第五章-正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

目錄

§5-1正弦量

§5-2正弦量的相量表示法

§5-3電阻、電感和電容元件的交流電路

§5-4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換

§5-5正弦穩(wěn)定電路的功率

§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算

§5-7功率因數(shù)的提高

§5-8串聯(lián)電路的諧振§5-1正弦量

按正弦規(guī)律變化的電流、電壓、電動勢統(tǒng)稱為正弦交流電，在電路分析中常簡稱為正弦量(sinusoid)。正弦電流和電壓的波形(waveform)如圖5-2所示。0u，it圖5-2正弦交流電

正弦量的三要素Im、ω、φi三個常數(shù)稱為正弦量的三要素，三要素是決定正弦量的三個基本參數(shù)，有了這三個要素就能唯一確定一個正弦量(sinusoid)?！?-1正弦量5.1.1最大值與有效值

Im稱為正弦電流i的振幅(amplitude)，它是正弦電流所能達到的最大值，Im、Um及Em分別表示電流、電壓及電源電動勢的最大值。有效值是以電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的。變化的電流還是直流，只要它們在相等的時間內(nèi)通過同一電阻而兩者的熱效應(yīng)相等，就把它們的安培值看作是相等的。這個周期性變化的電流的有效值在數(shù)值上就等于這個直流。§5-1正弦量5.1.1最大值與有效值綜上所述，可得由此可得出周期電流i的有效值或同理§5-1正弦量5.1.2頻率與周期正弦量變化一次所需的時間稱為周期T(period)，單位為秒(s)。每秒內(nèi)正弦量變化的次數(shù)稱為頻率f(frequency)，單位為赫茲(Hz)，簡稱赫。在我國和大多數(shù)國家都采用50Hz作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率，有些國家(如美國、日本等)采用60Hz。Hz這種頻率在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，習(xí)慣上也稱為工頻。高頻爐的頻率是200～300kHz；中頻爐的頻率是500～8000Hz；高速電動機的頻率是150～2000Hz；無線電工程上用的頻率則高達104～30×1010Hz。§5-1正弦量5.1.3初相位和相位差正弦量隨時間變化的核心部分是ωt+φi

，它反映了正弦量的變化進程，稱為正弦量的相角或相位(argument)。

t=0時的相位稱為初相位或初相(initialphase)，即初相位的單位可以用弧度或度來表示。通常在|φi|≤π的主值范圍內(nèi)取值。初相角的大小和正負(fù)與計時起點的選擇有關(guān)。對任一正弦量，初相允許任意指定，但對于一個電路中的多個相關(guān)的正弦量，它們只能相對于一個共同的計時起點確定各自的相位?！?-1正弦量5.1.3初相位和相位差如果最近的一個從負(fù)到正的零點，則φi=0；A點位于0點的左側(cè)，A點位于0點右側(cè)，則-π<φi<0。=00A(a)>00A(b)<00(c)Aφiφiφiωtωtωtφiφi圖5-4初相角§5-1正弦量5.1.3初相位和相位差

最大值、頻率和初相位稱為正弦量的三要素。相位間的差別稱為相位差(phasedifference)電壓u的相位超前(leading)電流的相位一個角度φ，說明電壓u比電流i先達到正的最大值(或零值)。反過來說明電流i滯后(lagging)電壓u一個角度φ。§5-1正弦量5.1.3初相位和相位差相位差為零，則稱為同相位(簡稱同相)，這時兩個正弦量同時到達正的最大值，也同時通過零值，如果它們之間的相位差為π/2(或90°)，則稱它們?yōu)橄辔徽?，相位差為?/p>

(或180°)，則稱它們?yōu)榉聪辔弧?(a)u,iiu?tu0iui?t?t(b)(c)u,iu,i(a)同相；(b)正交；(c)反相圖5-6電壓、電流的相位關(guān)系§5-2正弦量的相量表示法5.2.1復(fù)數(shù)的表示方法及其四則運算一個復(fù)數(shù)(complexnumber)

A可以用幾種形式來表示。用代數(shù)形式(rectangularform)時，有稱為虛單位(imaginaryunit)(它在數(shù)學(xué)中用i代表，而在電工中，i已用來表示電流，故改用j代表)。三角函數(shù)形式

