南陽某中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二章函數(shù)學(xué)案和課時作業(yè)

§1生活中的變量關(guān)系

§2.1函數(shù)概念

教學(xué)目標(biāo)：

通過實(shí)例，了解依賴關(guān)系中有的是函數(shù)關(guān)系，有的則不是函數(shù)關(guān)系；使學(xué)生掌握函

數(shù)、定義域、值域、開區(qū)間、閉區(qū)間等概念，會求一個函數(shù)的定義域和值域，會根據(jù)定

義域和對應(yīng)法則判定函數(shù)的相等關(guān)系

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：理解函數(shù)思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù).

難點(diǎn)：符號“y=/2”的含義

教學(xué)過程：

一、導(dǎo)學(xué)探究

我們對函數(shù)的概念并不陌生，初中開始就學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、

\,x&Q

反比例函數(shù)等等。那么，y=l,旌R是函數(shù)嗎？y=是函數(shù)嗎？

問題一：依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系有什么聯(lián)系與區(qū)別？

對實(shí)例3,儲油量V對油面高度h、油面寬度W都存在依賴關(guān)系，兩種依賴關(guān)系都有

函數(shù)關(guān)系嗎？

1.生活中變量及變量之間的依賴關(guān)系隨處可見，并非有依賴關(guān)系的兩個變量都有函

數(shù)關(guān)系；確定變量的依賴關(guān)系，需分清誰是自變量，誰是因變量，如果一個變量隨著另

一個變量的變化而變化，那么這個變量是因變量，另一個變量是自變量.

2.對于同一液面大小，可以有兩種不同的儲油量.所以儲油量v與油面寬度w雖然

存在依賴關(guān)系，但儲油量V卻不是油面寬度W的函數(shù).而對于每一個油面高度，都有一

個唯一的儲油量與之相對應(yīng)，所以儲油量V是油面高度h的函數(shù).

由此我們可得：并非有依賴關(guān)系的兩個變量都有函數(shù)關(guān)系，只有滿足對于其中一個

變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應(yīng)時，才稱它們之間有函數(shù)關(guān)系.

問題二：能否用我們初中學(xué)過的函數(shù)定義來解釋上面式子中y與X的關(guān)系？

初中定義：在變化過程中，有兩個變量x和y,如果給定一個x值，就有唯一確定

的y值與之對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

解釋起來很勉強(qiáng)。說明這個定義已經(jīng)不能滿足我們的需求了。我們重新用集合的觀

點(diǎn)來定義函數(shù).

從集合的觀點(diǎn)出發(fā)，函數(shù)定義：

給定兩個非空數(shù)集A和B,如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f,對于A中的任何一個數(shù)

x,在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就把這種對應(yīng)關(guān)系f叫

做定義在A上的函數(shù)，記作f：AfB,或y=f(x),xGA.；

此時x叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域，集合｛f(x)IxWA｝叫作函數(shù)

的值域.習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù).

注：函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則

已知函數(shù)f：A-B,{函數(shù)的定義域}與集合A,{函數(shù)的值域}與集合B是什么關(guān)系？

問題三:f(x)與f(a)間關(guān)系是怎樣的？

f(x)既表示關(guān)于變量的函數(shù)，又可以表示自變量x對應(yīng)的函數(shù)值，是一個整體符號，

分開沒有意義；符號f可以看做是對()中的“X”施加的某種法則或運(yùn)算。當(dāng)a是變量時,

它們是同一個函數(shù)；當(dāng)a是常數(shù)時，f(a)表示自變量x=a對應(yīng)的函數(shù)值，是一個數(shù)值，一

個常量.

已知函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍.

問題四：f(x)=3x+l(xe/?)和g(t)=3t+l'eR)是同一個函數(shù)嗎？

它們表示同一個函數(shù)。兩個函數(shù)只要定義域相同、對應(yīng)法則相同，那么值域一定也

相同，這時稱它們是同一個函數(shù)。至于自變量和對應(yīng)法則用哪個符號來表示并沒有區(qū)別.

問題五：區(qū)間的概念？

設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù)，且a<b,我們規(guī)定：實(shí)數(shù)a與b都叫相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).

定義名稱符號數(shù)軸表示???

[xIaWxWb}閉區(qū)間[a,b]

ab

{x|a<x<b}開區(qū)間(a,b)

?二—

{x|aWxVb}左閉右開區(qū)間[a,b)ab

0-_k-

{x|aVxWb}左開右閉區(qū)間(a,b]ab

實(shí)數(shù)集R用區(qū)間表示為：(一8,+8),“8”讀作“無窮大”，“一8”讀作

“負(fù)無窮大”，“+8”讀作“正無窮大”.

[a,+°°),(a,+0°)

(—8,b],卻X<fc}一(—8,b).

