專題08解題技巧專題：圓中輔助線的作法壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題08解題技巧專題：圓中輔助線的作法壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一遇弦作弦心距或半徑】 1【類型二遇直徑構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角】 5【類型三遇切線連接圓心和切點(diǎn)】 14【典型例題】【類型一遇弦作弦心距或半徑】例題：（2023秋·河北張家口·九年級(jí)張家口東方中學(xué)?？计谀┤鐖D，的半徑為6cm，是弦，于點(diǎn)C，將劣弧沿弦折疊，交于點(diǎn)D，若D是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一個(gè)寬度為的刻度尺在圓形光盤上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與光盤相切時(shí)，另一邊與光盤邊緣兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：），那么光盤的半徑是．

2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

3．（2023·甘肅慶陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個(gè)圓拱形門，路面寬為，凈高，則圓形拱門所在圓的半徑為．【類型二遇直徑構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為的直徑，D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．

(1)求證；(2)若弧AE的度數(shù)為，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江佳木斯·校聯(lián)考二模）如圖，是的外接圓，，，則的直徑等于．

2．（2023春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，弦與交于點(diǎn)E，若，，則．

3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．4．（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的邊為直徑作交于且，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為6的中，是直徑．已知：，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，連接交與點(diǎn)F，作．回答下列問題：(1)求證：點(diǎn)C是弧的三等分點(diǎn)．(2)求的長(zhǎng)．6．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的邊為直徑的分別交，于點(diǎn)，，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求線段的長(zhǎng)．【類型三遇切線連接圓心和切點(diǎn)】例題：（2023秋·河南·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，為的直徑，，是上不同于，的兩點(diǎn)，過點(diǎn)的切線垂直于交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，，則的長(zhǎng)為__________．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的頂點(diǎn)A，，在上，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若的半徑為，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，的切線交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為切點(diǎn)，若，的半徑為3，則的長(zhǎng)為．

4．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·?？既＃┤鐖D，在中，是直徑，弦垂直于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．若，則等于．5．（2023·河南周口·周口恒大中學(xué)?？既＃┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)C、D為上兩點(diǎn)，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接．過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．6．（2023·遼寧沈陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，半徑，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的弦與相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，且為的中點(diǎn)，求的半徑長(zhǎng)．7．（2023春·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，過點(diǎn)C作的切線l，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D．

(1)求證：平分；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．8．（2023·廣東惠州·校考二模）如圖1，是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出的中點(diǎn)．（點(diǎn)C，D在線段AB異側(cè)）；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)D作的切線，分別交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：；②過C作于M，交于點(diǎn)N，若，，求的長(zhǎng)．

專題08解題技巧專題：圓中輔助線的作法壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一遇弦作弦心距或半徑】 1【類型二遇直徑構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角】 5【類型三遇切線連接圓心和切點(diǎn)】 14【典型例題】【類型一遇弦作弦心距或半徑】例題：（2023秋·河北張家口·九年級(jí)張家口東方中學(xué)?？计谀┤鐖D，的半徑為6cm，是弦，于點(diǎn)C，將劣弧沿弦折疊，交于點(diǎn)D，若D是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

【答案】/厘米【分析】連接，延長(zhǎng)交弧于，可證，從而可求，由，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，延長(zhǎng)交弧于，

由折疊得：，是的中點(diǎn)，，，，，，在中，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握相關(guān)的性質(zhì)，構(gòu)建出由弦、弦心距、半徑組成的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一個(gè)寬度為的刻度尺在圓形光盤上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與光盤相切時(shí)，另一邊與光盤邊緣兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：），那么光盤的半徑是．

【答案】5【分析】設(shè)光盤的圓心為O，過點(diǎn)O作垂直直尺于點(diǎn)A，連接，再設(shè)，利用勾股定理求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)光盤的圓心為O，如圖所示：

過點(diǎn)O作垂直直尺于點(diǎn)A，連接，再設(shè)，∵一邊與光盤邊緣兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”，∴，∵刻度尺寬，∴，在中，，即，解得：．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，依題意，得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．∴，在中，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·甘肅慶陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個(gè)圓拱形門，路面寬為，凈高，則圓形拱門所在圓的半徑為．【答案】【分析】如圖所示，連接，設(shè)⊙O的半徑為r，則，利用垂徑定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)⊙O的半徑為r，則，∵，∴，由勾股定理，得：，即：，解得，∴圓拱形門所在圓的半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【類型二遇直徑構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為的直徑，D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．

(1)求證；(2)若的度數(shù)為，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，首先證明，即可求解；（2）根據(jù)的度數(shù)為，可得到，根據(jù)，且，即可求解．【詳解】（1）如圖：連接

