高中數(shù)學“圓與圓的位置關系”教學設計

“圓與圓的位置關系〃教學設計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）、教學內(nèi)容

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書》（人民教育出版社A

版，課程教材研究所，數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著）必修2中第

四章《圓與方程》第二節(jié)“直線、圓的位置關系〃的第二課時，《課

程標準》指出：能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓

的位置關系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。

（二）、內(nèi)容解析

教材是在平面幾何對圓與圓的位置關系初步分析的根底上結合

前面學習的點與圓、直線與圓的位置關系,得到判斷兩圓位置關系的

兩種方法。代數(shù)法：根據(jù)學生學習圓與圓相交、相切、相離的定義的

根底上，類比直線與圓判斷位置關系的方法，將兩圓的方程聯(lián)立方程

組，通過討論方程組的解的不同情況來判斷，該方法主要突出代數(shù)法

的思想且具有一般性，可類比地推廣到對橢圓、雙曲線、拋物線同類

問題的研究中。幾何法：根據(jù)學生學習的圓與圓五種具體位置關系的

判定，即利用兩圓心之間的距離與半徑的和以及差的絕對值進行比

擬，該方法，實現(xiàn)了空間形式與數(shù)量關系的結合。

解析幾何是數(shù)學的一個重要分支，它溝通了數(shù)學在數(shù)與形、代數(shù)

與幾何等最根本對象之間的聯(lián)系。用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解

析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化。因此,繼續(xù)深化用代數(shù)方法來

分析位置關系,這樣有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結合、幾何問題代數(shù)化等解

析幾何思想方法及辯證思維能力,其根本思維方法和解決問題的技巧

對今后整個圓錐曲線的學習有著非常重要的意義。因此，本節(jié)課在教

材中起到了承上啟下的重要作用。

二、目標和目標解析

（一）、教學目標

根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容和我所教學生的實際情況，教學目標確定

為以下三個方面：

1.知識與技能目標

(1)能根據(jù)給定圓的方程，用幾何和代數(shù)的方法判斷兩圓的位

置關系。

(2)理解幾何問題代數(shù)化的思想，深入了解解析幾何的本質(zhì)。

2.過程與方法目標

(1)類比直線與圓的位置關系，通過對圓與圓的位置關系的探

究活動，經(jīng)歷知識的建構過程，培養(yǎng)學生獨立思考、自主探究、動手

實踐、合作交流的學習能力。

(2)強化學生用數(shù)形結合的方法解決幾何問題的意識，培養(yǎng)學

生分析問題和靈活解決問題的能

力。

3.情感、態(tài)度與價值觀目標

通過對本節(jié)課知識的探究活動，加深學生對圓與圓的位置關系的

認識，從而領悟其中所蘊涵的數(shù)學思想，體驗探索中成功的喜悅，激

發(fā)學習熱情，養(yǎng)成良好的學習習慣和品質(zhì)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和進