二：典例剖析

例1.下列各式是否表示y是X的函數(shù)關(guān)系?如果是，寫出這個函數(shù)的解析式：

(l)5x+2y=1(%eR)(2)xy=-3(x0)

(3)J?=l(x6(-1,0))(4)X1H-j?=1(xeR)

例2.下列函數(shù)中哪個與函數(shù)丁=尤是同一個函數(shù)？

_______2

(1)(2)y=;(3)y=-\[^;(4)y=-—

.'"x

例3、已知函數(shù)f(x)=JX+3T———

x+2

(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f(―3),f(-)的值;

例4、(1)一次函數(shù)y=ax+b(aWO)的定義域和值域是什么？(R,R)

(2)二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)的定義域和值域是什么？(定義域是R)

4〃?！?〃。一人2

當(dāng)a>0時，值域B={y|y2}，當(dāng)aVO時,值域B={y|yW}

4〃4〃

對于R中的任意一個數(shù)x,在B中都有唯一的數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)和它對應(yīng)。

思考：反比例函數(shù)y=上的定義域、值域是什么？

x

三、總結(jié)升華

1.兩個變量之間的依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系

2.集合觀點(diǎn)下的函數(shù)概念

3.相同函數(shù)的概念

4.區(qū)間

5.常見函數(shù)的定義域和值域

四、鞏固拓展

、1,

1、已知f(x)=----(xeR,且xW—1),g(x)=r+2(X￡R)

x+1

(1)求f(2),g(2)的值；(2)求f(g(2))的值；(3)寫出y=f(g(x)),y=g(f(x))的表達(dá)式。

(4)分別求f(x+l),f(2x-5)的解析式和定義域。

1

答案：(1)一,6(2)一(3)y=+2

(x+1)2

(4)f(x+l)=—)—定義域f(2x-5)=—!——定義域

i+22x-4

反思：由(3),可講清楚對應(yīng)法則的作用對象和自變量的區(qū)別：

作用對象,是指對應(yīng)法則f后()內(nèi)的整體,f要對這個整體施加作用；對應(yīng)法則一旦確

定，其作用對象的取值范圍就不會再變；

自變量,就是指的x.

出現(xiàn)f(x)時，()內(nèi)正好是自變量x,所以此時自變量x的范圍就是作用對象的范圍;

但在f(x+l)、f(2x-5)中，作用對象分別是x+1、2x-5,就要求x+1、2x-5整體不等于T,

再據(jù)此求出相應(yīng)的x范圍，即為所求定義域。

已知函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍。

§2.2函數(shù)的表示法

教學(xué)目標(biāo):

1、理解函數(shù)的三種表示方法的區(qū)別與聯(lián)系；會熟練的運(yùn)用函數(shù)的三種表示方法來表

示函數(shù)；了解簡單的分段函數(shù)并能簡單應(yīng)用；會畫一些簡單函數(shù)、分段函數(shù)的圖像。

2、訓(xùn)練學(xué)生的作圖基本功，落實(shí)學(xué)生作圖的基本功練習(xí).

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法及應(yīng)用，分段函數(shù)

難點(diǎn)：分段函數(shù)的表示、圖像及應(yīng)用。

教學(xué)過程：

一、導(dǎo)學(xué)探究

我們初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的時候，我們已經(jīng)接觸到了函數(shù)的三

種表示方法，譬如：用列表、描點(diǎn)、連線的方法畫出函數(shù)與的圖像，其中的列

表，就可以類似的理解為列表法表示函數(shù)(當(dāng)然，有序?qū)崝?shù)對比較多，我們只是找一些

能表示函數(shù)基本規(guī)律的有序?qū)崝?shù)對列舉出來)；我們所畫出的圖像就是圖像法表示函

數(shù);為就是解析法來表示函數(shù).

問題一：常用的函數(shù)表示方法有哪些？這些方法各有什么特點(diǎn)？

列表法：列一個兩行多列的表格，第一行是自變量的取值，第二行是對應(yīng)的函數(shù)值,

這種用表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法；

圖象法：以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)

系中描出各個點(diǎn)，這些點(diǎn)構(gòu)成了函數(shù)的圖象，這種用圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的

方法叫做圖象法；

解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種表示方法叫做解析法，

這個數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做函數(shù)的解析式；

相比較而言，要表示出函數(shù)中兩個變量的關(guān)系，列表法比較直觀、準(zhǔn)確，能很快的

看出對應(yīng)值，如銀行利率表、列車時刻表；圖象法形象、直觀，能更直觀的看出圖像的

走勢，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢圖；解析式法則比較準(zhǔn)確、全面，容易研究變量之間的

關(guān)系，如我們熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)等等。注意:并非所有函數(shù)都能用解析法表示，

只有函數(shù)值隨自變量的變化發(fā)生有規(guī)律的變化時，這樣的函數(shù)才有解析式。

問題二、什么是分段函數(shù)？分段函數(shù)的定義域和值域是怎么確定的？

在定義域的不同部分，函數(shù)解析式不同的函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)不管分多少

段，都是一個函數(shù)，如果要做圖像，要在一個坐標(biāo)系下畫出每一段的圖像；它的定義域

是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。

三、典例剖析

例1.某種筆記本的單價是5元，買x(xG{l,2,3,4,5})個筆記本需要y元.試

用三種表示法表示函數(shù)y=f(x).

注意本例的設(shè)問，此處強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的本質(zhì)，是一種對應(yīng)關(guān)系，而不是單純指函數(shù)解

析式。它可以是解析表達(dá)式，可以是圖象，也可以是對應(yīng)值表.

注意：o函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注

意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；

?解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

@圖象法：是否連線；

⑷列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.