是的直徑，即又．（2）的度數(shù)為又，且．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和圓心角，弧、弦的關(guān)系，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江佳木斯·校聯(lián)考二模）如圖，是的外接圓，，，則的直徑等于．

【答案】4【分析】連接并延長(zhǎng)交于D，連接，得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于D，連接，

則，∵，∴，∵，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，含角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，弦與交于點(diǎn)E，若，，則．

【答案】/50度【分析】連接，利用三角形外角的性質(zhì)即可求出，即可求出答案．【詳解】解：連接，如圖所示，

∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解(2)【分析】（1）首先根據(jù)直徑的性質(zhì)得到，然后結(jié)合即可證明出；（2）連接，首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)垂徑定理得到，利用三角形中位線的性質(zhì)得到，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴．∴．∵．∴；（2）解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，．∴在中，．∵，是的半徑，∴．∴為的中位線．∴．∴．∴．∴；【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的運(yùn)用，勾股定理，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．4．（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的邊為直徑作交于且，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由四邊形內(nèi)接于，得出，根據(jù)已知，得出，又，得出，等量代換得出，根據(jù)等角對(duì)等邊，即可得證；（2）根據(jù)為直徑，得出，根據(jù)已知以及（1）的結(jié)論，得出，，設(shè)，則，在中，根據(jù)相等，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于，∴，又∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵為直徑，∴，∴，，由（1），，∴，∴，∴，∴，由（1）可得，，則，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為6的中，是直徑．已知：，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，連接交與點(diǎn)F，作．回答下列問題：(1)求證：點(diǎn)C是弧的三等分點(diǎn)．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由是直徑，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，得到，再由圓周角定理得到，利用三角形內(nèi)角和定理求出，即可證明是等邊三角形，得到，再由是直徑，即可證明點(diǎn)C是弧的三等分點(diǎn)；（2）先由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，再由等邊三角形的性質(zhì)得到，利用勾股定理求出，由圓周角定理得到，即可推出，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵是直徑，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，又∵是直徑，∴點(diǎn)C是弧的三等分點(diǎn)；（2）∵是直徑，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的邊為直徑的分別交，于點(diǎn)，，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出，再根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，得出是的角平分線，然后再根據(jù)等腰三角形的判定定理，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的面積公式，得出，解得，再根據(jù)勾股定理，得出，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴是的角平分線，∴是等腰三角形；（2）解：如圖，連接，在中，∵，，∴，∴，又∵，是等腰三角形，∴是的中線，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，解得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和等面積法．【類型三遇切線連接圓心和切點(diǎn)】例題：（2023秋·河南·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，為的直徑，，是上不同于，的兩點(diǎn)，過點(diǎn)的切線垂直于交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，，則的長(zhǎng)為__________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可證，從而可證，即可求證．（2）過作交于，可求，，，接可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

為的切線，，，，，，，，．（2）解：過作交于，

由（1）得：，，，，是的直徑，，，，，解得：，；故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連結(jié)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)，得到，根據(jù)，得到，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得．【詳解】解：如圖，連結(jié)，

是的切線，，，，，，設(shè)，在中，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，體現(xiàn)了方程思想，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的頂點(diǎn)A，，在上，過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若的半徑為，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，

四邊形是菱形，，，，，是的切線，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，的切線交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為切點(diǎn)，若，的半徑為3，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半計(jì)算即可；【詳解】如圖，連接，

∵是的切線，∴，即，又，的半徑為3，∴，∴．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·?？既＃┤鐖D，在中，是直徑，弦垂直于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．若，則等于．【答案】36【分析】連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接，弦，．，，由圓周角定理得，，是的切線，，；故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南周口·周口恒大中學(xué)?？既＃┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)C、D為上兩點(diǎn)，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接．過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）連接，由點(diǎn)D為的中點(diǎn)可得，再根據(jù)同圓的半徑相等得，進(jìn)而得到，然后再根據(jù)切線的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，即可得到，從而得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接，

∵點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，為的切線，∴，即：，∴．（2）解：∵由勾股定理得：，∵四邊形內(nèi)接于，∴，由（1）可知：，∴，在和中，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弦、弧、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)．6．（2023·遼寧沈陽(yáng)·校考一模）如圖，為的直徑，半徑，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的弦與相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，且為的中點(diǎn)，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為，則，求得，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，

，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，即，，，，，，，，，；（2）解：設(shè)的半徑為，則，，為的中點(diǎn)，，，在中，，，解得：或（舍去），的半徑長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、等