專題19解答壓軸題型：幾何綜合題(原卷版+解析)

專題19解答壓軸題型：幾何綜合題1．（2023?安徽）在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線外，連接，．（1）如圖1，求的大??；（2）已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足，．如圖2，連接，求證：；如圖3，連接，若，，求的值．2．（2022?安徽）已知四邊形中，，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若，求證：四邊形是菱形；（2）如圖2，連接，設(shè)，相交于點(diǎn)，垂直平分線段．（?。┣蟮拇笮?；（ⅱ）若，求證：．3．（2021?安徽）如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且，，作交線段于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）如圖2．若，，，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，若的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，求的值．4．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形是矩形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，連接，求證：．5．（2019?安徽）如圖，中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點(diǎn)到三角形的邊，，的距離分別為，，，求證．6．（2023?瑤海區(qū)一模）已知菱形中，，，分別在邊，上，是等邊三角形．（1）如圖1，對(duì)角線交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在上，且，若，，求的值．7．（2023?合肥一模）已知：正方形中，為邊中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，、交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若為邊中點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，若．①求證：；②求的值．8．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）已知，，為邊上一點(diǎn)（不與、重合），以為底作等腰，使、位于兩側(cè)，且．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，，交于點(diǎn)，求的值；（3）如圖1，連接，求證：．9．（2023?合肥三模）已知：中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，以、為鄰邊作，交邊于．（1）是；（填特殊平行四邊形的名稱）（2）連接交于點(diǎn)，求證：；（3）點(diǎn)在上移動(dòng)的過(guò)程中，求的最小值．10．（2023?廬陽(yáng)區(qū)一模）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上（不與端點(diǎn)，重合），點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，設(shè)．（1）求的大?。唬?）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．①求證：；②連接，若，求的值．11．（2023?合肥模擬）在四邊形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于，垂足為，且．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點(diǎn)、、分別為線段、、的中點(diǎn)，連接、、．①求證：；②若，求的面積．12．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，矩形中，平分交、于點(diǎn)、，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）若，．①求的值；②請(qǐng)直接寫出的值為．13．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）已知四邊形，，，相交于點(diǎn)，且，，設(shè)，，．（1）①如圖1，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；；②如圖2，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；；（2）觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，利用圖3證明，，三者關(guān)系．（3）如圖4，在平行四邊形中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．14．（2023?瑤海區(qū)二模）在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)．連接，將沿折疊得到，，分別交于點(diǎn)，，連接．（1）如圖1，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（?。┤簦瑒t（用含的式子表示）；（ⅱ）求證：；（2）如圖2，若，，求的長(zhǎng)．15．（2023?包河區(qū)二模）如圖1，已知四邊形中，，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖2，若平分交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．16．（2023?廬陽(yáng)區(qū)二模）正方形中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，求證：平分；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，并截取，連接，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，則的長(zhǎng)為．17．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)二模）如圖1，在中，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．（1）求證：；（2）作，，垂足分別為點(diǎn)，，交于點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)平分時(shí)，求的值；②如圖3，連接交于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．18．（2023?廬江縣模擬）（1）如圖1，過(guò)等邊的頂點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)為上點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接．①求證：；②連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，在中，，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，求長(zhǎng)．19．（2023?合肥二模）問(wèn)題背景：如圖1，在等腰中，，，垂足為點(diǎn)，在中，，，連接，是中點(diǎn)，連接和，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？觀察發(fā)現(xiàn)：（1）為了探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，可先將圖形位置特殊化，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，如圖2，易知和之間的數(shù)量關(guān)系為；操作證明：（2）繼續(xù)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合時(shí)，如圖3，（1）中線段和之間的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請(qǐng)加以證明．問(wèn)題解決：（3）根據(jù)上述探究的經(jīng)驗(yàn)，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