§5-2正弦量的相量表示法5.2.1復(fù)數(shù)的表示方法及其四則運算歐拉公式(Euler’sidentities)指數(shù)形式(exponentialform)極坐標(biāo)形式(polarform)復(fù)數(shù)的相加或相減，應(yīng)使用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式來進行，同時也可以在復(fù)平面上應(yīng)用平行四邊形法則進行。復(fù)數(shù)的乘和除的運算，用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式來進行較為方便，相乘時，模相乘，輻角相加；相除時，模相除，輻角相減。§5-2正弦量的相量表示法5.2.2旋轉(zhuǎn)因子§5-2正弦量的相量表示法5.2.3正弦量的相量表示法可以通過數(shù)學(xué)的方法，把一個實數(shù)范圍的正弦時間函數(shù)與一個復(fù)數(shù)范圍的復(fù)指數(shù)函數(shù)一一對應(yīng)起來，而其復(fù)常數(shù)部分則把正弦量的最大值和初相結(jié)合成一個復(fù)數(shù)表示出來。

Im就表示正弦電流的最大值相量，上面加的小圓點代表相量，用來區(qū)別普通復(fù)數(shù)?！?-2正弦量的相量表示法5.2.3正弦量的相量表示法在正弦交流電路分析中，經(jīng)常使用的是正弦量的有效值，因此可把最大值相量換為有效值相量，即其模就是給定正弦量的有效值I，其輻角就是該正弦量的初相φi。相量也可以在復(fù)平面上用向量來表示。這種表示相量的圖稱為相量圖(phasordiagram)。0+jI+1.?i圖5-11電流相量§5-2正弦量的相量表示法5.2.4基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式，即為上面兩式說明：在正弦交流電路中，任一節(jié)點處各電流相量的代數(shù)和等于零；任一回路中各個電壓相量的代數(shù)和等于零。這就是相量形式和基爾霍夫定律，是分析正弦交流電路的重要依據(jù)?！?-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.1電阻元件1.電壓、電流間的關(guān)系如果選擇電流i為參考正弦量，則代入上式，得比較電壓

u和電流i的表達式，可以看出：(1)和為同頻正弦量；(2)二者的相位相同，波形圖如圖5-14(a)所示；0i(a)upωtu,i,p§5-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.1電阻元件1.電壓、電流間的關(guān)系

(3)由于二者的最大值符合歐姆定律，即Um=RIm

，因此二者的有效值之間也符合歐姆定律，即

如用相量表示電壓、電流間關(guān)系，則為§5-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.1電阻元件2.功率(power)在交流電路中，由于電壓和電流的大小和方向隨時在變動，為了計算功率，引入了瞬時功率的概念。電路在某一瞬間吸收或發(fā)出的功率稱為瞬時功率(instantaneouspower)，以小寫字母來表示。瞬時功率的值一般說來是時間的函數(shù)，它可以用該瞬間電壓、電流的瞬時值來計算，即§5-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.1電阻元件2.功率(power)通常所說的電路中功率是指瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，稱為平均功率(averagepower)，以大寫字母來表示：平均功率(averagepower)有時也稱為有功功率(activepower)，習(xí)慣上常把“平均”或“有功”二字省略，而直接稱為功率?！?-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.2電感元件1.電壓、電流間的關(guān)系電感兩端的電壓u和電流i取關(guān)聯(lián)參考方向。Liu+-圖5-15電感中的正弦電流和電壓比較電壓和電流的表達式，可以看出：

(1)通過電感的電流和電感兩端的電壓為同頻正弦量。

(2)電壓在相位上超前于電流，其波形圖如圖5-16(a)所示。0uipωt(a)u,i,p§5-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.2電感元件1.電壓、電流間的關(guān)系

(3)由式可見，電壓與電流的最大值成正比，即

電感的電抗(reactance)，簡稱感抗(inductivereactance，單位為歐姆?！?-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.2電感元件2.功率瞬時功率p是一個幅值為U

I，并以2ω的角頻率隨時間而變化的交變量。

平均功率因為在交流電路中純電感不消耗電能，只是不斷地進行著電能的“吞吐”(或“交換”)?！?-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.2電感元件2.功率通常用交變的瞬時功率的最大值來表示電感在交流電路中占用電功率的大小，即形式上與電阻平均功率公式P=I2R相似，但QL代表著一種不被消耗的電功率，與有著本質(zhì)的區(qū)別，故稱之為感性無功功率(reactivepower)。而在電阻上消耗的平均功率P，則稱為有功功率。為區(qū)別起見，無功功率的單位不用瓦(W)，而用乏(var)或千乏(kvar)?！?-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.3電容元件1.電壓、電流間的關(guān)系取電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，如圖5-17所示，并設(shè)電壓為參考正弦量，即Ciu+-圖5-17電容中的正弦電流和電壓比較電壓和電流的表達式，可以看出：

