2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十七：拋物線上翻折問題的探究(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十七：拋物線上翻折問題的探究典例分析例1（2022衡陽(yáng)中考）如圖，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點(diǎn)．（1）寫出圖象位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出的值；（3）為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．專題過關(guān)1.（2022沈陽(yáng)中考）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將曲線，沿y軸向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（）．曲線與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形是平行四邊形，直接寫出P的坐標(biāo)．2.（2022西寧中考）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)，將沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．（1）求拋物線解析式；（2）連接BE，求的面積；（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3.（2022柳州中考）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．4.（2022成都中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；（3）試探究直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．5.（2022宿遷中考）如圖，二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接、，若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，線段與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)與、點(diǎn)不重合．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①求證：；②求；（3）當(dāng)時(shí)，求直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．6.（2022邵陽(yáng)中考）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C(3，0)在拋物線上．（1）求該拋物線的表達(dá)式．（2）正方形OPDE的頂點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，頂點(diǎn)P在線段OC上，頂點(diǎn)E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在條件（2）下，點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長(zhǎng)度的最小值．7.（2022武威中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）連接．①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．8.（2021錦州中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+1的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)M在直線CD下方，直線OM（OM∥CD的情況除外）交直線CD于點(diǎn)B，作直線BD關(guān)于直線OM對(duì)稱的直線BD′，當(dāng)直線BD′與坐標(biāo)軸平行時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．9.（2021呼倫貝爾中考）如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（4，m）．拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為H、K（點(diǎn)H在點(diǎn)K的左側(cè)）．點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)F作直線FC⊥x軸于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AC，是否存在點(diǎn)F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）如圖2，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，過點(diǎn)F作任意直線l，把△CEF沿直線l翻折180°，翻折后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)Q，求出當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并直接寫出翻折過程中線段KQ的最大值和最小值．10．（2021鎮(zhèn)江中考）（11分）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（﹣4，8），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在邊AC上（異于點(diǎn)A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，折痕所在直線l交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，然后將紙片展開．①請(qǐng)作出圖中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N和折痕所在直線l；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②連接MP，NP，在下列選項(xiàng)中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點(diǎn)可以落在拋物線的對(duì)稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是．③點(diǎn)Q在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當(dāng)△PDQ～△PMN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．11．（2021無(wú)錫中考）（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交BC于點(diǎn)F，交二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．12.（2021聊城中考）如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，已知A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，0），C（0，﹣2），連接AC，BC．（1）求拋物線的表達(dá)式和AC所在直線的表達(dá)式；（2）將ABC沿BC所在直線折疊，得到DBC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D是否落在拋物線的對(duì)稱軸上，若點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若點(diǎn)D不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線位于第三象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)Q，連接BP，BPQ的面積記為S1，ABQ的面積記為S2，求的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．