初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)教程

線、線段、射線

1.過兩點有且只有一條直線.

(簡：兩點決定一條直線)

2.兩點之間線段最短

3.同角或等角的補角相等.

同角或等角的余角相等.

4.過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

5.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.(簡：垂線段最短)

平行線的判斷

1.平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行(簡：平行于同一直線的兩直線平行)

3.同位角相等，兩直線平行.

4.內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

5.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

平行線的性質(zhì)

1.兩直線平行，同位角相等.

2.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

三角形三邊的關(guān)系

1.三角形兩邊的和大于第三邊、三角形兩邊的差小于第三邊.

三角形角的關(guān)系

1.三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°.

2.直角三角形的兩個銳角互余.

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

4.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

全等三角形的性質(zhì)、判定

1.全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.

2.邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

3.角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

4.推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

5.邊邊邊公理(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

6.斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

角的平分線的性質(zhì)、判定

性質(zhì)：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

判定：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上.

等腰三角形的性質(zhì)

1.等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角).

2.推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊.

3.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.

4.推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°.

等腰三角形判定

1等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

2.三個角都相等的三角形是等邊三角形.

3.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

線段垂直平分線的性質(zhì)、判定

1.定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.

2.逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

3.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合.

軸對稱、中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)

1.關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

2.如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

3.兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

4.若兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.

5.關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的.

關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

6.若兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點,并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點成中心對稱.

7.平移或旋轉(zhuǎn)前后的圖形是不變的.中心對稱是旋轉(zhuǎn)的特殊形式。

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2.

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角①直角三角形中，如果一個銳角等于

30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.

n邊形、四邊形的內(nèi)角和、外角和

1.四邊形的內(nèi)角和等于360。.

2.四邊形的外角和等于360。

3.多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）180。.

4.推論任意多邊的外角和等于360°.

平行四邊形性質(zhì)

1.平行四邊形的對角相等.

2.平行四邊形的對邊相等.

3.夾在兩條平行線間的平行線段相等.

4.平行四邊形的對角線互相平分.

平行四邊形判定

1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

2.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

4.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

5.一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

矩形性質(zhì)

1.矩形的四個角都是直角.

2.矩形的對角線相等.

矩形判定

1.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

2.有三個角是直角的四邊形是矩形.

3.對角線相等的平行四邊形是矩形.

菱形性質(zhì)

1、菱形的四條邊都相等.

2.菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

3、菱形面積=對角線乘積的一半，即

菱形判定

1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

2.四邊都相等的四邊形是菱形

3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

正方形性質(zhì)

1.正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.

2.正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.

正方形判定

1.四個角都是直角，四條邊都相等的四邊形是正方形

2.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

等腰梯形性質(zhì)

1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等.

2.等腰梯形的兩條對角線相等.

等腰梯形判定

1.同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

2.對角線相等的梯形是等腰梯形.

①經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.

②經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半，S=Lh

比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:dad=bc

相似三角形判定

1.定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

2.兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.

3.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似

4.三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

5.如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

相似三角形性質(zhì)

1.相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

2.相似三角形周長的比等于相似比.

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

4.位似圖形是相似圖形的特殊形式。位似比等于相似比。

圓

1.圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

2.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑.的點的集合.

3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合.

4.同圓或等圓的半徑相等.

5.不在同一直線上的三點確定一個圓。

垂徑定理

1.垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧.

推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

3.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形.

4.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.

5.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等.

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓

中，相等的圓周角所對的弧也相等.

②半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°

的圓周角所對的弦是直徑.

③如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，

那么這個三角形是直角三角形.

三角形的外心，三角形外接圓的圓心，它是三邊的中垂線的交點，到三個頂點的距離相等.

三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三個內(nèi)角的平分線的交點，到三邊的距離相等.