(1)充、放電電流；與電容兩端電壓為同頻正弦量。

(2)電流在相位上超前于電壓，波形如圖5-18(a)所示。0uiu,i,ppωt(a)§5-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.3電容元件1.電壓、電流間的關(guān)系或稱做電容的電抗，簡稱容抗，單位為歐姆。如果用相量表示電壓、電流間關(guān)系，則為§5-3電阻、電感和電容元件的交流電路5.3.3電容元件2.功率瞬時功率是一個幅值為，并以的角頻率隨時間而變化的交變量。在一個周期內(nèi)電容中的平均功率在交流電路中是不消耗電能的。但由于存在著電能的“吞吐”(或“交換”)而占用一定電功率，給電源造成一定的負(fù)擔(dān)。瞬時功率的最大值為

稱做容性無功功率，單位也是乏(var)或千乏(kvar)?！?-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.1復(fù)阻抗及RLC串聯(lián)電路1.復(fù)阻抗(impedance)復(fù)數(shù)稱為復(fù)阻抗，它等于電壓相量和電流相量的比值，即單一電阻、電感及電容的復(fù)阻抗分別為§5-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.1復(fù)阻抗及RLC串聯(lián)電路1.復(fù)阻抗(impedance)復(fù)阻抗的模|

Z|和R及X構(gòu)成一個直角三角形(righttriangle)。電路的阻抗(impedance)，φZ則稱為阻抗角。所以復(fù)阻抗的意義是：它的模是電壓與電流有效值之比，它的輻角是電壓和電流的相位角。X|Z|

àzR圖5-20阻抗三角形§5-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.1復(fù)阻抗及RLC串聯(lián)電路2.

RLC串聯(lián)電路

XL>XC，則φZ>0，全電路呈感性(ininductive)。若XL<XC，則φZ<0，全電路呈容性(incapacitive)。若XL=XC，則φZ=0，全電路呈電阻性(inresistive)，這是串聯(lián)電路的一種特殊工作狀態(tài)，稱為串聯(lián)諧振，將在后面章節(jié)中分析。由U、UR和UX組成的三角形稱為電壓三角形。若將此三角形各邊同除以電流I，阻抗三角形。UUxUR?z§5-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.2

復(fù)導(dǎo)納及RLC并聯(lián)電路1.

RLC串聯(lián)電路對于這種并聯(lián)電路，應(yīng)用所謂復(fù)導(dǎo)納分析比較方便。對于單個電阻的電路來說，有圖5-24RLC并聯(lián)電路§5-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.2

復(fù)導(dǎo)納及RLC并聯(lián)電路1.

RLC串聯(lián)電路稱為復(fù)導(dǎo)納，實部是電導(dǎo)G

(conductance)，虛部是容納BC(capacitivesusceptance)與感納(inductivesusceptance)之差，即§5-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.2

復(fù)導(dǎo)納及RLC并聯(lián)電路1.

RLC串聯(lián)電路復(fù)導(dǎo)納是電流相量與電壓相量之比，而它的輻角φY是電流超前于電壓的相位角，|Y|又稱為電路的導(dǎo)納(admittance)?！?-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.2

復(fù)導(dǎo)納及RLC并聯(lián)電路2.

RLC并聯(lián)電路若BC>BL，則φY>0，全電路呈容性。若BC<BL，則φY<0，全電路呈感性。若BC=BL，則φY=0，全電路呈電阻性，這是并聯(lián)電路中的一種特殊情況，稱為并聯(lián)諧振?！?-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.3

復(fù)阻抗的串并聯(lián)電路

1.復(fù)阻抗的串聯(lián)是全電路的等效復(fù)阻抗(equivalentimpedance)，它等于串聯(lián)復(fù)阻抗之和。U1U2U3U..Z1...UII.Z2Z3Z(a)(b).+-+-+-+-+-圖5-28復(fù)阻抗的串聯(lián)§5-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.3

復(fù)阻抗的串并聯(lián)電路

2.復(fù)阻抗(復(fù)導(dǎo)納)的并聯(lián)各并聯(lián)復(fù)導(dǎo)納分別為Y1、Y2及Y3。若外施電壓相量為U，則各支路的電流相量分別為·如果有n個復(fù)導(dǎo)納并聯(lián)，則等效復(fù)導(dǎo)納為§5-4

復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換5.4.3

復(fù)阻抗的串并聯(lián)電路

2.復(fù)阻抗(復(fù)導(dǎo)納)的并聯(lián)當(dāng)兩個復(fù)阻抗Z1與Z2并聯(lián)時，由上式(i=2)可得再根據(jù)分流公式，可得§5-5