（2021營(yíng)口中考）（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝3x2+bx+c過點(diǎn)A（0，﹣2），B（2，0），點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接AB，AC，BC，其中AC與x軸交于點(diǎn)E，且tan∠OBC＝2．（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P（m，0）為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B，E重合），過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與△ABC的邊分別交于M，N兩點(diǎn)，將△BMN沿直線MN翻折得到△B′MN，設(shè)四邊形B′NBM的面積為S，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若S＝3S△ACB′，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的m值．14.（2021錦州中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+1的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)M在直線CD下方，直線OM（OM∥CD的情況除外）交直線CD于點(diǎn)B，作直線BD關(guān)于直線OM對(duì)稱的直線BD′，當(dāng)直線BD′與坐標(biāo)軸平行時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．15.（2021益陽(yáng)中考）已知函數(shù)y＝的圖象如圖所示，點(diǎn)A（x1，y1）在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象上．（1）若點(diǎn)B（x2，y2）也在上述函數(shù)圖象上，滿足x2＜x1．①當(dāng)y2＝y(tǒng)1＝4時(shí)，求x1，x2的值；②若|x2|＝|x1|，設(shè)w＝y(tǒng)1﹣y2，求w的最小值；（2）過A點(diǎn)作y軸的垂線AP，垂足為P，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，過A點(diǎn)作x軸的垂線AQ，垂足為Q，Q關(guān)于直線AP′的對(duì)稱點(diǎn)為Q′，直線AQ′是否與y軸交于某定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十七：拋物線上翻折問題的探究典例分析例1（2022衡陽(yáng)中考）如圖，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點(diǎn)．（1）寫出圖象位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出的值；（3）為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）或（3）存在，或或【解析】【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可；（2）聯(lián)立方程組，由判別式△=0求得b值，結(jié)合圖象即可求解；（3）根據(jù)相似三角形性質(zhì)分∠CNM=90°和∠NCM=90°討論求解即可．【小問1詳解】解：由翻折可知：.令，解得：，，∴，，設(shè)圖象的解析式為，代入，解得，∴對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為=．【小問2詳解】解：聯(lián)立方程組，整理，得：，由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由圖象可知，當(dāng)b=2或b=3時(shí)，直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)；【小問3詳解】解：存在．如圖1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，N與C關(guān)于直線x=對(duì)稱，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1，∴；如圖2，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，由，解得，（舍），∴N的橫坐標(biāo)為，所以；如圖3，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線的解析式為，聯(lián)立方程組：，解得，（舍），∴N的橫坐標(biāo)為，所以，因此，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及翻折性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，綜合體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運(yùn)用，屬于綜合題型，有點(diǎn)難度．專題過關(guān)1.（2022沈陽(yáng)中考）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將曲線，沿y軸向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（）．曲線與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形是平行四邊形，直接寫出P的坐標(biāo)．【答案】（1）①；②（2）（2，-4）（3）【解析】【分析】（1）①利用待定系數(shù)解答，即可求解；②利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）過點(diǎn)E作EG⊥x軸交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，然后根據(jù)△EFG∽△BFH，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的圖象解析式為，可得向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為，平移后拋物線剩下部分的解析式為，分別求出直線BC和直線的解析式為，可得BC∥C′G′，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)，然后分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在向上翻折部分平移后的圖象上，點(diǎn)Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點(diǎn)Q在向上翻折部分平移后的圖象上時(shí)，即可求解．