直角三角形三邊為a、b、c,c為斜邊，則外接圓的半徑；內(nèi)切圓的半徑

直線和圓的位置關(guān)系

①直線L和。0相交d<r

②直線L和。0相切d=r

③直線L和。0相離d>r

切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這切線

切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

②經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

切線長定理.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

圓和圓的位置關(guān)系

如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

①兩圓外離d>R+r

②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)

⑤兩圓內(nèi)含dVR-r(R>r)

正多邊形和圓

①依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形n(n>3):

②經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.定理任何正多邊形都有一個外接圓和一

個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

正n邊形的每個內(nèi)角都等于

定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.

正三角形面積，a表示邊長.

扇形弧長：

扇形面積：

圓柱的側(cè)面積

圓柱的表面積

圓錐的側(cè)面積

圓錐的表面積

幕的運算：

①aWO時a0=I，a-p=

②aman=am+n；(am)n=amn

③0的0次某沒有意義

平方差：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

推廣：a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab

一次函數(shù)丫=1?+6(kWO)

k>0,y隨x的增大而增大

k<0,y隨x的增大而減少

正比例函數(shù)y=kx(kKO)

①k>0,y隨x的增大而增大，直線y=kx經(jīng)過(0,0),(1,k),經(jīng)過第一、三象限

②k<0,y隨X的增大而減少，直線y=kx經(jīng)過（0,0）.（bk）,經(jīng)過第二、四象限

反比例函數(shù)（kKO）

①k>0,雙曲線在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，隨x的增大而減少.

②k<0,雙曲線在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，隨x的增大而增大當(dāng)

一元二次方程ax2+bx+c=0（b2-4ac>0）根為

一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式.

b2-4ac=0方程有兩個相等的實根.

b2-4ac>0方程有兩個不等的實根.

b2-4ac<0方程沒有實根.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aKO）。

b2-4ac=0拋物線與x軸只有一個公共點.

b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個交點

b2-4ac<0拋物線與x軸有沒有公共點.

①拋物線的一般式：y=ax2+bx+c。（aHO）

②拋物線的頂點式：y=a（x-h）2+k。

頂點（h,k）,對稱軸為直線

最大（小）值為（左同右異）

③拋物線的兩根式：y=a（x-xl）（x-x2）

常見的勾股數(shù)（整數(shù)）3,4,5；6,8,10：5,12,13;8,15,17,9,40,41等。

常見的無理數(shù)；，，等等

21.41441.732七2.236

銳角三角函數(shù)

0°30°45°60°90°

sin01/2■42112也/21

cos1也/2A/2/21/20

tan0心/31也/

有效數(shù)字：從左邊第一個不是。的數(shù)起，到最后一個數(shù)止。如0.03120有效數(shù)字為3、1、2,0共4個有效數(shù)字。

中位數(shù)：把一列數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕?，若有奇數(shù)個數(shù)，中間一個為中位數(shù)，若有偶數(shù)個數(shù)，中間兩個的平均數(shù)為中位數(shù).

（2）方差公式：.五個連續(xù)整數(shù)的方差是2,標(biāo)準差為根號2.

第一節(jié)直角與勾股

1.（2010浙江臺州市）如圖，ZVIBC中，ZC=90°,AC=3,點P是邊BC上的動點，則AP長不可限是（）

cB

（第3題）

A.2.5B.3C.4D.5

2.（2010山東臨沂）如圖，A4BC和ADCE都是邊長為4的等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，連接80,

則BD的長為

(第13

(A)G(B)2G(C)373(D)4G

3.（2010四川薩州）在AABC中，A8=6,AC=8,BC=10,則該三角形為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

4.（2010廣西欽州市）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重

合，折痕為。E,則8E的長為

(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm

C

第15題

5.（2010廣西南寧）圖1中，每個小正方形的邊長為1,AA3C的三邊的大小關(guān)系式:

(A)a<c<b(B)a<h<c

(C)c<a<b(D)c<b<a圖1

6.（2010廣東湛江）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（)

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

7.（10湖南益陽）如圖4,在△/7歸中，AB=AC=^力〃是底邊上的高，E為比中點,則然=,

8.（2010遼寧丹東市）已知△秋。是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△/比的斜邊4。為直角邊，畫第二個等腰Rt△力切,

再以RI△力切的斜邊力〃為直角邊，畫第三個等腰RI△力場；…，依此類推，第〃個等腰直角三角形的斜邊長是.