例2.先閱讀課本29頁例2,再畫出函數(shù)y=|2九-的圖像。

例3閱讀課本29頁例3,注意圖中各線段的特點(diǎn)，思考造成這種特點(diǎn)的原因.

分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，要寫成函數(shù)在不同的自變量范圍內(nèi)有

不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

例4：先閱讀課本30頁例4,再做根據(jù)下圖寫出函數(shù)解析式（圖是直線的一部分與拋物線

的一部分組成）

兒龍＜0

(x-l)2,x>0

注：已知函數(shù)圖像求函數(shù)解析式時，常用到待定系數(shù)法。

三、總結(jié)升華

1.函數(shù)的三種表示法

2.分段函數(shù)概念及圖像（畫分段函數(shù)圖像時，一定要注意每一段的端點(diǎn)是否可?。?/p>

3.三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換、（三種方法之間可以相互轉(zhuǎn)換，沒有哪種方法最好，只能具體問題

具體分析）

4.解析式中含有絕對值符號的函數(shù)圖像畫法（應(yīng)用題中求函數(shù)解析式，要讓自變量有實(shí)

際意義）

5.圖像法經(jīng)常用于求函數(shù)值域或求參數(shù)范圍.

四、鞏固拓展

1、已知函數(shù)＞^04^，作出函數(shù)圖象，觀察其值域.值域［-3,3］

2、若|內(nèi)聯(lián)自辛的解集是空集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍［3,M）

§2.3映射的概念

教學(xué)目標(biāo)：

了解映射的概念，掌握像、原像等概念及其簡單應(yīng)用。

學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫映射，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫映射概念中的作用。

教學(xué)重點(diǎn)：映射的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)與映射的關(guān)系。

教學(xué)過程

一、導(dǎo)學(xué)探究

日常生活中有很多種對應(yīng)關(guān)系

1、我們學(xué)校的每個同學(xué)都有一個他（她）所在的班級與之相對應(yīng)

2對任意實(shí)數(shù)a,都有一個非負(fù)實(shí)數(shù)作為它的平方與之相對應(yīng)

3坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)A都有唯一的有序數(shù)對（x,y）和它對應(yīng)

4班里每個同學(xué)都有唯一的一組數(shù)作為他（她）的學(xué)號

這些對應(yīng)關(guān)系和我們之前所學(xué)的函數(shù)有什么異同點(diǎn)？

問題1：什么是映射？概念中有哪些要點(diǎn)？

映射：兩個非空集合A與B存在某種對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中的任何一個元素x,

在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)

法則f）叫做集合A到集合B的映射記作：

1任意性：映射中的兩個集合A,B可以是數(shù)集、點(diǎn)集或由圖形組成的集合等；

2有序性：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射；

問題2：什么是像與原像？

像、原像：給定一個集合A到集合B的映射，且如果元素a和元素力

對應(yīng)，則元素a叫做原像，元素I叫做元素。的邃，記作

問題3：已知A與｛原像｝,B與｛像｝什么關(guān)系？

A=｛原像｝,Be｛像｝

問題4：映射與函數(shù)有什么異同？

函數(shù)中，A與B必須是非空數(shù)集，

映射中，A,B可以是數(shù)集、點(diǎn)集或由圖形組成的集合等等，構(gòu)成集合的元素不一

定是數(shù)，任何事物都可以。

問題5：什么是一一映射？

在映射廣：4^￡中，不但A中的每個元素都在B中有唯一的像，而且B中每個元素

在A中都有且只有一個原像，就稱該映射為一一映射。

二、典例剖析

例1.在從集合A到集合B的映射中，下列說法哪一個是正確的？(1)(6)

(1)B中的某一個元素b的原像可能不止一個；(B)A中的某一個元素a的像

可能不止一個(C)A中的兩個不同元素所對應(yīng)的像必不相同；

(2)B中的兩個不同元素的原像可能相同

(3)對于任意兩個集合A與B,都可以建立一個從集合A到集合B的映射

(4)對于兩個無限集合A與B,一定不能建立一個從集合A到集合B的映射

(5)如果集合A中只有一個元素，B為任一非空集合，那么從集合A到集合B只能

建立一個映射

(6)如果集合B只有一個元素，A為任一非空集合，則從集合A到集合B只能建立

一個映射

例2、給定映射一^

(3,1)的原像是(5,5),(1,1)

例3、己知從A到B的映射是彳小由A到

1

C的映射----------

(2x-l)2

三、總結(jié)升華

1、映射概念，像與原像

2、---映射，映射與函數(shù)的關(guān)系.

四、鞏固拓展

1、已知到集合B={3,4,5)的映射，則這樣的映射有多少個？從B

到A的映射有多少個？共有3'個從A到B的映射，23個從B到A的映射

從含有m個元素的集合到含有個n元素的集合，最多可以構(gòu)成H個映射.

2、已知A={a,dc},3={—1,0,1},/是從集合A到B的映射，且滿足

f(a)+f(b)+f(c)=0,求映射了:Af3的個數(shù).(7個)

3、(本例學(xué)案沒有)A={T,0,1},B={-2,T,O,l,2},f:AfB滿足：對每一個xeA,

x+f(x)恒為奇數(shù)，這樣的f:AfB有多少個？

解:x=T時，x+f(x)為奇數(shù)，則f(T)為偶數(shù)，可有三種選擇:-2,0,2；

x=l時，x+f(x)為奇數(shù),則f(l)為偶數(shù)，可有三種選擇：-2,0,2；

x=0時，x+f(x)為奇數(shù)，則f(0)為奇數(shù)，可有兩種選擇：1,-1；

共有3x3x2=18個滿足條件的映射.