20．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）【初步嘗試】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別為、邊上的點(diǎn)且，求證：．（2）【思考探究】如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、且，求的值．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別在線段、上，且．直接寫出的值．21．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）【問(wèn)題提出】如圖1，為的一條弦，點(diǎn)在弦所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)不變．愛動(dòng)腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，那么點(diǎn)是不是在某個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？【問(wèn)題探究】為了解決這個(gè)問(wèn)題，小芳先從一個(gè)特殊的例子開始研究．如圖2，若，線段上方一點(diǎn)滿足，為了畫出點(diǎn)所在的圓，小芳以為底邊構(gòu)造了一個(gè)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)在上．后來(lái)小芳通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論．即：若線段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，則點(diǎn)一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應(yīng)用】（1）若，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，若點(diǎn)所在圓的圓心為，則，劣弧的長(zhǎng)為．（2）如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若點(diǎn)是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長(zhǎng)為4，求的最小值．22．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖1，平行四邊形中，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連結(jié)，以為對(duì)稱軸作的軸對(duì)稱圖形．（1）如圖1，連接，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，恰有，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，若點(diǎn)在邊運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)到的最短距離為1，求的長(zhǎng)．23．（2023?合肥模擬）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交，于點(diǎn)，．設(shè)．（1）求證：；（2）如圖1，連接，若，求的值；（3）如圖2，若平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交，及的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)，，．若，求的長(zhǎng)．24．（2023?包河區(qū)一模）如圖1，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點(diǎn)，，在同一條直線上，如圖2，求的值．（溫馨提示：請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的方式表示角）25．（2023?合肥模擬）在四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．（1）如圖1，若平分，，，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在邊上，，分別垂直平分，，若，求證：；（3）如圖3，，，分別為，，的中點(diǎn)，連接分別交，于，，若，求的值．26．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：（3）在（2）的條件下，、交于點(diǎn)，若，則．27．（2023?廬陽(yáng)區(qū)模擬）如圖①，是等腰直角三角形，在兩腰、外側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和，和分別是等邊三角形和的角平分線，連接、，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖②，點(diǎn)為角平分線上一點(diǎn)，且，求證：；（3）在（2）的條件下，求的值．28．（2023?合肥二模）在正方形中，點(diǎn)、、分別為、、邊上的一點(diǎn)，垂直平分，垂足為．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，交于點(diǎn)，連接，．①求證：是等腰直角三角形；②當(dāng)時(shí)，求值．29．（2023?瑤海區(qū)三模）已知和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，．（1）若，在線段上，連接并延長(zhǎng)交于，如圖1．①求證：；②求的長(zhǎng)．（2）若，點(diǎn)、、在一條直線上，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接、，如圖2，求的值．30．（2023?廬江縣二模）如圖，點(diǎn)，分別在矩形的邊和（或延長(zhǎng)線）上，連接，，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)為上任意一點(diǎn)，探究，，間的數(shù)量關(guān)系，并證明．31．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）通過(guò)以前的學(xué)習(xí)，我們知道：“如圖1，在正方形中，，則”．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上學(xué)習(xí)后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究：（1）【問(wèn)題探究】如圖2，在正方形中，點(diǎn)，，，分別在線段，，，上，且，試猜想；（2）【知識(shí)遷移】如圖3，在矩形中，，，點(diǎn)，，，分別在線段，，，上，且，試猜想的值，并證明你的猜想；（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，求的值．32．（2023?蕪湖模擬）如圖，為菱形邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，交于，連接．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．33．（2023?包河區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的中線，是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．交于點(diǎn)，，連接．如圖1，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，四邊形是平行四邊形．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)不與重合時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．（2）如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，且．①求的度數(shù)；②當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．34．（2023?瑤海區(qū)模擬）在菱形中，．（1）如圖1，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，，若，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，為線段上一點(diǎn)不與，重合），以為邊，構(gòu)造如圖所示等邊三角形，線段與交于點(diǎn)，連接，，為線段的中點(diǎn)，連接，，求證：．35．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）已知：如圖1，在中，，是的平分線，連接、，且于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且于點(diǎn)，求的值．36．（2023?安慶一模）如圖1，在中，，，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），以為一邊作正方形，連接．