【小問1詳解】解：①把點(diǎn)和點(diǎn)代入得：，解得：，∴拋物線解析式為；②令y=0，則，解得：，∴點(diǎn)A（-2，0），設(shè)直線AD的解析式為，∴把點(diǎn)和點(diǎn)A（-2，0）代入得：，解得：，∴直線AD的解析式為；【小問2詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥x軸交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，當(dāng)x=6時(shí)，，∴點(diǎn)H（6，-4），即BH=4，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，∵的面積記為，的面積記為，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x軸，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0（舍去），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-4）；【小問3詳解】解：，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，-4），當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即點(diǎn)C（0，-3），∴點(diǎn)，∴向上翻折部分的圖象解析式為，∴向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為，平移后拋物線剩下部分的解析式為，設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，同理直線的解析式為，∴BC∥C′G′，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)C′向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)G′，∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時(shí)，，解得：（不合題意，舍去），當(dāng)點(diǎn)P在向上翻折部分平移后的圖象上，點(diǎn)Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時(shí)，，解得：或（不合題意，舍去），當(dāng)點(diǎn)P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點(diǎn)Q在向上翻折部分平移后的圖象上時(shí)，，解得：或（不合題意，舍去），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2.（2022西寧中考）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)，將沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．（1）求拋物線解析式；（2）連接BE，求的面積；（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）2（3）存在，或【解析】【分析】（1）先根據(jù)翻折得到E點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）先確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后確定直線AB的解析式，進(jìn)而確定、、，最后根據(jù)結(jié)合三角形的面積公式即可解答；（3）先說明是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，然后分點(diǎn)P在x軸上方和下方兩種情況分別解答即可．【小問1詳解】解：∵沿CD所在直線翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處∴把A，E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得∴拋物線的解析式為．【小問2詳解】解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)B∴令時(shí)，∴設(shè)直線AB的解析式為把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得解得∴直線AB的解析式為；∴點(diǎn)C在直線AB上軸于點(diǎn)當(dāng)時(shí)∴∴∴，，∴∴的面積是2．【小問3詳解】解：存在，理由如下：∵，∴在中∴是等腰直角三角形∵點(diǎn)P在拋物線上∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)記為，過作軸于點(diǎn)M在中∵∴即解得（舍去）當(dāng)時(shí)∴②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)記為，過作軸于點(diǎn)N在中∴∴∴解得（舍去）當(dāng)時(shí)∴綜上，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及求二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何圖形綜合等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及其與幾何知識(shí)的聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵．3.（2022柳州中考）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）b=4，c=5，m=5（2）當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，8）（3）所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，），（2，﹣9）【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（2）先求解拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，設(shè)D（x，﹣x2+4x+5），則E（4﹣x，﹣x2+4x+5），證明四邊形DEFG是矩形，而可得四邊形DEFG的周長(zhǎng)＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）過點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱軸于H，過點(diǎn)N作NK⊥y軸于K，證明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直線的解析式為：可得設(shè)P（2，p），再利用勾股定理表示BP2＝，再分兩種情況建立方程求解即可．【小問1詳解】把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得：∴這個(gè)拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，則﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；【小問2詳解】∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴對(duì)稱軸為x＝2，設(shè)D（x，﹣x2+4x+5），∵軸，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥x軸，∴四邊形DEFG是矩形，∴∴四邊形DEFG的周長(zhǎng)＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴當(dāng)x＝3時(shí)，四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大，∴當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，8）；【小問3詳解】過點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱軸于H，過點(diǎn)N作NK⊥y軸于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥對(duì)稱軸于H，∴軸，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴對(duì)稱軸為x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），設(shè)直線BN的解析式為y＝mx+n，∴解得：∴直線的解析式為：∴設(shè)P（2，p），∴BP2＝，分兩種情況：①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP2＝PQ2+BQ2，∴解得：∴②當(dāng)∠QBP＝90°時(shí)，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴解得：∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2，﹣9）．