函數(shù)的定義域

學(xué)習(xí)目標(biāo)：會求函數(shù)定義域.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：求函數(shù)定義域.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：對函數(shù)定義域的理解

一、具體函數(shù)求定義域

例1.已知函數(shù)y=J3x—2+——，求它的定義域答案：[―,l)U(l,+s)

x-13

二、抽象函數(shù)求定義域

例2：(1)已知/(x)的定義域?yàn)閇1,4),求/'(一)的定義域

M：由<4,.?.得一2<x<一1或l<x<2

???)(爐)的定義域?yàn)?-2,-l]U[l,2)

(2)己知/(/)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閇1,4],求/⑴的定義域[-2,-1]o[1,2]

(3)已知/(一)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閇1,4],求/(2x+l)的定義域0,y

(4)若y=/(x)的定義域是[0,1,則函數(shù)〃x+l)+人2x—)的定義域是

(5)已知/⑴的定義域+b>0求g(x)=/(x)-/(-x)的定義域

a=0時{0},a<0時[-a,?],a>0時不符合題意

三、求實(shí)際問題函數(shù)的定義域

例3,用長為1的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架。若矩形底邊長為2x,求此

框架圍成的面積y與X的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(x),并求其定義域。

1-1X-7CX

解:QAB=2%,則也）="尤,AD=

2

1-2x-71X7TX2

y=2x+----

22

即y=一%；4%2+￡

2x>0

QAB>0,AZ)>0得<1—2x—nx

---------->0

I2

解為0<x<-^—

2+〃

故定義域?yàn)?0,^—)

2+%

四、定義域的應(yīng)用問題

2kx-^

例4.已知函數(shù)丁=———--的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，求k的值。

k2x2+3kx+l

解：1)攵=0,y=—8,定義域?yàn)镽

2)左70時,左2〉o,要使42/+3履+1/0

貝I△=9公—4k2<0,即5左2<0此時左無解

.?.左=0時，函數(shù)的定義域?yàn)镽。

總結(jié)歸納：對函數(shù)定義域的理解

求函數(shù)的解析式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：會求函數(shù)解析式

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：求函數(shù)解析式

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：函數(shù)解析式的各種求法

一、根據(jù)圖象求解析式

例1.函數(shù)/(x)的圖象如圖示求/(x)的解析式。“

r\fz

-2x+3(x<-3);---p-----

/(%)=8(-3<X<5)II

2x-2(x>5)F—r廠不

二、求抽象函數(shù)解析式

例2.已知/(x+l)=%2-3x+2,求f(x)f(x)^x2-5x+6(配方法或換元法)

例3.已知/(x)是一次函數(shù)，且滿足/{/"(切}=8%+7,求/(無)。

/(x)=2x+l(待定系數(shù)法)

2

例4.已知人x)滿足2/(x)—3/(—x)=2x求/'(X)例x)=gx(構(gòu)造方程組法)

例5.定義域?yàn)镽函數(shù)/(%)滿足/(0)=1,且對于任意的實(shí)數(shù)a,b都有

/(?-&)=f(a)-b(2a-b+l),求/(x)。

解:a=b=%,/(0)=f{x］-x(2x—x+V)

Q7(0)=1,1=f(x)-x(2x-x+1),f(x)=x2+x+l此法叫特殊值法

三、根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式

例：已知A、B兩地相距150KM,某汽車以每小時50km的速度從A地到B地，在B地

停留2小時。又以每小時60km的速度返回A地，寫出該汽車離A地的距離關(guān)于時間的

函數(shù)解析式。

50x(0<%<3)

y=J150(3<x<5)

-60x+450(5<%<y)

汪：(定義域［0,葭］)

函數(shù)值域

一、求函數(shù)值域常用方法：觀察性，換元法，判別式法，數(shù)形結(jié)合法。配方法等。

例1.求下列函數(shù)的值域

①y=3+Jl—2xz)x<^-;1+,+ooii)x<[3,+co)

@y=2x~-4x+5i)-2<x<2[3,5]ii)x>3[11,-KO)zn)xeR[3,-KO)

③y=2x—5+J15—4x(y<3)換元法

1

@y=—----（y<-；或y>0）（判別式法或二次函數(shù)配方法）

爐-2x-3

5x+3(x<0)

⑤求函數(shù)f(x)=<x+3(0<x<1)的最大值1=4)

-x+5(x>1)

./八一?*、+、21-1M'+D33

解：(分禺常數(shù)法)y=-----=-V-----

X+1-X+l-X+l

——一)^值域?yàn)閧ylyw2}

j+1-

變：若規(guī)定x?2呢？{y|l<y<2.}

,2J3+3ix~2

⑦尸

（化簡約分法）（注意等價化簡）

則ywgjlywl,值域?yàn)閧ylywgjlywl}

2Y2—YI2

⑧y=—判別式法：???/+x+1>0恒成立，...函數(shù)的定義域?yàn)镽。

'x+X+1

2Y2—Y+2

由>=—-------得：(y—2)廠+(y+l)x+y—2=0①

x+x+l'''