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.5.1

有功功率

功率一般并不等于電壓與電流有效值的乘積，它還與電壓、電流之間的相位差φ有關(guān)。當(dāng)一端口內(nèi)部不含獨立電源時，λ(=cosφ)稱為該一端口的功率因數(shù)(powerfactor)，φ又稱為功率因數(shù)角(powerfactorangle)。λ

>0時，表明該網(wǎng)絡(luò)吸收有功功率；λ

<0時，表明該網(wǎng)絡(luò)發(fā)出有功功率?！?-5

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.5.2

無功功率

在正弦交流電路中，除了有功功率，無功功率也是一個重要的量，特別是電力系統(tǒng)的正常運行與無功功率有著密切的關(guān)系，它反映了電路內(nèi)部與外部往返交換能量的情況。無功功率用來表示，其定義為§5-5

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.5.3

視在功率

如果把電壓與電流的有效值直接相乘，則其乘積也具有功率的量綱，但卻不等于有功功率，而稱之為視在功率(apparentpower)，用表示，即有功功率與視在功率的比值就是功率因數(shù)，即§5-5

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.5.3

視在功率

視在功率、有功功率和無功功率之間有如下關(guān)系

P、Q及S組成了一個直角三角形，稱為功率三角形(powertriangle)，與前面提及的電壓三角形、電流三角形都是相似三角形。φSPQ圖5-38功率三角形§5-5

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.5.4

復(fù)功率

電路中的P、Q、S組成了一個直角三角形，因此為了計算上的方便，我們把有功功率作為實部，無功功率作為虛部而組成復(fù)數(shù)§5-5

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.5.4

復(fù)功率

若已知某一復(fù)導(dǎo)納Y§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算

【例5-12】試用網(wǎng)孔法求圖5-42中所示電路的各支路電流和各個電壓源發(fā)出的復(fù)功率。已知IaIb....I1I3I2C.RUs1Us2..L圖5-42例5-12圖§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算

【例5-14】在圖5-44(a)中，I1=I2=10

A，U=100V而且U與I同相，試求I、R、XC和XL

?！ぁ?a)(b)U.ULU2.II2...I1-jXL45I1I2.°..UU2..R-jXcI..UL圖5-44例5-14圖

解：設(shè)U2為參考正弦量，作出相量圖，如圖5-44(b)所示。由相量圖中的電流三角形可得·§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算圖5-45例5-15圖§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算在實際問題中，有時需要研究負(fù)載在什么條件下能獲得最大功率。這類問題可以歸結(jié)為一個一端口網(wǎng)絡(luò)向負(fù)載輸送功率的問題。根據(jù)戴維寧定理，最終可以簡化為圖5-47所示的電路來進行分析。圖中Uoc為一端口的開路電壓，Zeq=R1+jX1為戴維南等效電路的復(fù)阻抗，ZL=R2+jX2為負(fù)載的等效復(fù)阻抗。根據(jù)圖5-46的等效電路，負(fù)載吸收的功率為·圖5-46例5-15的戴維寧等效電路UOC.ZeqZL§5-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算§5-7功率因數(shù)的提高5.7.1

功率因數(shù)的實質(zhì)

電壓與電流間的相位差φ和電路中的無功功率Q之間存在著一定的內(nèi)在聯(lián)系。φ越大，cosφ越小，說明在電路總的視在功率S中，無功功率Q所占比例較大，而有功功率P所占比例較?。环粗?，φ越小，cosφ越大，則說明電路中無功功率Q的比例較小，而有功功率P的比例較大?！?-7功率因數(shù)的提高5.7.2

提高功率因數(shù)的意義

由于發(fā)電機、變壓器等電氣設(shè)備都有一定的額定電壓和額定電流值，工作電壓和電流都不允許超過其額定值，而電源的工作應(yīng)當(dāng)是將盡可能多的電能輸送給負(fù)載，其所能輸出的有功功率P=UNINcosφ。電路的cosφ越低，電源的電容越得不到有效的利用。1.電源的容量不能充分利用§5-7功率因數(shù)的提高5.7.2

提高功率因數(shù)的意義

提高功率因數(shù)一方面可使電源得到更為有效的利用，即能輸出更多的有功功率；另一方面可以減少電源及線路上的功率損耗，從而提高輸電效率。因此，提高電網(wǎng)的功率因數(shù)對國民經(jīng)濟的發(fā)展有著極為重要的意義。2.增加線路和電源內(nèi)阻的功率損耗§5-7功率因數(shù)的提高5.7.3

提高功率因數(shù)的方法

提高功率因數(shù)的實質(zhì)是設(shè)法減小電路中無功功率。常用的方法就是與電感性負(fù)載并聯(lián)一個具有合適電容值的電容元件。(a)(b).R.UI...Lff1IIC