取精神。

(二八目標解析

高中數(shù)學教學的重要目標之一是提高學生的數(shù)學思維能力，通過

不同形式的探究活動，讓學生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生和開展過程，從中

領悟解決問題的思想方法，不斷提高分析和解決問題的能力，使數(shù)學

學習變成一種愉快的探究活動，從中體驗成功的喜悅，不斷增強探究

知識的欲望和熱情，養(yǎng)成一種良好的思維品質(zhì)和習慣。

三、教學問題診斷分析

這節(jié)課主要采用探究式教學法，組織學生自主探究，合作交流，

受學生生源的影響，學生思維能力一般，因此，本課的學習可能存在

以下困難：

1.探究圓與圓的五種位置關系可能不夠全面，或是多出五種。如

果不夠全面，我想采取討論補充的方法把個別同學沒有發(fā)現(xiàn)的補充上

來；對于多于五種的情況，則可以引導學生按公共點個數(shù)分類，從而

將多出的情況進行合并。

2.探究如何利用d、rl和r2的數(shù)量關系確定兩圓的位置關系過

程中，兩圓相交的情況，學生可能會只考慮到d〈rl+r2,而少考慮了

Irl-r2|<d;如果這樣，我想先認同他們的觀點，然后和同學們一

起舉幾個例子驗證他們的結論，從而讓他們發(fā)現(xiàn)問題，設疑激趣，激

發(fā)他們再探索，從而解決這一問題。

3.兩圓相交，則|rl-r2|<d<rl+r2,反之亦然，這一結果擔憂

有些學困生難于一下子理解，我想通過學生交流多種不同的方法，來

讓同學們多角度認識這一結論，比方移動兩圓，直觀感受圓心距逐漸

減小的過程中兩圓由外切一一相交一一內(nèi)切；再通過三角形三邊關

系，理性論證這一結論。

4.在引導學生答復定義時，要注意數(shù)學語言的嚴謹性和準確性。

當兩圓沒有公共點時，容易無視蘊含其中一個圓上的點都在另一個圓

的內(nèi)部；而外離時每個圓上的點都在另一個圓的外部。我想通過實驗

及觀察分析，引導學生對兩圓的五種位置關系及連心線的性質(zhì)有正確

的理解，通過圖形及數(shù)量關系剖析定義的內(nèi)部和外延，從而解決疑點。

四、教學支持條件分析

1.學生層面

本節(jié)內(nèi)容面對的是高一學生，所授課的班級生層次不同，存在一

定差異.雖經(jīng)歷了函數(shù)相關知識的學習，但解析幾何的學習剛剛開始,

對代數(shù)法還處于初步了解的層次.這個階段的學生思維仍屬于經(jīng)驗性

的邏輯思維，很大程度上仍需依賴具體形象的經(jīng)驗材料來理解抽象的

邏輯關系。本課程分別從直觀形象和數(shù)形結合上對數(shù)量關系進行探

索。

2.知識層面

(1)學生已經(jīng)接觸過圓與圓相交、相切、相離的定義和判定。

(2)掌握了點的坐標、直線的方程、圓的方程以及點到直線的距離

公式。

(3)上一節(jié)已經(jīng)初步掌握判斷直線與圓的位置關系的兩種方法。

3.能力層面

門)掌握利用方程組的方法來求兩圓的交點。

(2)具有用代數(shù)法研究點與圓、直線與圓的位置關系的根底。

(3)具有一定的數(shù)形結合解題思想的根底。

根據(jù)以上三個方面的分析，在已有的認知根底條件下，經(jīng)歷直線、

圓的方程學習后，學生已經(jīng)具備了一定的判斷圓與圓位置關系的能

力，但學生僅僅停留在模仿、類比的知識外表，知識的來龍去脈并不

知曉，這時需要教師的引導和幫助。

因此，我在教學中通過提供的豐富的數(shù)學學習環(huán)境，創(chuàng)設便于觀

察和思考的情境，給他們提供自主探究的空間，使學生經(jīng)歷完整的數(shù)

學學習過程，引導學生在已有數(shù)學認知結構的根底上，通過積極主動

的思維而將新知識內(nèi)化到自己的認知結構中去.同時為他們施展創(chuàng)造

才華搭建一個合理的平臺，使他們感知學習數(shù)學的快樂。

五、教學過程設計

【課前準備】教具：光盤、多媒體教室、課件

學具：圓規(guī)、尺子、硬幣

（一）回想一一溫故知新

問題1:點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系怎么判斷？

【設計意圖】教師關注學生對已有知識的掌握情況，學生閉目回想答

復老師的問題。復習舊知識，強調(diào)點、直線與圓的位置關系的兩種判

斷方法，為學新知識做鋪墊。

（二）體驗一一形成方法

問題2：在準備的白紙上畫一個半徑為3cm的圓，拿出硬幣在白紙所

在的平面上移動，觀察發(fā)現(xiàn)硬幣所在的圓與3cm的圓之間有哪些位置

關系？

【教學方式】由學生動手畫圖、移動、思考，教師巡視指導，學生代表

到前面演示，一邊講解做題過程一邊與同學們核對.隨后教師根據(jù)學

生演示情況給予評價，特別注意糾正學生尺規(guī)作圖的標準性.強調(diào)數(shù)

學的學習離不開三大品質(zhì)：勤奮、創(chuàng)新、嚴謹，并引導學生帶著嚴謹

的態(tài)度一起觀察動畫演示,再次對圓與圓的位置關系有深刻的理解。

【設計意圖】在知識的進一步穩(wěn)固過程中，為本節(jié)內(nèi)容提供學習思路

和方法，同時培養(yǎng)學生優(yōu)秀的數(shù)學品質(zhì)：勤奮、創(chuàng)新、嚴謹.

【總結歸納】得出圓與圓的五種位置關系：

1、兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，

叫做這兩個圓外離。

2、兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的

點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫

做切點。

3、兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩個圓相交。

4、兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的

點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫

做切點。兩個圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩個圓相切。

5、兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，

叫做這兩個圓內(nèi)含。兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例。

問題3：探究圓與圓的五種位置關系中，圓心距d10102的長〕與大

圓半徑和小圓半徑之間的關系？

【教學方式】教師為探究方法做輔導，下到各組中參與學生的活動。

【總結歸納】1.兩圓外離d>rl+r2；2.兩圓外切d=rl+r2；3.兩圓

相交Irl-r2|<d<rl+r2；4.兩圓內(nèi)切d=|rl-r2|；5.兩圓內(nèi)

含OWd<|rl-r2|0

問題4：是否任意的兩個圓都存在上述五種位置關系？

【教學方式】通過兩光盤的具體實驗讓學生自我觀察總結五種位置

關系存在的前提是兩半徑不等的圓，并歸納出兩個半徑相等的圓的四

種位置關系。

【例題講解】判斷圓C1與圓C2的位置關系

Cl:(x+2y+(y-2)2=49,C2:(x-4)2+(y-2)2=9.