①當(dāng)y—2=0即y=2時，①即3無+0=0,...x=0wH

②當(dāng)y—2w0即yw2時，：xeR時方程(y—2)f+(y+l)x+y—2=0恒有實(shí)

根，

/.△=(y+l)2-4x(_y-2)2>0,

lKyK5且yw2,

.??原函數(shù)的值域?yàn)椋?,5］。

二、函數(shù)值域的應(yīng)用

,,,1\a,a>b

例2.對己max{a,b}={，函=max{|x+l|,|x-2|}

b,a<b

3

(xeR),求函數(shù)的最小值一(數(shù)形結(jié)合)

2

例3.已知關(guān)于x的方程—Y+l+a-x=0在(0,1］上有關(guān)實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍，

a-x2+x-1ae(-1,1］(轉(zhuǎn)化思想)

例4.已知對于任意的實(shí)數(shù)無，不等式|x—5|+|x+3|>a恒成立，求a的范圍。

(a<8)

三：總結(jié)歸納：函數(shù)值域的各種求法和應(yīng)用

二次函數(shù)性質(zhì)的再研究

4.1二次函數(shù)的圖像

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：理解二次函數(shù)的圖像中a,b,c,h,k的作用；領(lǐng)會二次函數(shù)圖像移動的方

法

過程與方法：通過研究二次函數(shù)圖象提高學(xué)生的邏輯思維能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想

情感態(tài)度價值觀：用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，滲透由特殊到一般的思維，能準(zhǔn)確尋求事

物的一般規(guī)律

教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像中a,b,c,h,k的作用

教學(xué)難點(diǎn)：領(lǐng)會二次函數(shù)圖像移動的方法

教學(xué)方法：逐層推進(jìn)

教學(xué)過程：

一.問題探究

在初中，我們已經(jīng)學(xué)過了而二次函數(shù)，知道其圖象為拋物線，并了解其圖象的開口方

向，對稱軸，頂點(diǎn)等特征。

1、二次函數(shù)：形如y=ax?+bx+c(a#0)的函數(shù)稱為二次函數(shù)，其定義域是R。

2、二次函數(shù)的解析氐：

①一般式：y=ax2+bx+c(a#0)；

②頂點(diǎn)式：y=a(x+2y+"其中頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,處土)；

2a4a2a4a

③零點(diǎn)式(兩根式)：y=a(x—xi)(x,一X2)(a^O),其中，xi>X2是函數(shù)y=ax?+

bx+c(a^O)的零點(diǎn)(或是方程ax2+bx+c=0的兩個根)。

3、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.

4、三個“二次”的關(guān)系：一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根xi、X2是函數(shù)y=ax2

+bx+c(a^O)的兩個零點(diǎn)，也是對應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解集

的端點(diǎn)。

下面我們進(jìn)一步研究一般的二次函數(shù)/(%)=ax?+bx=c(aw0)

問題探究1：y=V和y=奴2(。/0)的圖像之間有什么關(guān)系？

在同一坐標(biāo)系中做出下列函數(shù)的圖像；y=x2;y=2x2；

觀察發(fā)現(xiàn)：

22

1.二次函數(shù)y=ax(aM)的圖像可由的y=x圖像各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.

2.a決定了圖像的開口方向：a>o開口向上，a〈0開口向下.

3.a決定了圖像在同一直角坐標(biāo)系中的開口大?。簗a|越小圖像開口就越大

問題探究2：y=o?(awo)和y=。(工+丸了+左,(。彳0)的圖像之間有什么關(guān)系？

在同一坐標(biāo)系中做出下列函數(shù)的圖像：

>=2/.y=26+I2)；y=2(r+l2)-

觀察發(fā)現(xiàn)：

9

二次函數(shù)y=a(x+h)+k(aM),a決定了二次函數(shù)圖像的開口大小及方向；

而且“a正開口向上，a負(fù)開口向下"；越大開口越小；

h決定了二次函數(shù)圖像的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；

k決定了二次函數(shù)圖像的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”。

問題探究3：丁=奴2(。/0),和y=+法+(?(。w0)的圖像之間有什么關(guān)系？

觀察發(fā)現(xiàn)：一般的，二次函數(shù)丁=?2+法+。3/0),通過配方就可以得到它的恒等

形式：y=a(x+/z)2+左,(。/0)。從而知道，由丁=。必(。/0)的圖像經(jīng)

過平移就可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c(aw0)?