綜上，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱軸的性質(zhì)，二次函數(shù)與直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．4.（2022成都中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；（3）試探究直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）或（3）是，【解析】【分析】(1)解方程組，整理得到，解方程即可得到答案．(2)分k＜0和k＞0，兩種情形求解．(3)設(shè)直線A的解析式為y=px+q，根據(jù)題意求得p，q的值，結(jié)合方程組的意義，確定與y軸的交點(diǎn)即可．【小問1詳解】根據(jù)題意，得，整理得到，解方程，得，當(dāng)x=-3時(shí)，y=-9；當(dāng)x=1時(shí)，y=-1；∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-9），點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-1）．【小問2詳解】∵A，B是拋物線圖像上的點(diǎn)，設(shè)A（m，），B（n，），則（-n，），當(dāng)k＞0時(shí)，根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是兩個(gè)根，∴，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；當(dāng)k＜0時(shí)，根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個(gè)根，∴，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；綜上所述，k的值為或．【小問3詳解】直線A一定過定點(diǎn)（0，3）．理由如下：∵A，B是拋物線圖像上的點(diǎn)，∴設(shè)A（m，），B（n，），則（-n，），根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個(gè)根，∴，設(shè)直線A的解析式為y=px+q，根據(jù)題意，得，解得，∴直線A的解析式為y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直線A的解析式為y=（n-m）x+3，故直線A一定過定點(diǎn)（0，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，對(duì)稱性，熟練掌握拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)，及其根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．5.（2022宿遷中考）如圖，二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接、，若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，線段與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)與、點(diǎn)不重合．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①求證：；②求；（3）當(dāng)時(shí)，求直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①證明見解析，②（3）或．【解析】【分析】（1）二次函數(shù)與軸交于(0，0)，A(4，0)兩點(diǎn)，代入求得b，c的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①由＝，得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣2），拋物線和對(duì)稱軸為直線x＝2，由拋物線的對(duì)稱性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，進(jìn)一步得到∠COD＝∠，由對(duì)頂角相等得∠ODC＝∠BD，證得結(jié)論；②由，得到，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（d，0），由兩點(diǎn)間距離公式得DC＝，在0＜d＜4的范圍內(nèi)，當(dāng)d＝2時(shí)，DC有最小值為，得到的最小值，進(jìn)一步得到的最小值；（3）由和得到，求得B＝AB＝1，進(jìn)一步得到點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，把點(diǎn)B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直線BC的解析式為y＝2x－6，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（p，q），則線段A的中點(diǎn)為（，），由折疊的性質(zhì)知點(diǎn)（，）在直線BC上，求得q＝2p－4，由兩點(diǎn)間距離公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為y＝x＋，由待定系數(shù)法求得直線的解析式為y＝x＋4，聯(lián)立直線和拋物線，解方程組即可得到答案．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點(diǎn)，∴代入(0，0)，(4，0)得，，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；【小問2詳解】①證明：∵＝，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣2），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，∵二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點(diǎn)，∴由拋物線的對(duì)稱性可知OC＝AC，∴∠CAB＝∠COD，∵沿折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，線段與軸交于點(diǎn)，∴△ABC≌△BC，∴∠CAB＝∠，AB＝B，∴∠COD＝∠，∵∠ODC＝∠BD，∴；②∵，∴，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（d，0），由兩點(diǎn)間距離公式得DC＝，∵點(diǎn)與、點(diǎn)不重合，∴0＜d＜4，對(duì)于＝來(lái)說，∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，在頂點(diǎn)處取最小值，當(dāng)d＝2時(shí)，的最小值是4，∴當(dāng)d＝2時(shí)，DC有最小值為，由兩點(diǎn)間距離公式得OC＝，∴有最小值為，∴的最小值為；【小問3詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵OC＝2，∴B＝AB＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，把點(diǎn)B（3，0），C（2，﹣2）代人得，解得，∴直線BC的解析式為y＝2x－6，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（p，q），∴線段A的中點(diǎn)為（，），由折疊的性質(zhì)知點(diǎn)（，）在直線BC上，∴＝2×－6，解得q＝2p－4，由兩點(diǎn)間距離公式得B＝，整理得＝1，解得p＝2或p＝，當(dāng)p＝2時(shí)，q＝2p－4＝0，此時(shí)點(diǎn)（2，0），很顯然不符合題意，當(dāng)p＝時(shí)，q＝2p－4＝，此時(shí)點(diǎn)（，），符合題意，設(shè)直線的解析式為y＝x＋，把點(diǎn)B（3，0），（，）代人得，，解得，∴直線的解析式為y＝x＋4，聯(lián)立直線和拋物線得到，，解得，，∴直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)求函數(shù)的表達(dá)式、兩點(diǎn)間距離公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖形的折疊等知識(shí)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題，數(shù)形結(jié)合是解決此問題的關(guān)鍵．