26-第二章習(xí)題課(概率統(tǒng)計(jì))VIP

第二章隨機(jī)變量及其分布習(xí)題課二習(xí)題課二歸納了第二章的概念、理論、方法等內(nèi)容，

在“例題分類解析”部分，講解了：

1.離散型隨機(jī)變量的分布律的計(jì)算問(wèn)題；

2.根據(jù)概率分布求解概率的問(wèn)題.

3.連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度及其分布問(wèn)題；

4.關(guān)于正態(tài)分布的應(yīng)用問(wèn)題；

5.隨機(jī)變量的分布函數(shù)問(wèn)題；

6.隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布問(wèn)題.習(xí)題課二內(nèi)容簡(jiǎn)介：

在第一章中,我們研究了事件及其概率問(wèn)題.為充分利用數(shù)學(xué)工具研究事件及其概率,在本章開始引入了隨機(jī)變量這一基本概念.任何事件A都可以通過(guò)隨機(jī)變量X來(lái)描述,因此,研究事件及其概率問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量的概率分布問(wèn)題.第二章內(nèi)容簡(jiǎn)介：

對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,重點(diǎn)研究了三種常用的離散型隨機(jī)變量服從的兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布,給出了隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義及其求法，考慮了離散型隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)的概率分布問(wèn)題.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,討論了概率密度函數(shù)、分布函數(shù)和隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布問(wèn)題,重點(diǎn)研究了三種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布——均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布.

本章重點(diǎn)：1.離散型隨機(jī)變量的概率分布及其性質(zhì);2.

隨機(jī)變量的分布函數(shù)及其性質(zhì);3.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及其性質(zhì);

4.隨機(jī)變量函數(shù)的分布.本章難點(diǎn)：

1.離散型隨機(jī)變量分布律的有關(guān)計(jì)算;

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的有關(guān)計(jì)算;

3.隨機(jī)變量的分布函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算;

4.隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布.

一、主要內(nèi)容歸納1.離散型隨機(jī)變量的分布律性質(zhì):(1)pk≥0,k=1,2,…;講評(píng)只有pk同時(shí)滿足上述兩條性質(zhì),數(shù)列{pk}才能成為某個(gè)離散

型隨機(jī)變量的分布律.2.伯努利概型

.

P{X=k}=pkqn-k,k=0,1,2,…,n.

一般地,設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果:

A或設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率都是p,發(fā)生的概率則是q=1-p.這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重伯努利試驗(yàn),簡(jiǎn)稱伯努利試驗(yàn)或伯努利概型.n重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型.它有廣泛的應(yīng)用,是研究與應(yīng)用最多的模型之一.講評(píng)3.分布函數(shù)

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量(包括離散型及非離散型).x是任意實(shí)數(shù),定義F(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞.分布函數(shù)的性質(zhì)：(1)0≤F(x)≤1；

(2)F(x)單調(diào)不減,即當(dāng)x1<x2時(shí),F(x1)≤F(x2)

；(3)F(-∞)=

,F(+∞)=

稱F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),有時(shí)也記為FX(x).由分布函數(shù)的定義知,若F(x)是X的分布函數(shù),則有P{a<X≤b}=F(b)-F(a).(4)F(x)右連續(xù),即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有F(x+0)=F(x)；(5)對(duì)每個(gè)x0,都有P{X=x0}=F(x0)-F(x0-0).定義中的{X≤x}表示事件“隨機(jī)變量X取值不大于x”,所以隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是以事件{X≤x}的概率定義的函數(shù),它的定義域?yàn)橹v評(píng),其值域?yàn)閇0,1].4.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度F(x)=P{X≤x}=

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱為概率密度或密度.對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,有概率密度

具有以下性質(zhì)：

(1)≥0,x∈(-∞,+∞)；(2)(3)P{a<X≤b}=F(b)-F(a)=

(4)若在點(diǎn)x處連續(xù),則有(5)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量x，總有性質(zhì)(1)和(2)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)(x)

必須具有的特性，常用來(lái)檢查某一函數(shù)是否是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.性質(zhì)(3)和(4)是由概率密度的定義導(dǎo)出的性質(zhì).性質(zhì)(3)和(4)表明：隨機(jī)變量X落在區(qū)間(a,b]

內(nèi)的概率等于曲線

y=f(x)與x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.性質(zhì)(5)表明：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,總有講評(píng)這與離散型隨機(jī)變量是不同的.5.幾種重要的隨機(jī)變量的分布(1)0-1分布或兩點(diǎn)分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,0<p<1,它的分布律是P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}.P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,則稱隨機(jī)變量X服從0-1分布.