第15題

9.（2010浙江省溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所

謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理.在右圖的勾股圖中，已知NACB=90°,NBAC=30°,

AB=4.作^PQ!?使得NR=90°,點H在邊QR上，點D,E在邊PR上，點G,F在邊_PQ上，那么APQR的周長等于.

10.（2010四川宜賓）已知，在△A8C中，NA=45。，AC=巾,AB=#+1,則邊BC的長為.

11.（2010湖北鄂州）如圖，四邊形4BCD中，AB=AC=AD,E是CB的中點，AE=EC,NBAC=3NDBC,BD=&j2+6\[6,

則AB=.

BEC

12.（2010河南）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AB=6.點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B、C

重合），且DA=DE,則AD的取值范圍是.

D

13.（2010四川樂山）如圖（4）,在■中，CD是斜邊AB上的高，NACD=40°,則NEBC=

14.（2010四川樂山）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊含著豐富的科學(xué)知識和人文價值.圖（6）是?棵

由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為S,

第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為S,…，第”個正方形和第〃個直角三角形的面積之和為除設(shè)第一個正方形的邊

長為1.

圖（6）

請解答下列問題：

（1）5=________；

（2）通過探究，用含〃的代數(shù)式表示S”則5=

15.（2010江蘇鎮(zhèn)江）如圖，Rt^ABO^p,ZACB=90°,DE過點c,且DE//AB,若NAC￡>=50°,則

ZA=,NB三

16.（2010廣西玉林、防城港）兩塊完全一樣的含30角的三角板重疊在一起，若繞長直角邊中點M轉(zhuǎn)動，使上面一塊的斜

邊剛好過下面一塊的直角頂點，如圖6,ZA=30\AC=10,則此時兩直角頂點C、C'間的距離是.

圖6

17.（2010福建泉州南安）將一副三角板擺放成如圖所示，圖中Z1=

（第10題圖）

18.（2010廣西欽州市）一個承重架的結(jié)構(gòu)如圖所示，如果Nl=155。，那么N2=

19.（2010山東淄博）如圖是由4個邊長為I的正方形構(gòu)成的“田字格”.只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以

作出長度為的線段條.

（第15題）

20.（2010年山西）在MA46O中,NACS=90°,D是AB的中點，CD=4cm,貝ljAB=cm。

21.（2010黑龍江綏化）Rt^ABC中，ZBAC=9O°,AB=AC=2,以AC為一-邊，在AABC外部作等腰直角三角形ACD,

則線段BD的長為o

22.（2010浙江杭州）（本小題滿分10分）

如圖，AB=3ACfBD=34￡,又BD〃AC,點、B,A,E在同一條直線上.

（1）求證：bABDs〉CAE\

（2）如果AC=80,AD=2V2BD,設(shè)=m求BC的長.

E

23.（2010湖北孝感）（本題滿分10分）

［問題情境］

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚

曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。

（定理表述］

請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（3分）

b.BbE°C

（第21囪圖2）

［嘗試證明］

以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以Q+b為高的直角梯形（如圖2）,請你利用圖2,驗證勾股定理；（4

分）

［知識拓展］

利用圖2中的直角梯形，我們可以證明"2<J5.其證明步驟如下：

C

?/BC=a+b,AD=_______。

又???在直角梯形ABCD中有BC____AD（填大小關(guān)系），即_______,

a+hrr

..<A/2.（3分）

C

24.（2010山東荷澤）（本題滿分8分）如圖所示，在RtZXA8c中，NC=90°,乙4=30,8。是NA8C的平分線，CD=

5cm,求A8的長.