（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，①求正方形的邊長(zhǎng)；②求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．37．（2023?合肥模擬）如圖，點(diǎn)、分別是矩形邊、上的點(diǎn)，連接、、，且，（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的值；（3）如圖3，的角平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．38．（2023?廬江縣三模）如圖（1），矩形中，，，點(diǎn)、是對(duì)角線上的兩個(gè)點(diǎn)，，連接、．（1）求證：；（2）如圖（2），點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，連接、、、，試四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）已知當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，試求的值．39．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，在四邊形中，，，．過(guò)點(diǎn)作，兩邊，分別與邊，所在直線相交于點(diǎn)，，連接．（1）與的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在邊，上時(shí)，可得出結(jié)論，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．（提示：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)，分別在邊，的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．40．（2023?長(zhǎng)豐縣二模）在矩形中，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到．（1）如圖1，若，，當(dāng)點(diǎn)在矩形對(duì)角線上時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，求證：．（3）如圖3，若，延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．

專題19解答壓軸題型：幾何綜合題1．（2023?安徽）在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線外，連接，．（1）如圖1，求的大??；（2）已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足，．如圖2，連接，求證：；如圖3，連接，若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：是的中點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，即的大小為；（2）證明：，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，，又，、、、四點(diǎn)共圓，，，；解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在中，由勾股定理得：，四邊形是菱形，，，，，，，即的值為．2．（2022?安徽）已知四邊形中，，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若，求證：四邊形是菱形；（2）如圖2，連接，設(shè)，相交于點(diǎn)，垂直平分線段．（?。┣蟮拇笮?；（ⅱ）若，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）解：垂直平分，且，，又且，垂直平分，，，，又，；證明：由得，又，，同理可得，在等腰中，，，在與中，，，，又，，即．3．（2021?安徽）如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且，，作交線段于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）如圖2．若，，，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，若的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，；（2）方法①：，，，，，由（1）知：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，即，，，，，即，；方法②：由（1）知，，，，，，，，，，，，，即，；（3）如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，均為等腰三角形，且，，，設(shè)，，，則，，，，，的中點(diǎn)，，，，，，（即，，，即，，解得：或（舍去），．4．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形是矩形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，連接，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，又，，，，，即，故，（2）解：四邊形是矩形，，，，，，即，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），．（3）證明：如圖，在線段上取點(diǎn)，使得，在與中，，，，，，，，為等腰直角三角形，．5．（2019?安徽）如圖，中，，，為內(nèi)部一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點(diǎn)到三角形的邊，，的距離分別為，，，求證．【答案】見解析【詳解】解：（1），，又，又，（2）在中，，（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，于點(diǎn)，，，，，，又，，，即，，，．即：．6．（2023?瑤海區(qū)一模）已知菱形中，，，分別在邊，上，是等邊三角形．（1）如圖1，對(duì)角線交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在上，且，若，，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，；（2）解：連接，由（1）知是等邊三角形，，，，四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，，，．方法二：，，，，，，設(shè)，則，，，．7．（2023?合肥一模）已知：正方形中，為邊中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，、交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若為邊中點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，若．①求證：；②求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，，、為、邊中點(diǎn)，，在與中，，，，；（2）①證明：連接，并延長(zhǎng)交于．，，，，，，，，，，，，，；②解：由①可知，，，，，，，，，，，解得．8．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）已知，，為邊上一點(diǎn)（不與、重合），以為底作等腰，使、位于兩側(cè)，且．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，，交于點(diǎn)，求的值；（3）如圖1，連接，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：如圖1，作于，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）證明：如圖2，以為圓心，為半徑作圓，交于，，設(shè)，則，，，點(diǎn)在，．9．（2023?合肥三模）已知：中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，以、為鄰邊作，交邊于．（1）是；（填特殊平行四邊形的名稱）（2）連接交于點(diǎn)，求證：；（3）點(diǎn)在上移動(dòng)的過(guò)程中，求的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）解：是正方形，理由：點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，，，，，，，四邊形是平行四邊形，是正方形；故答案為：正方形；（2）證明：，，，、是關(guān)于和的對(duì)稱線段，，，，，．，，．