問題探究4：函數(shù)y=/(x),y=f(x+a\y=/(x)+a圖象之間的關(guān)系

以a〉0為例，如果a<0,則方向正好相反

y=f(x)-y=f(x+a)【向左平移a個單位】

y=f(x)-*y=f(x)+a［再向上移動a個單位】

問題探究5：函數(shù)y=/(%),丁=/卜)y=|/(X)圖象之間的關(guān)系

將y=f(x)的y軸左側(cè)的圖像變成與y軸右側(cè)圖像對稱。簡單的說就是把當(dāng)x>0的圖像按y

對稱復(fù)制到x<0時。因?yàn)椋簓=f(|x|)本身關(guān)于y軸對稱(f(x)=f(-x))

將y=f(x)在X軸下方的圖像翻折到上方

問題探究6：函數(shù)y=/(%),y=y=y=-/(一工圖象之間的關(guān)系

y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于y軸對稱,y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于x軸對稱，y=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于原點(diǎn)

對稱

二.典例剖析

題型一：求二次函數(shù)的解析式

例1.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=一1,f(―1)=—1,且f(x)的最大值是8,

試求f(X)。

解答：

法一：利用二次函數(shù)的一般式方程

設(shè)f(xe)=ax2+bx+c(ar0),由題意

4〃+2Z?+c=-la=-4

<a—b+c=—l=<b=4

4ac-b2c=Q

------------=8oi

、4〃

2

故得f(x)=-4x+4x+7o

法二：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程

設(shè)f(x)=a(x—m)2+n

由f(2)=f(-1)可知其對稱軸方程為x=2+D=.,故m=4；

222

又由f(x)的最大值是8可知，a<0且n=8；

由f(2)=—1可解得a=-4。

故/(x)=-4(x—gy+8=-4x2+4x+7。

法三：利用-二次函數(shù)的零點(diǎn)式方程

由f(2)=-1,f(—1)=—1可知f(x)=-1的兩根為2和一1,故可設(shè)F(x)

=f(x)+l=a(x—2)(x+l)o又由f(x)的最大值是8可知F(x)的最大值是9,

從而解得a=-4或。(舍)。

所以f(x)=-4x2+4x+7o

說明：求函數(shù)解析式一般采用待定系數(shù)法，即先按照需要設(shè)出函數(shù)方程，然后再代

入求待定系數(shù)。

題型二：二次函數(shù)的圖像變換

例2：:(1)下列二次函數(shù)圖像開口，按從小到大的順序排列為(4),(2),(3),(1).

2

(2)將二次函數(shù)y=3x的圖像平行移動，頂點(diǎn)移到(一3,2)，則它的解析式為Y=3(x+3)

2

+2o

(3)二次函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像開口大小相同，開口方向也相同，已知函數(shù)

29

g(x)=x+1,f(x)圖像的頂點(diǎn)為⑶2),則f(x)的表達(dá)式為Y=(x-3)+2。

99

(4)由y=3(x+2)+4的圖像經(jīng)過怎樣的平移變換，可以得到y(tǒng)=3x的圖像.

右移2單位，下移4單位

2

(5)把函數(shù)y=x-2x的圖像向右平移2個單位，再向下平移3個單位所得圖像對應(yīng)的函

222

數(shù)解析式為：Y=(x12)-2(x-2)-3=x-6x+5=(x~~3)-4。

題型三：二次函數(shù)的圖像的應(yīng)用

例3.(1)已知函數(shù)f(x)=4x2—mx+5在區(qū)間［—2,+oo)上是增函數(shù)，則f(1)的

范圍是()

A.f(1)>25B.f(1)=25C.f(1)<25D.f(1)>25

解答：函數(shù)f(x)=4x2—mx+5在區(qū)間［-2,+8)上是增函數(shù)，則區(qū)間［-2,+oo)

m

必在對稱軸的右側(cè)，從而一<-2^>m<-16,故f(1)=9—m>25o選A。

8

說明：解決此類問題結(jié)合函數(shù)圖像顯得直觀。

(2)試討論y=|/-2%-3|與y=a的交點(diǎn)個數(shù)

當(dāng)a〈0時，無交點(diǎn)；當(dāng)a=0時，有兩個交點(diǎn)；當(dāng)l<a<4時，有四個；當(dāng)a=4時，有三個,

當(dāng)a>4時，有三個。

三.總結(jié)歸納

2

1.a,h,k對二次函數(shù)y=a(x+h)+k圖像的影響。

22

2.y=x與y=a(x+h)+k的圖像變換規(guī)律。

3.二次函數(shù)圖像的應(yīng)用

四、鞏固拓展

已知t為常數(shù)，函數(shù)y=-—2%—在區(qū)間［0,3］上的最大值為2,貝ijt

________________O

解答：作出y=X?-2x—的圖像，I、若所有點(diǎn)都在x軸上方，則ymax=f(3)=2

可解得t=l；IL若圖像有部分在x軸下方，把x軸下方的部分對稱地翻折到x軸上方即

可得到V=|九2-2%—的圖像，貝Ijymax=f(1)或ymax=f(3),解得t=—3或t=l,經(jīng)

檢驗(yàn)，t=l。綜上所述，t=l。

4.2二次函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

進(jìn)一步掌握二次函數(shù)卡辦2+bx+c（aW0）的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸方程、單調(diào)區(qū)間和最值

的求法。

培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，由特殊到一般的歸納能力，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)形結(jié)合的方法研

究問題。

2.過程與方法

從感性認(rèn)識入手升華到理性認(rèn)識，結(jié)合精心設(shè)計(jì)的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，探索，在解決

問題中建構(gòu)新知。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過新舊知識的認(rèn)識沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲；通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的思

想品質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用配方法研究二次函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

教學(xué)過程

一、探究新知

導(dǎo)入：“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一（如圖），制造時一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)（大

