四川省自貢市第一中學2024-2025學年高二上學期開學考試數學試題

自貢一中2024——2025學年度上期高二年級開學考試數學試題一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.已知為虛數單位，則復數在復平面內對應的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將化簡即可得出答案【詳解】，所對應的向量坐標為.故選：B【點睛】本題考查的是復數的計算及其幾何意義，較簡單.2.體育老師記錄了班上10名同學1分鐘內的跳繩次數，得到如下數據：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.這組數據的60%分位數是（）A.98 B.99 C.99.5 D.100【答案】C【解析】【分析】根據分位數的定義即可求得答案.【詳解】這組數據的60%分位數是.3.若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】推導出，利用空間向量法可得出線面關系.【詳解】因為，，則，即，因此，.故選：C.4.如圖，在平行六面體中，為和的交點，若，，，則下列式子中與相等的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據空間向量的加減運算，表示出向量，即得答案.【詳解】,故選;A5.已知兩個平面，兩條直線，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，，則D.若是異面直線，，，，，則【答案】D【解析】【分析】對于A，與相交、平行或；對于B，與相交或平行；對于C，與相交或平行；對于D，由面面平行的判定定理得．【詳解】兩個平面，兩條直線，對于A，若，，則與相交、平行或，故A錯誤；對于B，若，，，則與相交或平行，故B錯誤；對于C，若，，，，則與相交或平行，故C錯誤；對于D，過作平面與平面交于，如圖，∵，∴，又，，∴，∵是異面直線，，∴與相交，又∵，，∴，故D正確．故選：D．6.在中，、、分別是內角、、所對的邊，若，，，則邊（）A. B.或 C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據余弦定理可得出關于的等式，解之即可.【詳解】因為，，，由余弦定理可得，即，即，解得或.故選：C.7.在空間直角坐標系中，點，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據向量坐標表示判斷AB，根據向量模的坐標運算判斷C，根據向量夾角計算公式判斷D.【詳解】因為，，，所以，，故AB錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，故D正確.故選：D8.已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若的面積為，則該圓錐的側面積為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據條件算出母線長和底面半徑即可求出側面積.【詳解】如圖：其中O是底面圓心，設半徑為r，則AO=r，，，由于SA，SB都是母線，所以SA=SB，的面積，在等腰直角三角形SAO中，，所以側面積=；故選：C.二、多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9.下面四個結論正確是（）A.向量，若，則B.若空間四個點，，，，，則，，三點共線C.已知向量，，若，則D.任意向量，滿足【答案】ABC【解析】【分析】由空間向量的數量積及其運算性質可判斷A，由空間向量的基本定理與共線定理以及向量基底可判斷B，根據空間向量共線的坐標表示可判斷C，利用數量積的定義判斷D.【詳解】對于A：因為，，則，正確；對于B：因為，則，即，又與有公共點，所以三點共線，正確；對于C：因為向量，，，所以存在，使得，即，則，解得，正確；對于D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，當與不平行時，一定不成立，錯誤.故選：ABC10.設A，B為兩個隨機事件，若，則下列結論中正確的是（）A.若，則 B.若，則A，B相互獨立C.若A與B相互獨立，則 D.若A與B相互獨立，則【答案】BD【解析】【分析】根據并事件的概率的計算公式即可判斷A；根據相互獨立事件及對立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據相互獨立事件的并事件的概率公式即可判斷C.【詳解】A，若，則，A錯誤；B，因為，則，B正確；C，因為A與B相互獨立，則也相互獨立，則，C錯誤；D，若A與B相互獨立，則也相互獨立，則，D正確.故選：BD11.如圖，在正方體中，P為線段上的一個動點，下列結論中正確的是（）A.B.平面平面C.存在唯一的點P，使得為90°D.當點P為中點時，取得最小值【答案】AB【解析】【分析】根據正方體的性質，結合空間位置關系，對選項逐一分析，得到正確結果.【詳解】對于A項，利用正方體的特征可知，，且，所以平面，可得，所以A項正確；對于B項，因為平面即為平面，因為平面，所以平面平面，所以B項正確；對于C項，設正方體棱長為，，在中，在中，，當時，，即或，所以當與重合或P為的中點時，滿足為90°，所以滿足條件的點P不唯一，所以C項不正確；對于D項，將正方體的對角面進行翻折，可得圖形如圖所示：根據平面內兩點之間直線段最短，所以當P為圖中的點時，取得最小值，顯然不為中點，所以D項不正確；故選：AB.