，，，；（3）解：連接、，設(shè)，則由對(duì)稱可知，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為．10．（2023?廬陽(yáng)區(qū)一模）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上（不與端點(diǎn)，重合），點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，設(shè)．（1）求的大??；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．①求證：；②連接，若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，，，，四邊形是正方形，，，，；（2）①證明：如圖2，連接，，四邊形是正方形，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，由（1）知，，；②解：如圖3，連接，，四邊形是正方形，，，由①知：，，，，和均為等腰直角三角形，，，，，，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，，，，，在中，，，，．11．（2023?合肥模擬）在四邊形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于，垂足為，且．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點(diǎn)、、分別為線段、、的中點(diǎn)，連接、、．①求證：；②若，求的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：、都是等腰直角三角形，，，，，，；（2）①證明：，，，，如圖，作延長(zhǎng)線，交于點(diǎn)，點(diǎn)、、分別為線段、、的中點(diǎn)，、，四邊形為平行四邊形，，；②如圖，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，為中位線，，同理，又，，，．12．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，矩形中，平分交、于點(diǎn)、，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）若，．①求的值；②請(qǐng)直接寫出的值為．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，平分，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，．（2）解：①，，，，，，，，，，，，，，的值為．②連接，，，，，，，故答案為：2．13．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）已知四邊形，，，相交于點(diǎn)，且，，設(shè)，，．（1）①如圖1，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；；②如圖2，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；；（2）觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，利用圖3證明，，三者關(guān)系．（3）如圖4，在平行四邊形中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】解：（1）①，，，，，，，，，，故答案為：，；②，，，在中，，，，，，，，，故答案為：，；（2）．證明：設(shè)，，則，．根據(jù)勾股定理得：，同理，，又，；（3）如圖，連接，交于，與交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，，分別是的中線，由（2）的結(jié)論得：，，，．14．（2023?瑤海區(qū)二模）在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)．連接，將沿折疊得到，，分別交于點(diǎn)，，連接．（1）如圖1，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（?。┤簦瑒t（用含的式子表示）；（ⅱ）求證：；（2）如圖2，若，，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】（1）（?。┙猓簩⒀卣郫B得到，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，；（ⅱ）證明：，，，，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，四邊形是正方形，，，，，四邊形是正方形，，，，；，，，，，，，，，，在中，，，在中，，，，即．15．（2023?包河區(qū)二模）如圖1，已知四邊形中，，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖2，若平分交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，為的垂直平分線，；（2）證明：如圖1，在上取一點(diǎn)，使，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：平分，，，，，由（2）知：，，，由勾股定理得：，，，，設(shè)，則，，，解得，．16．（2023?廬陽(yáng)區(qū)二模）正方形中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，求證：平分；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，并截取，連接，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】見解析【詳解】（1）證明：是正方形的角平分線，平分，，，，，，，，平分；（2）證明：如圖2，連接并延長(zhǎng)交于，交于，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．故答案為：．17．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)二模）如圖1，在中，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．（1）求證：；（2）作，，垂足分別為點(diǎn)，，交于點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)平分時(shí)，求的值；②如圖3，連接交于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，，又，，；（2）解：①平分，，設(shè)，，，，，，，，，（負(fù)值已經(jīng)舍去），，，，，；②連接，，設(shè)交于點(diǎn)．．，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，解得，，．18．（2023?廬江縣模擬）（1）如圖1，過(guò)等邊的頂點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)為上點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接．①求證：；②連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，在中，，將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，求長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】（1）①證明：，理由如下：在等邊中，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，即，，；解：②連接，，如圖：由旋轉(zhuǎn)可得，，，是等邊三角形．，．是的垂直平分線，．在等邊中，，，．，即．，．，．．，．在中，，，．，，．，．．；（2）解：將邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則，，連接，如圖：是等腰直角三角形，，，．，．在中，．，．即，，，．．．19．（2023?合肥二模）問(wèn)題背景：如圖1，在等腰中，，，垂足為點(diǎn)，在中，，，連接，是中點(diǎn)，連接和，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？觀察發(fā)現(xiàn)：（1）為了探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，可先將圖形位置特殊化，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，如圖2，易知和之間的數(shù)量關(guān)系為；操作證明：（2）繼續(xù)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合時(shí)，如圖3，（1）中線段和之間的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請(qǐng)加以證明．