福建省廈門(mén)市2025屆高三數(shù)學(xué)線(xiàn)上質(zhì)量檢查試題文含解析

PAGE24-福建省廈門(mén)市2025屆高三數(shù)學(xué)線(xiàn)上質(zhì)量檢查試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合B，再與集合A求交集.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.橢圓：焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，推斷焦點(diǎn)位置，寫(xiě)焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)闄E圓：，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為，解得，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則數(shù)列的公差是（）A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)，，即，聯(lián)立求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，所以，，解得d=-1.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽弦圖及注文.弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱(chēng)為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成朱色及黃色，其面積稱(chēng)為朱實(shí)、黃實(shí).由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡(jiǎn)得勾2+股2=弦2.若圖中勾股形的勾股比為，向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲100顆圖釘（大小忽視不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘顆數(shù)大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】設(shè)勾為a，則股為，求得大正方形的邊長(zhǎng)，面積，小正方形的邊長(zhǎng)，面積，再利用幾何概型求得概率即可.【詳解】設(shè)勾為a，則股為，大正方形的邊長(zhǎng)為，則其面積為，小正方形的邊長(zhǎng)為，則其面積為，所以落在黃色圖形內(nèi)的概率為：，落在黃色圖形內(nèi)的圖釘顆數(shù)大約.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義求得，再利用兩角和與差的正切公式求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義及兩角和與差的正切公式，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.，是兩個(gè)平面，，是兩條直線(xiàn)，且，，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】利用面面平行和面面垂直的性質(zhì)定理推斷.【詳解】若，因?yàn)?，所以則，又因?yàn)?，所以，故B正確，A錯(cuò)誤.若，因?yàn)椋?，故C，D錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查面面平行和面面垂直的性質(zhì)定理，還考查了空間想象，理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.在菱形中，，，為的中點(diǎn)，則（）A.10 B.12 C.16 D.36【答案】B【解析】【分析】利用向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將，轉(zhuǎn)化為，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律和公式求解.【詳解】在菱形中，，，為的中點(diǎn)，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.8.已知數(shù)列滿(mǎn)意，（），則（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】D【解析】【分析】依據(jù)時(shí)，由，得兩式相減得：，得到數(shù)列是等比數(shù)列，再利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，又因?yàn)?，所以?shù)列時(shí)等比數(shù)列.所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.9.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，得，，，再比較.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的換底公式和對(duì)數(shù)比較大小，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.10.在正三棱柱中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一點(diǎn).有下列三個(gè)結(jié)論：①平面；②；③三棱錐的體積是定值.其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】充分利用正三棱柱的幾何特征，面面平行的性質(zhì)定理和線(xiàn)面垂直的推斷定理以及等體積法求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以平面BDF.又因?yàn)镈F//EG，所以EG//平面BDF，，所以平面平面BDF，所以平面，故①正確.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以平面BDF，所以，故②正確.，故③正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.11.已知雙曲線(xiàn)：（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，拋物線(xiàn)：（）的焦點(diǎn)與重合，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，且，則的離心率是（）A2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)拋物線(xiàn)的定義和，得到，再依據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，求得，，然后用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，因?yàn)?，所以，又，∴，在中，由余弦定理得即，∴∴，∴或又，∴，即，?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義和雙曲線(xiàn)的定義及幾何性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12.函數(shù)，若（）對(duì)恒成立，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由，求導(dǎo)，可知在R上是增函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，依據(jù)，對(duì)恒成立，則必有成立.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在R上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?duì)恒成立，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部是______.【答案】2【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)所以的虛部是2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解和理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.若，滿(mǎn)意約束條件則的最大值是______.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)，滿(mǎn)意約束條件，畫(huà)出可行域，平移所在的直線(xiàn)，找到最優(yōu)點(diǎn)，將坐標(biāo)代入求解.【詳解】因?yàn)?