B

C

AD

20題圖

第二節(jié)三角形

1.（2010浙江寧波）如圖，在△ABC中，AB=AC,N4=36°,BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線,

則圖中的等腰三角形有

（A）5個（B）4個（03個（D）2個

（第10題）

2.（2010浙江義烏）如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段用=5,則線段PB的長度

為（▲）

A.6B.5C.4D.3

3.（2010江蘇無錫）下列性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）

A.兩邊之和大于第三邊B.有一個角的平分線垂直于這個角的對邊

C.有兩個銳角的和等于90°D.內(nèi)角和等于180°

4.（2010黃岡）如圖，過邊長為1的等邊AABC的邊AB上一點P,作PE_LAC于E,Q為BC延長線上一點，當(dāng)PA=CQ

時，連PQ交AC邊于D,則DE的長為（）

I12.

A.—B.—C.-D.不能確定

323

第15題圖

5.（2010山東煙臺）如圖，等腰△ABC中，AB=AC,NA=20°。線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,連接BE,

則NCBE等于

A、80°B、70°C、60°D、50°

（*5?R）

6.（2010江西）己知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3,則下列四個數(shù)中，第三條邊的長是（）

A.8B.7C.4I）.3

7.（2010湖北武漢）如圖，Z\ABC內(nèi)有一點D,且DA=DB=DC,若NDAB=20°,NDAC=30°,則NBDC的大小是（）

A.100°B.80°

C.70°D.50°

8.（2010山東威海）如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AC,AB的中點，連接BD.若8。平分NABC,則下列結(jié)論錯誤

的是（）

B

A.BC=2BE

B.ZA=ZEDA

C.BC=2AD

D.BDVACc

9.（2010湖南株洲）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知A、8是兩格點，如果C也是圖中的格點,

且使得AABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是

A.6B.7C.8D.9

10.（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70。，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)是（）

A.55°,55°B.70°,40°C.55°,55?；?0。，40°D.以上都不對

11.（2010湖北隨州）如圖，過邊長為I的等邊AABC的邊AB上一點P,作PE_LAC于E,Q為BC延長線上一點，當(dāng)PA

=CQ時，連PQ交AC邊于D,則DE的長為（）

112

A.—B.—C.—D.不能確定

323

第15題圖

2x-y=3,

12.（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的兩邊長x、y滿足方程組《則此等腰三角形的周長為（）

3x+2y=8,

A.5B.4C.3D.5或4

13.（2010山東東營）如圖，點C是線段AB上的一個動點，△AC。和ASCE是在A3同側(cè)的兩個等邊三角形，DM,EN分

別是△ACQ和△8CE的高，點C在線段AB上沿著從點A向點B的方向移動（不與點A,B重合），連接得到四邊形。MNE.這

個四邊形的面積變化情況為（）

（A）逐漸增大（B）逐漸減?。–）始終不變（D）先增大后變小

CV'MB。

14.（2010廣東汕頭）如圖,把等腰直角aABC沿30折疊，使點A落在邊3C上的點E處.下面結(jié)論錯誤的是（）

A.AB=BEB.AD=DCC.AD=DED.AD=EC

,A

15.（2010重慶江津）已知：AABC中，AB=AC=X,BC=6,則腰長X的取值范圍是（）

A.0<X<3B.x>3

c.3<x<6D.x>6

,Ac

（第6題）

16.（2010重慶江津）如圖，在RtaABC中，AB=AC,D、E是斜邊BC上兩點,且NDAE=45°,將△AOC繞點A順時

針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A尸3,連接石尸.下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（）

①ZEAF=45°ABEACD

③EA平分NCEF④BE2+DC2=DE2

A.1個B.2個C.3個D.4個

(M9JI)

17.（2010廣東茂名）如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC,已知點E、F分別是邊AB、AC的中點，量得EF=5

米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長是

A、15米B,20米C、25米D、30米

18.(2010廣東深圳)如圖1,Z^ABC中,AC=AD=BD,ZDAC=80°.則NB的度數(shù)是

A.40°B.35°C.25°D.20°

19.（2010貴州銅仁）如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正△A|B|G，算出了正△AIBQI的面積，然后分別取△A|B|G三

邊的中點A2,B”C2,作出了第2個正2c2，算出了正AAzB2c2的面積，用同樣的方法，作出了第3個正AAsB3c3，算出了

正3c3的面積……，由此可得，第8個正△AljBiiCs的面積是（）

A-￥畤B.#x（g）8C,中x（?