問(wèn)題解決：（3）根據(jù)上述探究的經(jīng)驗(yàn)，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【答案】見解析【詳解】解：（1），，為的中點(diǎn)，，，，為的中點(diǎn)，，．故答案為：．（2）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，即，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，同理得：，．（3）成立；理由如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，，如圖所示：，，，，，，，，，，，，即，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，根據(jù)解析（2）可知，為的中點(diǎn)，，．20．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）【初步嘗試】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別為、邊上的點(diǎn)且，求證：．（2）【思考探究】如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、且，求的值．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別在線段、上，且．直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，；（2）解：如圖1，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)于，四邊形是矩形，，，，，，，，，，點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，，，，，，；（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，作于，作，，四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，，，，，同理（1）可得：，，，，，，，，設(shè)，，，．21．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）【問(wèn)題提出】如圖1，為的一條弦，點(diǎn)在弦所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)不變．愛動(dòng)腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，那么點(diǎn)是不是在某個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？【問(wèn)題探究】為了解決這個(gè)問(wèn)題，小芳先從一個(gè)特殊的例子開始研究．如圖2，若，線段上方一點(diǎn)滿足，為了畫出點(diǎn)所在的圓，小芳以為底邊構(gòu)造了一個(gè)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)在上．后來(lái)小芳通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論．即：若線段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，則點(diǎn)一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應(yīng)用】（1）若，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，若點(diǎn)所在圓的圓心為，則，劣弧的長(zhǎng)為．（2）如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若點(diǎn)是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長(zhǎng)為4，求的最小值．【答案】見解析【詳解】解：（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過(guò)作，，，，，，，，，，劣弧的長(zhǎng)為故答案為：，；（2）①，，，點(diǎn)是的內(nèi)心，，平分，，，，，，，，，；②如圖，作的外接圓，圓，連接，，，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由題意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圓，圓心為，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，，設(shè)優(yōu)弧所對(duì)的圓心角優(yōu)角為，則，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，．的最小值為．22．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖1，平行四邊形中，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連結(jié)，以為對(duì)稱軸作的軸對(duì)稱圖形．（1）如圖1，連接，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，恰有，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，若點(diǎn)在邊運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)到的最短距離為1，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1，與關(guān)于對(duì)稱，，，，，，，，，；（2）如圖2，四邊形是平行四邊形，，，，，，，與關(guān)于對(duì)稱，，，，，，設(shè)，則，，，，，，即，，解得：，；（3）如圖3，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，延長(zhǎng)交于，交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交于，設(shè)，，點(diǎn)始終在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到的最短距離為1，當(dāng)時(shí)，，，，在中，，四邊形是平行四邊形，，，，，，即，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，解得：，．23．（2023?合肥模擬）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交，于點(diǎn)，．設(shè)．（1）求證：；（2）如圖1，連接，若，求的值；（3）如圖2，若平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交，及的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)，，．若，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】（1）證明：由題意得，，，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，即，又，；（2）解：由（1）得：，，即，，，在中，設(shè)，則，，，，，，；（3）解：平分，，又，，由（2）知，，，連接，又，，，，，，為等腰直角三角形．過(guò)點(diǎn)作垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，，，又，，，，，解得：．24．（2023?包河區(qū)一模）如圖1，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點(diǎn)，，在同一條直線上，如圖2，求的值．（溫馨提示：請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的方式表示角）【答案】見解析【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，，，在與中，，；（2）證明：如圖1，由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖2，由（2）得，，，，，，，又，，，，又，，，，，，，，，（負(fù)值已舍），由（2）得，，，，在與中，，，，，，．25．（2023?合肥模擬）在四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．