約在是距地面高度25m到30m處）時爆裂，如果在距地面高莞為18m的地方點(diǎn)火，并且

煙花沖出的速度是14.7m/s,問煙花沖出后什么時候是它爆烈的最佳時期？這時距地面的

高荒是多少？

這是一個什么樣的函數(shù)？我們?nèi)绾谓鉀Q這個問題，也就是本節(jié)要討論的二次函數(shù)的圖像

與性質(zhì)。

問題探究1：研究二次函數(shù)丁=。必（。/0）的單調(diào)性，對稱性，最值與圖象開口方向，對

稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)

（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,0）,對稱軸為直綴=0

⑵象關(guān)于y軸對稱

C）當(dāng)蘇0時，開口向上，江-8,0］上為減函數(shù)，省0,+8）上為增函數(shù)，有最小值）

當(dāng)a〈00寸，開口向下，曲-oo,0］上為增函數(shù)，由0,+oo）上為減函數(shù)，有最大值）

問題探究2：把抽象的字母形式的二次函數(shù)產(chǎn)辦^bx+cmWO）表示成頂點(diǎn)式，對照

性質(zhì)從圖像的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、單調(diào)區(qū)間、最值方面概括

嚴(yán)加+隊(duì)+（:。#0）的圖象及性質(zhì)。

學(xué)生充分討論.從形與數(shù)兩方面進(jìn)行抽象概括。

①開口方向：當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下；

②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（-2,處二歐）；

2a4〃

b

③對稱軸方程：x=----；

2a

④開口大小：a值越大，開口越小；a值越小，開口越大；

bb

⑤單調(diào)性：若a>0,單調(diào)增區(qū)間為（——，+oo）,單調(diào)減區(qū)間為（-8,——）；若a<0,

2a2a

bb

單調(diào)增區(qū)間為（一8,——）,單調(diào)減區(qū)間為（——，+oo）；

2a2a

.學(xué)生閱讀教材第44頁證明部分進(jìn)一步理解和鞏固二次函數(shù)的性質(zhì)。

二、典例剖析

題型一：二次函數(shù)的最值問題

例1.學(xué)生自學(xué)教材例2

并思考變式題，求函數(shù)丁=-3/—6；1+1,16［-2,5］的最值。

解:y=-3x2-6x+l=-3（x+1）2+4

函數(shù)在區(qū)間-2,-1止為增函數(shù)，在區(qū)間-1,5］上為減函數(shù)

；.x=-1時函數(shù)有最大值，最大直為4

x=5時函數(shù)有最小值，最〃值為-104

評注：考慮y=-3--6x+l在區(qū)間［-2,5］上的單調(diào)性進(jìn)一步解決最值：存在最大

值還是最小值，或是都存在。

例2：求生）=/_2公+2在［2,4］上的最值

???/（x）的對稱軸是c=a,可分為以下三種情況

（1）當(dāng)a〈2時，/（x庭［2,4］上為增函數(shù),二./（》皤=拉）=6-4。；

⑵當(dāng)2Wa<4時，/（a）為最小值，=2-a2-,

（3）當(dāng)a〉4時，/（%應(yīng)［2,4］上為減函數(shù),:./（》）111也=/⑷=18-8a

最大值為/■⑵與/（4）中較大者：/（2）-/（4）=（6-4a）-（18-8o）=12+4t7

（1）當(dāng)a23時，"2）2/（4）,則=/⑵=6-4a

（2）當(dāng)a〈3時，/（2?（4）,>Wmax=/（4）=18-8tz

例3：求函數(shù)y=fVxVf+1)的最小值g(t)的表達(dá)式。

解：y=/一2x-1=(x—I?一2，對稱軸為直線x=1

⑴當(dāng)Yl4f+1,即04區(qū)1時，y在尤=1處取得最小值:.g⑺=-2

⑵當(dāng)時，函數(shù)在，，［+1］上為增函數(shù),:.、在兀=處取得最小值，

即g?)=/_2(_i

(3)1>/+1,即t<0時，函數(shù)在/+1］上為減函數(shù),y在x=t+l處取得最小值

即g⑺=/一2

?-2(/<0)

.-.g(r)=<-2(0<r<l)

題型二：方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的分布問題

例4.已知二次方程/+(相_1.+。_2=0的一個根比1大，另一個根比1小，試求。的

取值范圍。

解答：設(shè)/(>)=爐+(/—l)x+a—2,貝U/Q&=。".2<0>2<<d；

例5當(dāng)加為何實(shí)數(shù)時，關(guān)于工的方程必—2(根+2)%+根2—1=0

(D有兩個正實(shí)根；

(II)有一個正實(shí)根，一個負(fù)實(shí)根。

解答：⑴設(shè)/00=爐—2(M+2)X+7〃2—1,由方程有兩個正實(shí)根，結(jié)合圖像可知:

f(0)>0m2—1>0

_5、

<A>0n<4(切+2)2—4(7772—1)>0=>—<m<—1或加>1

4

m+2>0m+2>0

(ID設(shè)/(x)=必-2(m+2)x+7〃2-i,結(jié)合圖像可知：

y(o)<0

4=>4=4>—1<m<1

A>0［40+2)2—4(療—1)〉0

說明：一元二次方程的根或二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題的處理主要思路是結(jié)合函數(shù)圖

像，考慮三個內(nèi)容：根或零點(diǎn)所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)的正負(fù)、判別式及對稱軸的位置。

題型三：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題

例6.教材例3

這是一道實(shí)際應(yīng)用型的題目，要從中讓學(xué)生初步體驗(yàn)解應(yīng)用題的規(guī)律和方法。

評注：解題方法是讀題一一找關(guān)鍵字一一抽象成數(shù)學(xué)模型一一求數(shù)學(xué)模型的解一一

作答.