20.（2010四川廣安）等腰三角形的兩邊長為4、9,則它的周長是

A.17B.17或22C.20D.22

21.（2010黑龍江綏化）如圖所示，已知AABC和ADCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點

O,AE與CD交于點G,AC與BD交于點F,連結(jié)OC、FG,則下列結(jié)論：①AE=BD②AG=BF③FG〃BE@ZBOC=ZEOC,

其中正確結(jié)論的個數(shù)（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

笫10題圖

22.（2010廣東清遠）等腰三角形的底角為40。，則這個等腰三角形的頂角為（）

A.40°B.80°C.100°D.100°或40°

23.如圖，AD是AABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出4ABC是等腰三角形的是

（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）

①NBAD=NACD②NBAD=NCAD,③AB+BD=AC+CD@AB-BD=AC-CD

24.（2010廣東廣州，16,3分）如圖4,8。是△ABC的角平分線，ZABD=36°,NC=72。，則圖中的等腰三角形有

25.（2010江蘇無錫）如圖，△48C中，必?垂直平分4C交48于6,Z#=30",ZACB=80°,則N比左▲

（第16題）

26.（2010江蘇泰州）等腰△ABC的兩邊長分別為2和5,則第三邊長為.

27.（2010四川眉山）如圖，將第一個圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點進行分割，得到第二個圖（圖②）；再將第二

個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，得到第三個圖（圖③）；再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進

行分割，……，則得到的第五個圖中，共有個正三角形.

28.（2010浙江紹興）做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AQ平分N8AC,交8c于點。.將△ABD作關(guān)于直線AD

的軸對稱變換,所得的像與△ACD重合.對于下列結(jié)論:①在同一個三角形中,等角對等邊;②褥蝙個三角形中,等邊對等角;③等腰

三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合.由上述操作可得出的是（將正確結(jié)論的序號都填上）.

29.（2010江蘇淮安）己知周長為8的等腰三角形，有一個腰長為3,則最短的一條串位線長為.

30..（2010山東濱州）如圖，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2.EM+CM

的最小值為

31.（2010四川內(nèi)江）下面的方格圖案中的正方形頂點叫做格點，圖1中以格點為頂點的等腰直角三角形有4個，圖2中以

格點為頂點的等腰直角三角形有個，圖3中以格點為頂點的等腰直角三角形有個，圖4中以格點為頂點的等

腰直角三角形有個.

32.（2010湖南湘潭）/XABC中，若NA=80",ZB=50G,AC=5,則AB=.

33.（2010廣西桂林）如圖：己知AB=10,點C、￡>在線段AB上且AC=￡>8=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為

邊在線段48的同側(cè)作等邊AAEP和等邊△PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點為G;當(dāng)點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的

長是.

34.（2010廣西欽州市）如圖，△ABC是一個邊長為2的等邊三角形，AD°_LBC,垂足為點O（）.過點%作垂足

為點。I；再過點作D|2J_AA，垂足為點。2；又過點。2作LAB,垂足為點??；……；這樣一直作下去，得到一組線

段：DoDpD）D2,D2DJ,……，則線段4的長為4（"為正整數(shù)）.

第10題

35..（2010年山西）如圖，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,D是AB的中點，過點D作DE_LAC于點E,則DE的長是

36.（2010天門、潛江、仙桃）從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形

紙片的底角等于.

0

37.（2010四川攀枝花）如圖8,在△ABE3,AB=AC=2,ZBAC=9O，直角NEPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE,PF分別交AB,

AC于點E,F.給出以下四個結(jié)論：①BE=AF,②的最小值為一,③tanNPEF=—,@S加*1.當(dāng)NEPF在AABC內(nèi)繞頂點

23

P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A,B重合），上述結(jié)論始終正確是（將正確的命題序號全部寫上）

38.（2010湖北黃石）如圖，等腰三角形ABC中，已知AB=AC,NA=30。，AB的垂直平分線交AC于。，則NCBD的度

數(shù)為.