0-1分布的分布律也可寫成X

0

1P1-p

p(2)二項(xiàng)分布

在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為其中p為事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率,

q為A不出現(xiàn)的概率,q=1-p.稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布.P{X=k}=

(3)泊松分布

若隨機(jī)變量的分布率為通常記為X～B(n，p).(4)均勻分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中λ>0,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ

的泊松分布記為則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布.

其中

a,b為參數(shù),且a<b.

在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為記為(5)指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記X~E(λ),其中λ>0是常數(shù).

服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為(6)正態(tài)分布若隨機(jī)變量X

的概率密度為),其中μ和σ(σ>0)都是常數(shù).則稱X服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布,記為X～N(時(shí),得到的正態(tài)分布N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X

的概率密度和分布函數(shù)通常用和Φ(x)表示.當(dāng)?shù)恼龖B(tài)分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是服從參數(shù)為μ和σ2

應(yīng)熟練掌握以上6種重要的隨機(jī)變量的分布，要掌握它們的分布律或概率密度,對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度與分布函數(shù)要高度重視.6種分布在解決實(shí)際問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用.也是經(jīng)常考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.講評(píng)Φ(x)=

二、例題分類解析

離散型隨機(jī)變量的分布律的計(jì)算問(wèn)題

例1

一批零件中有9個(gè)正品和3個(gè)次品.安裝設(shè)備時(shí)從中任取一個(gè),若是次品不再放回,繼續(xù)任取一個(gè),直到取到正品為止.求在取到正品以前已取得次品數(shù)的分布律.本題涉及到求離散型隨機(jī)變量分布律的問(wèn)題.求分布律時(shí)可用前面古典概型、條件概率、獨(dú)立性、全概率公式等有關(guān)知識(shí)所學(xué).分析P{X=2}=P{X=3}=于是次品數(shù)的分布律為

P3210X

例2

設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生超過(guò)3次時(shí),指示燈發(fā)出信號(hào).求進(jìn)行7次獨(dú)立試驗(yàn),事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布律,并計(jì)算指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.本試驗(yàn)是7重伯努利試驗(yàn),隨機(jī)變量X應(yīng)分析服從二項(xiàng)分布.隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n=7與p=0.3的二項(xiàng)分布,其分布律為解P{X=k}=指示燈發(fā)出信號(hào)的概率=0.0772+0.0250+0.0036+0.0005=0.1063.

例3

某自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)次品的概率為5‰,生產(chǎn)過(guò)程中一旦出現(xiàn)次品,便立即進(jìn)行調(diào)整.求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的正品數(shù)X的分布律.由題設(shè)知事件{X=k}表示共試驗(yàn)了k+1次,第k+1次出現(xiàn)了次品,前面k次都是正品.于是X的分布律為解P{X=k}=0.005

例4一批產(chǎn)品共100個(gè),其中有5個(gè)次品95個(gè)正品.一次任意取出10個(gè)產(chǎn)品,求其中次品數(shù)X的分布律.本題是典型的超幾何分布的問(wèn)題.分析

隨機(jī)變量X服從參數(shù)n=10,M=5,N=100的超幾何分布,其分布律解

P{X=k}=

P{-2≤X＜2},P{X＜3|X＝0},P{X≥1|X≠3}.求

例5

已知離散型隨機(jī)變量X的分布律為

X-20136

P0.30.20.10.20.2本題涉及到利用概率分布求概率的問(wèn)題.由于分布律或分布函數(shù)全面地給出了離散型隨機(jī)變量取值的概率特征,所以可通過(guò)它們求得事件的概率.分析2.根據(jù)概率分布求概率的問(wèn)題解由分布律得=0.3+0.2+0.1=0.6.由條件概率公式得P{X＜3|X＝0}==1.P{-2≤X＜2}=P{X=-2}+P{X=0}+P{X=1}P{X≥1|X≠3}=0.375.例6設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求P{X=2},P{1≤X≤4},P{X<5|X≠1}.這是通過(guò)分布函數(shù)計(jì)算概率問(wèn)題.參見例6用分布律計(jì)算概率.P{X<5|X≠1}=