（1）如圖1，若平分，，，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在邊上，，分別垂直平分，，若，求證：；（3）如圖3，，，分別為，，的中點(diǎn)，連接分別交，于，，若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，，，，在與中，，，；（2）證明：連接，，，分別垂直平分，，，，在與中，，，，，，，，即；（3）解：分別過(guò)，作，的平行線交直線于，，，分別是，的中點(diǎn)，，又，，，同理，，．，，，，，，，，，．26．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：（3）在（2）的條件下，、交于點(diǎn)，若，則．【答案】見解析【詳解】解：（1）結(jié)論：四邊形是正方形．理由如下：是由繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，，，又，，四邊形是矩形，由旋轉(zhuǎn)可知：，四邊形是正方形；（2）結(jié)論：，證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，由旋轉(zhuǎn)可知：，由（1）可知：四邊形是正方形，，，；（3）由（1）可知：四邊形是正方形，，由（2）可知：，，．故答案為：．27．（2023?廬陽(yáng)區(qū)模擬）如圖①，是等腰直角三角形，在兩腰、外側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和，和分別是等邊三角形和的角平分線，連接、，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖②，點(diǎn)為角平分線上一點(diǎn)，且，求證：；（3）在（2）的條件下，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）是等腰直角三角形，和分別是等邊三角形和的角平分線，，，，，，，；（2），，，又，；（3）如圖②，連接，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，．又．，①；，②，由①可得，；由②可得，，．．28．（2023?合肥二模）在正方形中，點(diǎn)、、分別為、、邊上的一點(diǎn)，垂直平分，垂足為．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，交于點(diǎn)，連接，．①求證：是等腰直角三角形；②當(dāng)時(shí)，求值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖：在正方形中，，，，四邊形是平行四邊形，，垂直平分，，，，，，在和中，，，，；（2）①證明：過(guò)點(diǎn)作于，于，如圖：，四邊形為矩形，四邊形為正方形，，，四邊形為正方形，，，垂直平分，，，，，為等腰直角三角形；②解：過(guò)點(diǎn)作于，于，延長(zhǎng)交于，如圖：，，，即，由①知，，，，，，，由①知為等腰直角三角形，，，設(shè)，則，，，，，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，，，．的值是．29．（2023?瑤海區(qū)三模）已知和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，．（1）若，在線段上，連接并延長(zhǎng)交于，如圖1．①求證：；②求的長(zhǎng)．（2）若，點(diǎn)、、在一條直線上，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接、，如圖2，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）①在線段上，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，又，，；②由①可得，，，，，，；（2）如圖2，連接，中，，等腰中，，等腰中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，又，，，，，，．30．（2023?廬江縣二模）如圖，點(diǎn)，分別在矩形的邊和（或延長(zhǎng)線）上，連接，，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)為上任意一點(diǎn)，探究，，間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，是等腰三角形．（2）解：如圖1，作于點(diǎn)，，，四邊形和四邊形都是矩形，為中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，，，，，的長(zhǎng)是（3）解：，證明：如圖2，作于點(diǎn)，，，，，，，，．31．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）通過(guò)以前的學(xué)習(xí)，我們知道：“如圖1，在正方形中，，則”．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上學(xué)習(xí)后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究：（1）【問(wèn)題探究】如圖2，在正方形中，點(diǎn)，，，分別在線段，，，上，且，試猜想；（2）【知識(shí)遷移】如圖3，在矩形中，，，點(diǎn)，，，分別在線段，，，上，且，試猜想的值，并證明你的猜想；（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1），理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，，即，．故答案為：1；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，在長(zhǎng)方形中，，，，，，，，，，；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)交于點(diǎn)．，，，，，，，又，，，，，．32．（2023?蕪湖模擬）如圖，為菱形邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，交于，連接．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】（1）證明：設(shè)，則，四邊形是菱形，，，，，，，，，；（2）解：由（1）可知，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，即的長(zhǎng)為3．33．（2023?包河區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的中線，是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．交于點(diǎn)，，連接．如圖1，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，四邊形是平行四邊形．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)不與重合時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．（2）如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，且．①求的度數(shù)；②當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【詳解】解：（1）四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖2，過(guò)作交于，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在和中，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）①如圖3，取線段中點(diǎn)，連接，是的中線，為線段的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，；②設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得，，，，，，，即，整理得，解得：，（不合題意，舍去），的值為．34．（2023?瑤海區(qū)模擬）在菱形中，．（1）如圖1，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，，若，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，為線段上一點(diǎn)不與，重合），以為邊，構(gòu)造如圖所示等邊三角形，線段與交于點(diǎn)，連接，，為線段的中點(diǎn)，連接，，求證：．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1，連接，則平分，四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，