6.（2022邵陽(yáng)中考）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C(3，0)在拋物線上．（1）求該拋物線的表達(dá)式．（2）正方形OPDE的頂點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，頂點(diǎn)P在線段OC上，頂點(diǎn)E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在條件（2）下，點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）該拋物線的表達(dá)式為y=x2+x+2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(2，0)；（3）線段CD'長(zhǎng)度的最小值為1．【解析】【分析】（1）先求得點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(0，2)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況討論：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；（3）按照（2）的結(jié)論，分兩種情況討論，當(dāng)P、D'、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD'長(zhǎng)度取得最小值，據(jù)此求解即可．【小問1詳解】解：令x=0，則y=2x+2=2，令y=0，則0=2x+2，解得x=-1，點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴該拋物線的表達(dá)式為y=x2+x+2；【小問2詳解】解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分兩種情況：①△AOB≌△DPC，則AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)；②△AOB≌△CPD，則OB=PD=2，∴正方形OPDE的邊長(zhǎng)為2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(2，0)；【小問3詳解】解：①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)時(shí)，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對(duì)稱，∴PD'=PD，∴點(diǎn)D'在以點(diǎn)P為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、D'、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD'長(zhǎng)度取得最小值，最小值為2-1=1；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)時(shí)，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對(duì)稱，∴PD'=PD，∴點(diǎn)D'在以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、C、D'三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD'長(zhǎng)度取得最小值，最小值為2-1=1；綜上，線段CD'長(zhǎng)度的最小值為1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論．7.（2022武威中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）連接．①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）①；②【解析】【分析】（1）把點(diǎn)B代入拋物線關(guān)系式，求出a的值，即可得出拋物線的關(guān)系式；（2）根據(jù)拋物線可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)，利用三角函數(shù)，求出DE的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同，得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入拋物線的關(guān)系式，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；（3）①連接交于點(diǎn)，設(shè)，則，求出，得出點(diǎn)，將其代入拋物線關(guān)系式，列出關(guān)于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐標(biāo)；②在下方作且，連接，，證明，得出，說明當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，過作，垂足為，先證明∠CAH=45°，算出AC長(zhǎng)度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根據(jù)勾股定理求出CQ的長(zhǎng)度即可得出結(jié)果．【小問1詳解】解：∵在拋物線上，∴，解得，∴，即；【小問2詳解】在中，令，得，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴．【小問3詳解】①連接交于點(diǎn)，如圖1所示：∵與關(guān)于軸對(duì)稱，∴，，設(shè)，則，，∴，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得（舍去），，∴；②在下方作且，連接，，如圖2所示：∵，∴，∴，∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，過作，垂足為，∵，，∴，，∵，，，，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的關(guān)系式，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，證明，得出當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，是解題的關(guān)鍵．8.（2021錦州中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+1的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)M在直線CD下方，直線OM（OM∥CD的情況除外）交直線CD于點(diǎn)B，作直線BD關(guān)于直線OM對(duì)稱的直線BD′，當(dāng)直線BD′與坐標(biāo)軸平行時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀；運(yùn)算能力；模型思想．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝；（2）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）；②點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或或．【分析】（1）先由直線解析式求出A，C，D的坐標(biāo)，再由C，D坐標(biāo)求出拋物線解析式；（2）①因?yàn)橹本€BD′與坐標(biāo)軸平行，所以BD′∥x軸和BD′∥y軸分類討論，以BD′∥x軸為例，畫出草圖，由于BM平分∠DBD′，又∠AOB＝∠D′BM，等量代換，可以證得△AOB是等腰三角形，求出AB的長(zhǎng)度，并且有A和D點(diǎn)坐標(biāo)，求出∠DAO的三角函數(shù)值，過B作BH⊥x軸于H，在直角△ABH中，利用AB的長(zhǎng)度，和∠BAH的三角函數(shù)值，求出AH和BH的長(zhǎng)度，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線OB的解析式，聯(lián)立直線OB和拋物線解析式，求得交點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)BD′∥y軸，用同樣的方法解決．