解：G(—2,2)八=7G@2)r2=3

d=J(-2-4)2+(2-2『=6

rx—r2<d<rx+r2

相交

【跟蹤練習】判斷圓Cl與圓C2的位置關系

⑴C1:x2+y2=9,C2:x2+y2-4x+3=0.

(2)|Cl:x2+y2+2x+8y-8=0,

[C2;x2+4x-4y-2=0.

【教學方式】學生獨立完成，抽兩位學生上黑板板演運算過程。教師

關注學生對知識的掌握情況及練習的正確率。

小結1:類比判斷直線與圓位置關系的幾何法，總結出屬于圓與圓的

幾何方法步驟。

【設計意圖】讓學生板演格式，及時發(fā)現(xiàn)問題給予糾正；讓學生再一

次明確解析幾何是一門數(shù)與形緊密聯(lián)系的學科，同時體會圓與圓問題

到直線與圓問題的轉(zhuǎn)化化歸思想，加強數(shù)形結合的意識。

【例題講解】根據(jù)練習(2)探究圓與圓的代數(shù)判斷方法。

用代數(shù)法判斷圓C1與圓C2的位置關系：

解:圓與圓。2的方程聯(lián)立得到方程組產(chǎn)+>2+2》+8廣8=0,(1)

|x2+y2-4x-4y-2=0.(2)

(1)-(2)得x+2y-1=0⑶

由⑶得代入⑴并整理得必_2》—3=0(4)

2

方程⑷的判別式△=16>0,所以方程(4)有兩個不等的實數(shù)根

即圓a與圓G相交

【師生活動】

師：此題在(3)式的處理上哪位同學還有不同的方法？

生：由⑶得x=l-2y,把上式代入⑴并整理得產(chǎn)_1=0

師：數(shù)學的世界是豐富多彩的，解題方法也不拘泥于一種，同學們在

聯(lián)立方程時，總習慣消去入這位同學選擇了消去x,得到了關于》的

一元二次方程形式，y得特別感謝你了，終于有我的出頭之日了。

小結2：類比判斷直線與圓的位置關系的代數(shù)法，總結出屬于圓與圓

的代數(shù)方法步驟。

【設計意圖】培養(yǎng)學生自主探究的能力，學生分析問題、解決問題的

能力。

(三)比照--感悟方法

反思1:判斷圓與圓的位置關系時，用哪種方法更簡捷？

反思2：假設兩圓相交求交點，應選用哪種方法？

【設計意圖】拓展學生的思維，并由學生分組探討反思在具體運算過

程中兩種方法如何選擇，在小組交流合作的過程中形成思維，得出結

論。

(四)穩(wěn)固一-提高方法

思考：圓Cl：x2—2mx+m2+y2=9和圓C2：x2+y2—2my+m2=l相交，求

實數(shù)m的取值范圍。(用兩種方法解答)

【教學方式】教師引導學生觀察思考，同桌交流；教師在下面巡視，

講解幾何法的過程，板書代數(shù)法的過程。目的是具有示范性，為后續(xù)

學習圓錐曲線做鋪墊。

【設計意圖】為了穩(wěn)固學生所學的數(shù)學知識，方法和思想，培養(yǎng)學生

知識的遷移能力。

(五)課堂小結

知識：1.判斷圓與圓位置關系的兩種方法；

2.閉目回想半徑不等的兩個圓的五種位置關系及半徑相等的

兩個圓的四種位置關系。

思想方法：1、類比；2、數(shù)形結合；3、轉(zhuǎn)化。

【設計意圖】通過小結使學生理清本節(jié)知識的脈絡和使用方法，對所

學知識技能和思想方法有一個全面系統(tǒng)的認識，培養(yǎng)了學生概括總結

所學知識的能力。

(六)作業(yè)布置

1.書面作業(yè)：教材P130練習(用兩種方法求解)；

2.拓展作業(yè)：M={(x,y)x2+y2<4},N={(x,y)(x—1)2+(y

-l)2=r2(r>0)},假設MAN=N,則r的取值范圍是(〕

(A)(0,72-1)(B)(0,1](C)(0,2-^2](D)(0,2]

【設計意圖】目的是穩(wěn)固所學內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)和彌補學生學習中的遺漏和

缺乏，強化根本技能訓練，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)和習慣，通過書

面作業(yè)和拓展作業(yè)，使不同層次的學生均有所收獲，表達因材施教的

教學原則。

(七)板書設計

圓與圓的位置關系

1.幾何法例1解：2.代數(shù)法例2解：

[BSG方程

1國02方程

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