（13題圖）

39.（2010遼寧丹東市）如圖，已知等邊三角形/及7中，點。，E,尸分別為邊4?,AC,比■的中點，M為直線比上一動點，

△。肺為等邊三角形（點材的位置改變時，也隨之整體移動）.

（1）如圖①，當(dāng)點在點6左側(cè)時，請你判斷加與版有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點廠是否在直線松上？那道富竣寫出結(jié)論，不必

證明或說明理由；

（2）如圖②，當(dāng)點M在加上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中加與物的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請利用圖②證明：

若不成立，請說明理由；

（3）若點』/在點，右側(cè)時，請你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中研'與朋?的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立？

請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由.

A

AA

圖①圖②圖③

第25題圖

40.（2010福建晉江）（13分）如圖，在等邊AA/C中，線段AM為邊上的中線.動點。在耳繾AM上時，以CO

為一邊且在CD的下方作等邊bCDE,連結(jié)BE.

（1）填空：ZACB=度；

（2）當(dāng)點D在繾毯AM上（點D不運動到點A）時，試求出一7的值：

（3）若A8=8,以點C為圓心，以5為半徑作。C與直線BE相交于點P、Q兩點，在點D運動的過程中（點D與點A重

m

合除外），試求PQ的長.

41.（2010山東濟南）（1）如圖,已知A3=AC,AD^AE.求證8沙用電E.備用圖⑵

BDEC

42.（2010湖南衡陽）已知：如性L在等邊三角形ABC的AC邊上取中點。，8C的延長線上取一點E,使CE=CD.求證：

BD=DE.

A

BCB

43.（2010山東省德州）如圖，點E,尸在BC上，BE=CF,ZA=ZD,NB=NC,AF與OE交于點O.

⑴求證：AB=DC\

（2）試判斷△0E”的形狀，并說明理由.

44.（2010江蘇常州）如圖，在AABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，BD=CE,ZDBC=ZECBo

求證：AB二AC。

（胡22題）

45.（2010四川內(nèi)江）如圖，/XACO和△BCE都是等腰直角三角形，ZACD=ZBCE=90°,4E交。C于F,80分別交C￡,

AE于點G、H.試猜測線段AE和3。的位置和數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

46.（2010福建三明）如圖，AACB和ABC。都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90",D為AB邊上一點。

（1）求證：AACE^ABCD：（5分）.

（2）若AD=5,BD72,求DE的長。（5分一

（第18HB3）

47.（2010湖北襄樊）如圖5,點E、C在BF上，BF=FC,NABC=NDEF=45：NA=ND=90°.

（I）求證：Aff=DE；

（2）若AC交DE于M,且AB=ME=O,將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使點E旋轉(zhuǎn)到AB上的G處，求旋轉(zhuǎn)角N

ECG的度數(shù).

48.（2010內(nèi)蒙古包頭）如圖，已知△ABC中，A3=AC=1（）厘米，BC=8厘米，點。為A8的中點.

（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點。在線段CA上由C點向A點運動.

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，ABPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點。的運動速度與點。的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使與△CQP全等？

（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過

多長時間點p與點。第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

A

A

49.（2010湖北十堰）如圖，/XABC中，AB=AC,CE1AB.求證：BD=CE.PC

A

A

BC

（第19題）

（2010廣東深圳）如圖8,AAOB和△COD均為等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,D在AB上

（1）求證：△AOCtaBOD；（4分）

A

（2）若AD=1,BD=2,求CD的長。（3分）

0B

圖8

第三節(jié)相似

1.（2010江蘇蘇州）如圖，在AABC中，D、E兩點分別在BC、AC邊上.若BD=CD,ZB=ZCDE,DE=2,則AB的長度

是

A.4B.5

C.6D.7

A