，滿(mǎn)意約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：平移所在的直線(xiàn)，找到最優(yōu)點(diǎn)A（1，1），所以的最大值是4.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，函數(shù)（，）的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，，直線(xiàn)交的圖象于點(diǎn)，（坐標(biāo)原點(diǎn)）為的重心，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)（坐標(biāo)原點(diǎn)）為的重心，，則有d，，得到，同時(shí)，是半個(gè)周期，可求得，再代入一個(gè)零點(diǎn)，求得即可.【詳解】因?yàn)椋ㄗ鴺?biāo)原點(diǎn)）為的重心，，所以，所以，所以.所以，，因?yàn)?，，所?所以.故答案為：①.②.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.16.已知數(shù)列滿(mǎn)意，且（），則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意有，兩式相減的，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是遞減數(shù)列，再依據(jù)求幾項(xiàng)即可.【詳解】依據(jù)題意得：，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是遞減數(shù)列，又因?yàn)?，所以，，的最大值?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.（1）求；（2）若，點(diǎn)在邊上，且，求的面積.【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將，轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再求解.（2）在中，利用余弦定理求得邊a，在中，求得，，再利用正弦定理求解.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴（2）如圖所示:∵，∴，∴，∵，∴.∵在中，，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.18.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，都垂直于平面，且.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）法一由，利用線(xiàn)面平行的判定定理，得到面，同理面，再由面面平行的判定定理得到面面即可.（2）法一：連接，交于點(diǎn)，利用線(xiàn)面垂直的判定定理易得面，面，面，∴，又，，四邊形為矩形，利用等體積法求解.【詳解】（1）法一∵，面，面，∴面，∵平面，平面，∴，又面，面，∴面，∵，∴面面，又面，∴面.法二：取中點(diǎn)，連接，，∵平面，平面，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴，∴，，，四點(diǎn)共面.∴面.又面，∴面.（2）法一：連接，交于點(diǎn)，∵面，面，∴.又，，∴面.等邊中，，，∵面，面，∴，又，.∴四邊形為矩形，∴.∴.法二：∵面，面，∴，又面，面，∴面.取中點(diǎn)，連接，∵面，面，∴，在等邊中，，又，∴面，∴到面的距離即為.又，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，還考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象的實(shí)力，屬于中檔題.19.鳳梨穗龍眼原產(chǎn)廈門(mén)，是廈門(mén)市的名果，栽培歷史已有100多年.龍眼干的級(jí)別按直徑的大小分為四個(gè)等級(jí)（如下表）.級(jí)別三級(jí)品二級(jí)品一級(jí)品特級(jí)品某商家為了解某農(nóng)場(chǎng)一批龍眼干的質(zhì)量狀況，隨機(jī)抽取了100個(gè)龍眼干作為樣本（直徑分布在區(qū)間），統(tǒng)計(jì)得到這些龍眼干的直徑的頻數(shù)分布表如下：頻數(shù)1297用分層抽樣的方法從樣本的一級(jí)品和特級(jí)品中抽取6個(gè)，其中一級(jí)品有2個(gè).（1）求、的值，并估計(jì)這批龍眼干中特級(jí)品的比例；（2）已知樣本中的100個(gè)龍眼干約500克，該農(nóng)場(chǎng)有500千克龍眼干待出售，商家提出兩種收購(gòu)方案：方案：以60元/千克收購(gòu)；方案：以級(jí)別分裝收購(gòu)，每袋100個(gè)，特級(jí)品40元/袋、一級(jí)品30元/袋、二級(jí)品20元/袋、三級(jí)品10元/袋.用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，哪個(gè)方案農(nóng)場(chǎng)的收益更高？并說(shuō)明理由.【答案】（1），；（2）應(yīng)選擇方案，理由見(jiàn)解析【解析】分析】（1）依據(jù)題意，建立方程組求解/（2）農(nóng)場(chǎng)選擇方案獲得的收入為（元），設(shè)農(nóng)場(chǎng)選擇方案獲得的收入為元，依題意先計(jì)算500千克龍眼干共可以分裝多少袋，再利用樣本估計(jì)總體，分別明確特級(jí)品，一級(jí)品，二級(jí)品，三級(jí)品各多少袋，再求解比較.【詳解】（1）依題意得，解得.∴所抽取的100個(gè)龍眼干中特級(jí)品的頻率為，∴用樣本頻率估計(jì)總體分布得，這批龍眼干中特級(jí)品的比例為58%.（2）農(nóng)場(chǎng)選擇方案獲得的收入為（元），設(shè)農(nóng)場(chǎng)選擇方案獲得的收入為元，則依題意得500千克龍眼干共可以分裝1000袋，用樣本頻率估計(jì)總體分布得：特級(jí)品有袋，一級(jí)品有袋，二級(jí)品有袋，三級(jí)品有袋.∴（元）∵，∴農(nóng)場(chǎng)應(yīng)選擇方案.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體，還考查了數(shù)據(jù)處理的實(shí)力，屬于中檔題.20.已知點(diǎn)，，直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，且它們的斜率乘積為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)：與交于，兩點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn).證明：.【答案】（1）（）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依據(jù)題意，即，再化簡(jiǎn)求解.（2）設(shè)直線(xiàn)：與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，由，得，又，，，要證，依據(jù)三角形中線(xiàn)定理，即證，再利用向量法由求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，化簡(jiǎn)得：，又，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（）.（2）設(shè)直線(xiàn)：與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，，由，得，又，，，法一：要證，即證，即證①，∵，，∴，.故①式成立，則命題得證.法二：點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，故，則命題得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，恒成立求解.（2）利用換元法，設(shè)，將，轉(zhuǎn)化為，則由，，∴，得到有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），再將證明，轉(zhuǎn)化為證明，令（），求其最大值即可.【詳解】（1）依題意得在上恒成立，得，∵（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴的取值范圍為.（2）令，設(shè)，則（*），當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為，（），則，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），∴，（），令（），∴，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.∴，∴，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出的