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝x+1＝1，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），令y＝0，則，①∴，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），令x＝6，則y＝，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（），將C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到拋物線解析式中得，，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝；（2）①設(shè)N（n，0），∵四邊形CDMN為平行四邊形，∴由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得M（n+6，），∵點(diǎn)M在拋物線上，∴，∴n2+9n﹣4＝0，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）；②第一種情況：如圖1，當(dāng)BD′∥x軸時(shí)，分別過A，D作x軸的垂線，垂足分別為H，Q，在直角△ADQ中，AQ＝6+＝，DQ＝，∴tan∠DAQ＝＝，∴cos∠DAQ＝，∵∠BAH＝∠DAQ，∴cos∠BAH＝，∵直線BD與直線BD′關(guān)于直線OM對(duì)稱，∴∠DBM＝∠D′BM，∵BD′∥x軸，∴∠HOB＝∠D′BM＝∠DBM，∴AB＝AO＝，∴，∴AH＝，∴OH＝AH+AO＝令x＝﹣，則y＝＝，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，代入點(diǎn)B得，k＝，∴直線OB的解析式為y＝x，聯(lián)立，解得，，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或，第二種情況，如圖2，當(dāng)BD′∥y軸時(shí)，設(shè)BD′交x軸于H，∴∠COB＝∠OBH，∵直線BD與直線BD′關(guān)于直線OM對(duì)稱，∴∠CBO＝∠OBH＝∠COB，∴CB＝CO＝1，過C作CE⊥BH于E，∴CE∥x軸，∴∠BCE＝∠CAO，∵tan∠CAO＝＝，∴cos∠CAO＝，∴cos∠BCE＝＝，∴CE＝＝，∴＝，∵CE⊥BH，BH⊥x軸，∴∠CEH＝∠BHO＝∠COH＝90°，∴四邊形CEHO為矩形，∴EH＝CO＝1，CE＝OH＝，∴BH＝BE+EH＝，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（），∴直線OB的解析式為y＝2x，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，x211x+4＝0，∴，∵點(diǎn)M在直線CD下方，∴x＜6，∴x＝，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或或．9.（2021呼倫貝爾中考）如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（4，m）．拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為H、K（點(diǎn)H在點(diǎn)K的左側(cè)）．點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)F作直線FC⊥x軸于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AC，是否存在點(diǎn)F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）如圖2，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，過點(diǎn)F作任意直線l，把△CEF沿直線l翻折180°，翻折后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)Q，求出當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并直接寫出翻折過程中線段KQ的最大值和最小值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)F（3，5）或（，）；（3）當(dāng)時(shí)，CF最大即△FEC的周長(zhǎng)最大，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為，折疊過程中，KQ的最大值為，KQ的最小值為．【分析】（1）先把點(diǎn)B代入直線的解析式，求出m的值，再把點(diǎn)A和點(diǎn)B代入拋物線的解析式，即可求出拋物線的解析式；（2）先設(shè)出F的坐標(biāo)，然后分A為直角頂點(diǎn)和C為直角頂點(diǎn)兩種情況，利用等腰直角三角形得性質(zhì)即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）先設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后表示出三角形CEF的周長(zhǎng)，求出周長(zhǎng)取最大值時(shí)點(diǎn)C和F的坐標(biāo)即可，折疊過程中，當(dāng)K，F(xiàn)，Q共線，且K和Q在F兩側(cè)時(shí)，KQ的最大，K和Q在F同側(cè)時(shí)，KQ的最?。窘獯稹拷猓海?）∵直線y＝x+2過點(diǎn)B（4，m），∴m＝4+2，解得m＝6，∴B（4，6），把點(diǎn)A和B代入拋物線的解析式，得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點(diǎn)F，使△FAC為直角三角形，設(shè)F（n，n+2），直線AB與x軸交與M，則M（﹣2，0），直線AB與y軸交與點(diǎn)N，則N（0，2），∵FC∥y軸，∴C（n，2n2﹣8n+6），∵直線y＝x+2與x軸的交點(diǎn)為M（﹣2，0），與y軸交點(diǎn)為N（0，2），∴OM＝ON＝2，∴∠ONM＝45°，∵FC∥y軸，∴∠AFC＝∠ONM＝45°，若△FAC為直角三角形，則分兩種情況討論：（i）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，即∠FAC＝90°，過點(diǎn)A作AD⊥FC于點(diǎn)D，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AF＝AC，∴DF＝DC，∴AD＝FC，∵n＝，化簡(jiǎn)得：2n2﹣7n+3＝0，解得：n1＝3，（與A重合舍去），∴F（3，5），（ii）若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，即∠FCA＝90°，則AC∥x軸，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AC＝CF，∴n＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6，化簡(jiǎn)得：4n2﹣16n+7＝0，解得：，（舍去），∴F（，），綜上所述：存在點(diǎn)F（3，5）或（，），使△FAC為直角三角形；（3）設(shè)F（c，c+2），∵FC∥y軸，∴C（c，2c2﹣8c+6），在Rt△FEC中，∵∠AFC＝45∴EF＝EC＝CF?sin∠AFC＝，∴當(dāng)CF最大時(shí)，△FEC的周長(zhǎng)最大，∵CF＝（c+2）﹣（2c2﹣8c+6）＝﹣2c2+9c﹣4＝，又∵﹣2＜0，∴當(dāng)時(shí)，CF最大即△FEC的周長(zhǎng)最大，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為，折疊過程中，當(dāng)K，F(xiàn)，Q共線，且K和Q在F兩側(cè)時(shí)，KQ的最大，K和Q在F同側(cè)時(shí)，KQ的最小，∵CF＝，由（1）知點(diǎn)K的坐標(biāo)為（3，0），∴KF＝，∴KQ的最大值為CF+KF＝，KQ的最小值為CF﹣KF＝．