例7.補(bǔ)充例題

北京某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租20元，每天都客滿，為迎接2008年奧

運(yùn)公司提高檔次，并提高租金，如果每間客房每日增加2元，客房出租數(shù)就會減少10間，

若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？

學(xué)生探求解題思路，自己動手解題，教師適時指導(dǎo).

三.總結(jié)歸納

1、知識：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的有關(guān)結(jié)論

2.方法：研究二次函數(shù)的主要方法：配方法

3.思想：(1)函數(shù)與方程的思想：研究二次函數(shù)零點(diǎn)、最值等問題可以借助方程的思

想，研究方程根的分布、二次函數(shù)的應(yīng)用等問題可以借助函數(shù)的思想，二者相互滲透；

(2)數(shù)形結(jié)合的思想：利用數(shù)形結(jié)合可以很方便地處理方程根的分布、函數(shù)的單調(diào)

性、值域和最值及某些求參數(shù)范圍的問題。

(3)分類討論的思想：對含有參數(shù)的二次函數(shù)的值域或最值的求解、單調(diào)性的研究

等往往要進(jìn)行分類討論。

4.解實(shí)際應(yīng)用型題目的步驟與方法：讀題一一找關(guān)鍵字一一抽象成數(shù)學(xué)模型一一求數(shù)

學(xué)模型的解一一作答.

5.簡單的幕函數(shù)(1)

【教學(xué)目標(biāo)】

(1)了解塞函數(shù)的概念，理解塞函數(shù)的圖像特征和簡單性質(zhì).

(2)掌握塞函數(shù)的定義域、值域的求法.

(3)理解募函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用.

(4)結(jié)合具體函數(shù)、理解奇偶性定義，并能理解奇偶函數(shù)的圖像特征.

(5)會判斷函數(shù)的奇偶性，能熟練運(yùn)用函數(shù)的奇偶性解決一些函數(shù)的問題。

【教學(xué)重點(diǎn)】嘉函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)；函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】嘉函數(shù)的圖像與性質(zhì)的靈活運(yùn)用，塞函數(shù)圖像的分布規(guī)律；函

數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情景

我們已經(jīng)熟悉y=x是正比例函數(shù)，y=L(y=x。是反比例函數(shù)，>=/是

二次函數(shù)，從形式上看，他們只是指數(shù)不同

二、探究新知

問題探究1：根據(jù)上述函數(shù)形式上的特點(diǎn)，引出密函數(shù)概念

然函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)丁=/叫做塞函數(shù)，其中x為自變量，a為常數(shù).

注意：(1)寢函數(shù)y=爐中為變量的是底數(shù)x,而指數(shù)a為常數(shù).

(2)形如y=(2x)a,y=x"+2等形式的函數(shù)不是暴函數(shù).

(3)幕函數(shù)y=廿中的a為任意實(shí)數(shù).

(4)在定義中沒有規(guī)定塞函數(shù)的定義域，但不意味著定義域不用研究，只是因?yàn)橹笖?shù)

a的取值不一樣，塞函數(shù)的定義域也不一樣，如定義域?yàn)椋?,+°°),

定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8).

練習(xí)：判斷下列函數(shù)是否為塞函數(shù)？

(l)y=%4(2)y=2x2(3)y=-x3(4)y=^(5)y=2x3”

X

問題探究2：分別作出函數(shù)y=x,丁=必，y=/,y=『，y=x?的圖象

并觀察函數(shù)圖象，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表內(nèi)：

1

23-i

y二%y=xy=xy=y=x

定義域

值域

對稱性

單調(diào)性

定點(diǎn)

根據(jù)上表的內(nèi)容并結(jié)合圖象，試總結(jié)函數(shù)y=x,>=必，y=x3,y=x\

>=%2的共同性質(zhì).

歸納：

⑴函數(shù)y=x,y=x2,y=d,y=x2和y=》T的圖象都通過點(diǎn)(1,1)；

(2)函數(shù)y=x,y=V,y=/關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)y=必關(guān)于y抽對稱；

(3)在區(qū)間(0,+8)上，函數(shù)y=x,y=x2,y=V和y=R都是增函數(shù)，函

數(shù)丁=/是減函數(shù)；

(4)在第一象限內(nèi)，函數(shù)y的圖象向上與y軸無限接近，向右與X軸無

限接近。

問題探究3：通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察和填表，你能類比出一般的辱函

數(shù)的性質(zhì)嗎？

1.一般地，當(dāng)a>0時，塞函數(shù)y=x?有下列性質(zhì)：

(1)圖像都通過點(diǎn)(0,0),(1,1);

(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；

(3)在第一象限內(nèi)，a>l時，圖像是向下凸的；0<a<l時，圖像是向上凸的；

(4)在第一象限內(nèi)，過(1,1)點(diǎn)后，圖像向右上方無限伸展.