)例5.2已知被控對象的傳遞函數采樣周期試用大林算法設計數字控制器，并分析其輸出響應和控制器的輸出序列采樣周期解：根據系統(tǒng)的性能指標選擇閉環(huán)系統(tǒng)的時間常數被控對象的滯后時間為2.4s，它不是T采樣周期的整數倍，必須利用擴展z變換求廣義被控對象的脈沖傳遞函數。據大林算法，閉環(huán)系統(tǒng)的滯后時間也應該為2.4s，但為了簡化運算，取純滯后時間為2s，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數為：

其脈沖傳遞函數為：數字控制器的脈沖傳遞函數為：當輸入信號為單位階躍時，系統(tǒng)的輸出為：數字控制器的控制量輸出為

圖5.10系統(tǒng)輸出波形圖5.11控制量輸出波形由以上輸出序列與控制序列可見，輸出采樣值是呈慣性平滑上升的，但控制量出現大幅振蕩，如5.10所示，這種控制量以二分之一采樣頻率大幅度衰減的振蕩現象稱為振鈴。三、振鈴現象及消除方法

數字控制器的輸出以接近二分之一的采樣頻率大幅度上下擺動，這稱為振鈴現象。它對系統(tǒng)的輸出幾乎是沒有影響的，但會使執(zhí)行機構因磨損而造成損壞。在有交互作用的多參數控制系統(tǒng)中，振鈴現象還有可能影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以在系統(tǒng)設計中，應該設法消除振鈴現象。1．振鈴現象分析

振鈴現象與被控對象的特性、閉環(huán)時間常數、采樣周期、純滯后時間的大小等有關。

在計算機控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出和數字控制器的輸出之間的關系為系統(tǒng)輸出與閉環(huán)系統(tǒng)的輸入的關系為可以得出

它描述了數字控制器的輸出與閉環(huán)系統(tǒng)的輸入之間的關系，可進一步寫作

表示的是數字控制器的輸出與閉環(huán)系統(tǒng)輸入之間的關系，它是分析振鈴的基礎。有

由分析可知，產生振鈴現象的原因是數字控制器在Z平面上附近有極點。當時，振鈴現象最嚴重，在單位圓內離越遠，振鈴現象越弱。

用振鈴幅度來衡量振鈴程度的強弱。它的定義是，在單位階躍輸入作用下，數字控制器的第0次輸出減去第1次輸出所得的差值，即3．振鈴現象的消除假設寫成如下形式：在單位階躍輸入時，數字控制器的輸出為由上式可見根據振鈴幅度定義，有當

時，系統(tǒng)不會產生振鈴現象；

時，系統(tǒng)產生振鈴現象，其值越大，振鈴幅度就越大。由以上分析可得到一種消除振鈴極點的可能方法，即在控制器設計時，通過合理選取采樣周期，避免在

中出現可能引起振鈴的零點。大林提出一種更為簡單的修正設計方法。先找出造成振鈴現象的極點因子，令其中z=1，這樣便消除了這個造成振鈴的極點。根據終值定理，這樣的處理不會影響輸出的穩(wěn)態(tài)值，卻可改善系統(tǒng)動態(tài)性能，即消除了振鈴現象。例5-2中，按照大林算法設計的數字控制器的脈沖傳遞函數為：其中極點

在負實軸上，會產生振鈴現象，可用上面的方法消除振鈴現象。令因子

中的，代入

，得這樣數字控制器的控制量輸出為：可以看出，控制量序列朝一個方向衰減，不再以二分之一的采樣頻率振蕩，因此消除了振鈴現象。四、大林算法的設計步驟

（1）根據系統(tǒng)性能要求，確定期望閉環(huán)系統(tǒng)的參數，給出振鈴幅度的指標。

（2）根據振鈴幅度的要求，確定采樣周期，如果有多解，則選擇較大的。（3）確定整數。

（4）求廣義對象的脈沖傳遞函數及期望閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。

（5）求數字控制器的脈沖傳遞函數。

（6）將變換為差分方程，以便于計算機編寫相應算法程序。例

5.3已知某控制系統(tǒng)被控對象的傳遞函數為

。試用大林算法設計數字控制器D(z)。設采樣周期為T=0.5s，并討論該系統(tǒng)是否會發(fā)生振鈴現象。如果振鈴現象出現，如何消除。解：由題可知,當被控對象與零階保持器相連時，系統(tǒng)的廣義對象的傳遞函數為于是，可求出廣義對象的數字脈沖傳遞函數為大林算法的設計目標是使整個閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數相當于一個帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)。據此可設

，可得

由上式可知，

有三個極點：

，根據前邊的討論z=1處的極點不會引起振鈴現象，引起振鈴現象的極點為

依據前述討論，要想消除振鈴現象，應去掉分母中的因子

即令

，代入上式即可消除振鈴現象。

這樣，無振鈴時，數字控制器的脈沖傳遞函數

為

第五節(jié)、數字控制器的程序實現數字控制器的設計方法要變成在計算機上實現則需要編制算法程序。若狀態(tài)空間形式表示

對應的差分方程時，數字控制器的狀態(tài)空間方程可直接在計算機上編程。若以Z的脈沖傳遞函數表示

時，數字控制器

都是由軟件來實現的。軟件實現包括三種方法：直接程序法、串行程序法和并行程序法。一.直接程序設計法所謂直接程序法，是指將

離散化的差分方程不做任何變化，直接編制軟件的方法。直接編排結構就是按高階傳遞函數分子、分母多項式系數進行編程實現。數字控制器

通常可表示為(5-52)(5-53)為使計算機實現方便，把式(5-53)進行z反變換，