10．（2021鎮(zhèn)江中考）（11分）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（﹣4，8），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在邊AC上（異于點(diǎn)A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，折痕所在直線l交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，然后將紙片展開．①請(qǐng)作出圖中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N和折痕所在直線l；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②連接MP，NP，在下列選項(xiàng)中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點(diǎn)可以落在拋物線的對(duì)稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是．③點(diǎn)Q在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當(dāng)△PDQ～△PMN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．（2）①根據(jù)要求作出圖形即可．②如圖2中，設(shè)線段MN的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P，交MN于點(diǎn)Q，很高點(diǎn)M作MH⊥CD，過點(diǎn)Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想辦法證明△PMN是等腰直角三角形，可得結(jié)論．③設(shè)P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），構(gòu)建方程求出m即可．【解答】解（1）由題意得：，解之得：a＝，b＝，c＝2，∴y＝+，∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝＝﹣，∴D（﹣4，﹣）．（2）①如圖1中，點(diǎn)N，直線l即為所求．②如圖2中，設(shè)線段MN的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P，交MN于點(diǎn)Q，很高點(diǎn)M作MH⊥CD，過點(diǎn)Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．由題意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），∴直線AC的解析式為y＝4x+24，直線AB的解析式為y＝x+2，直線BC的解析式為y＝﹣x+2，∵M(jìn)N∥AB，∴可以假設(shè)直線MN的解析式為y＝x+t，由，解得，∴M（，），由．解得，∴N（，），∴Q（（，），∵QJ⊥CD，QT⊥MH，∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，∴QJ＝QT，∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，∴△PJQ≌△MTQ（AAS），∴PQ＝MQ，∵∠PQM＝90°，∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴＝，故選項(xiàng)D正確，B，C錯(cuò)誤，∵將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，∴折痕與AB垂直，故選項(xiàng)A正確，故答案為：A，D．③設(shè)P（﹣4，m）．∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，∴△PDQ是等腰直角三角形，∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），把Q的坐標(biāo)代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，解得m＝或﹣（舍棄），∴Q（2，），根據(jù)對(duì)稱性可知Q′（﹣10，）也滿足條件，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（﹣10，）．11．（2021無(wú)錫中考）（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交BC于點(diǎn)F，交二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）由y＝﹣x+3得B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2+2x+c即得二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）由y＝﹣x2+2x+3得A（﹣1，0），OB＝OC，AB＝4，BC＝3，故∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，B和F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)E（m，﹣m2+2m+3），則F（m，﹣m+3），EF＝﹣m2+3m，CF＝m，①△ABC∽△CFE時(shí)，＝，可得EF＝，②△ABC∽△EFC時(shí)，＝，可得EF＝；（3）連接NE，由點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對(duì)稱，可得CF＝EF＝CN，故﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，即得CN＝CF＝m＝3﹣2，N（0，3+1）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，B和F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)E（m，﹣m2+2m+3），則F（m，﹣m+3），∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，①△ABC∽△CFE時(shí)，＝，∴＝，解得m＝或m＝0（舍去），∴EF＝，②△ABC∽△EFC時(shí)，＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴EF＝，綜上所述，EF＝或．（3）連接NE，如圖：∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線EC對(duì)稱，∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，∵EF∥y軸，∴∠NCE＝∠CEF，∴∠FCE＝∠CEF，∴CF＝EF＝CN，由（2）知：設(shè)E（m，﹣m2+2m+3），則F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，∴CN＝CF＝m＝3﹣2，∴N（0，3+1）．12.（2021聊城中考）如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，已知A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，0），C（0，﹣2），連接AC，BC．