【點睛】該題以正方體為載體，考查空間線面位置關系，涉及到線線、線面和面面垂直等基礎知識，要注意空間與平面間的相互轉化，屬于基礎題目.三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12.O為空間任意一點，若，若ABCP四點共面，則______________．【答案】##0.125【解析】【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出的值.【詳解】空間向量共面的基本定理的推論：，且、、不共線，若、、、四點共面，則，因為為空間任意一點，若，且、、、四點共面，所以，，解得.故答案為：.13.在平面四邊形中，，，，若，則的面積為_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出、，進而可求得，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】連接，如下圖所示：由余弦定理可得，由余弦定理可得，則為銳角，所以，，因此，.故答案為：.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理.14.如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點，則的重心到直線BN的距離為___________.【答案】##【解析】【分析】以為軸建立空間直角坐標系，由重心坐標公式求得的重心的坐標，用空間向量法求點到直線的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，設的重心是，則，，，即，，，，，，，則是銳角，，所以到直線的距離為．故答案為：．四、解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15.已知空間三點，，，設，．（1）若與互相垂直，求實數的值；（2）若，，求．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據空間向量垂直得到方程，求出答案；（2）設，根據平行和模長得到方程組，求出答案.【小問1詳解】，故，，因為互相垂直，所以，解得或；【小問2詳解】，設，則且，解得或，故或；16.某公司為了解員工對食堂滿意程度，對全體100名員工做了一次問卷調查，要求員工對食堂打分，將最終得分按，，，，，分成6段，并得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）估計這100名員工打分的眾數和中位數（保留一位小數）；（2）現從，，這三組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取11個人，求這組抽取的人數.【答案】（1）眾數為75，中位數為；（2）7人.【解析】【分析】（1）根據中位數和眾數的定義結合頻率分布直方圖即可得出答案；（2）根據頻率分布直方圖分別求出，，的人數，任何根據分層抽樣即可求出從抽取的人數.【詳解】解：（1）由題意得眾數為75，的頻率為，的頻率為，設中位數為a，，.（2）的人數：，的人數：，的人數：，抽樣比例為，從抽取的人數：.17.在中國共產主義青年團成立100周年之際，某校舉辦了“強國有我，挑戰(zhàn)答題”的知識競賽活動，已知甲、乙兩隊參加，每隊3人，每人回答且僅回答一個問題，答對者為本隊贏得1分，答錯得0分.假設甲隊中3人答對的概率分別為，，，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答問題正確與否互不影響.（1）分別求甲隊總得分為1分和2分的概率；（2）求活動結束后，甲、乙兩隊共得4分的概率.【答案】（1）甲隊總得分為分的概率為，分的概率為；（2）【解析】【分析】（1）利用相互獨立事件和互斥事件的概率公式計算可得；（2）首先求出活動結束甲、乙兩隊得分及所對應的概率，再利用相互獨立事件和互斥事件的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：依題意記甲隊總得分為分為事件，甲隊總得分為分為事件，則，，所以甲隊總得分為分的概率為，分的概率為；【小問2詳解】解：依題意甲隊總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；乙隊總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；則活動結束后，甲、乙兩隊共得4分的概率.18.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用平面法向量的性質進行運算證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，因為是直棱柱，所以平面，因此平面的一個法向量為，所以，即，又平面，所以平面；【小問2詳解】因為，，，設平面的法向量為m=x,y,z則，令，得，設直線與平面所成角為，則，所以.19.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c滿足．（1）求B；（2）若，，求的面積；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)