（1）求拋物線的表達(dá)式和AC所在直線的表達(dá)式；（2）將ABC沿BC所在直線折疊，得到DBC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D是否落在拋物線的對(duì)稱軸上，若點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若點(diǎn)D不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線位于第三象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)Q，連接BP，BPQ的面積記為S1，ABQ的面積記為S2，求的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；；（2）點(diǎn)D不在拋物線的對(duì)稱軸上，理由見解析；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（－2，－3）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)A、C坐標(biāo)利用相似三角形的判定及性質(zhì)可證得，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使DC＝AC，過點(diǎn)D作DEy軸，垂足為點(diǎn)E，由此可得，進(jìn)而可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－1，最后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線即可判斷出點(diǎn)B不在對(duì)稱軸上；（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，然后過點(diǎn)A作x軸的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則點(diǎn)M坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)N，垂足為點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可得，由此可得答案．【詳解】解；（1）∵拋物線過A（1，0），C（0，﹣2），∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為．設(shè)AC所在直線的表達(dá)式為，∴，解得，∴AC所在直線的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)D不在拋物線的對(duì)稱軸上，理由是∶∵拋物線的表達(dá)式是，∴令y＝0，則，解得，，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（－4，0）．，，∴．又∴．∴．∴，∴．∴將△ABC沿BC折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D一定在直線AC上．如下圖，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使DC＝AC，過點(diǎn)D作DEy軸，垂足為點(diǎn)E．又∵，∴，∴DE＝OA＝1，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－1，∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴點(diǎn)D不在拋物線的對(duì)稱軸上；（3）設(shè)過點(diǎn)B，C的直線表達(dá)式為，∵點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，－2），點(diǎn)B坐標(biāo)是（－4，0），∴過點(diǎn)B，C的直線表達(dá)式為．過點(diǎn)A作x軸的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則點(diǎn)M坐標(biāo)為，如下圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)N，垂足為點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，∴．∵，∴，∵若分別以PQ，AQ為底計(jì)算△BPQ與△BAQ的面積，則△BPQ與△BAQ的面積的比為，即．∴，∵，∴當(dāng)m＝－2時(shí)，的最大值為，將m＝－2代入，得，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（－2，－3）．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13．（2021營(yíng)口中考）（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝3x2+bx+c過點(diǎn)A（0，﹣2），B（2，0），點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接AB，AC，BC，其中AC與x軸交于點(diǎn)E，且tan∠OBC＝2．（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P（m，0）為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B，E重合），過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與△ABC的邊分別交于M，N兩點(diǎn)，將△BMN沿直線MN翻折得到△B′MN，設(shè)四邊形B′NBM的面積為S，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若S＝3S△ACB′，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的m值．【分析】（1）如圖1中，設(shè)BC交y軸于D．利用待定系數(shù)法求出b，c，解直角三角形求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出直線BD的解析式，構(gòu)建方程組確定點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．（2）分兩種情形：當(dāng)0＜m＜2時(shí)，當(dāng)﹣＜m≤0時(shí)，分別求出MN，根據(jù)S＝?BB′?MN，構(gòu)建關(guān)系式即可．（3）分兩種情形：根據(jù)S＝3S△ACB′，構(gòu)建方程求出m即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝3x2+bx+c過點(diǎn)A（0，﹣2），B（2，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝3x2﹣5x﹣2，如圖1中，設(shè)BC交y軸于D．∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，∴OD＝4，∴D（0，4），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+4，由，解得（即點(diǎn)B）或，∴C（﹣1，6）．（2）對(duì)于拋物線y＝3x2﹣5x﹣2，令y＝0，得到3x2﹣5x﹣2＝0，解得x＝2或﹣，∴E（﹣，0），∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，直線AC的解析式為y＝﹣8x﹣2，當(dāng)0＜m＜2時(shí)，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S＝?BB′?MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．當(dāng)﹣＜m≤0時(shí)，如圖2中，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，∴S＝?BB′?MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．綜上所述，S＝．（3）∵直線AC交x軸于（﹣，0），B′（2m﹣2），當(dāng)﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝或（都不符合題意舍棄），當(dāng)3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝1或11（舍棄）或﹣2+或﹣2﹣（舍棄），綜上所述，滿足條件的m的值為1或﹣2+．14.（2021錦州中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+1的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)M在直線CD下