分析解

方法1

利用分布函數(shù)的定義計(jì)算P{X=2}=F(2)-F(2-0)=0.59-0.35=0.24,P{1≤X≤4}=F(4)-F(1)

–[F(1)

-F(1-0)]=0.59-0=0.59,P{X=2}=0.24，P{1≤X≤4}=P{X=1}+P{X=2}=0.35+0.24=

0.59,方法2

由分布函數(shù)可得到X的分布律X125P0.350.240.41于是

P{X<5|X≠1}=3.連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度及其分布問(wèn)題例7確定常數(shù)c,使如下函數(shù)

成為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度.解

令得到c=1.

顯然,非負(fù)性g(x)≥0(x∈(-∞,+∞))滿足.所以,函數(shù)g(x)在c=1條件下可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度.解

Y的概率密度方程有實(shí)根的充要條件是

Y≥4或Y≤-1.解得

例8

設(shè)隨機(jī)變量Y服從均勻分布U(-5,5),求關(guān)于x的方程的概率.有實(shí)根于是有{方程有實(shí)根}={Y≥4}∪{Y≤-1},故方程有實(shí)根的概率為P{Y≥4}+P{Y≤-1}

求連續(xù)型隨機(jī)變量的有關(guān)概率問(wèn)題經(jīng)常用到下列公式:講評(píng)(注意:“<”換成“≤”,公式仍成立);

4.關(guān)于正態(tài)分布的應(yīng)用問(wèn)題例9

用正態(tài)分布估計(jì)高考錄取最低分.某市有9萬(wàn)名高中畢業(yè)生參加高考,招生計(jì)劃有5.4萬(wàn)名被各類高校錄取.已知滿分為600分,540分以上者有2025人,360分以下者有13500人.試估計(jì)高考錄取最低分.解

設(shè)學(xué)生高考成績(jī),由題設(shè)有P{X≤540}=1-P{X>540}=1-

=0.9775.得到

P{X≤540}=又由于

P{X<360}=于是反查正態(tài)分布表,得解上述方程組,得

μ≈421,≈58,所以N(421.).已知錄取率

.設(shè)錄取最低分為a,則0.6=P{X≥a}=1-P{X<a}=1本題用正態(tài)分布估計(jì)高考錄取最低分是正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題之一.講評(píng)所以該次高考最低錄取分為406分.反查正態(tài)分布表,得到

=0.253,得a≈406.由于μ,

兩步:未知,故解決問(wèn)題可分如下(1)由題給的高考結(jié)果的兩個(gè)信息,建立關(guān)于未知參數(shù)μ,

的兩個(gè)方程,并解之;(2)通過(guò)已公布的錄取率,求得最低分值.本題涉及到已知概率密度求分布函數(shù)的問(wèn)題,用公式≤

F(x)=

去解決.例10

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求:(1)X的分布函數(shù);

(2)分析5.隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算問(wèn)題解

(1)由分布函數(shù)的定義知當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)0≤x<1時(shí),當(dāng)1≤x<2時(shí),當(dāng)x≥2時(shí),所以,X的分布函數(shù)為(2)由分布函數(shù)性質(zhì)可知

由概率密度f(wàn)(x)求分布函數(shù)F(x)是概率論中最基本的要求,應(yīng)熟練掌握.6.隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題X-3-1013P0.050.200.150.350.25例11

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求:(1)Y

=

5-2X的分布律;的分布律.(2)本題是離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律問(wèn)題,可用下面公式分析其中解(1)X為五點(diǎn)分布,y=5-2x為單調(diào)函數(shù).故不等時(shí)yi也不等,從而Y的分布律為Y-115711P0.250.350.150.200.05Z1210P0.150.550.30以Z=10為例,計(jì)算如下：P{Z=10}=P({X=-3}∪{X=3})=P{X=-3}

+P{X=3}=0.05+0.25=0.30.(2)由于z=x2+1為偶函數(shù)而非單調(diào),通過(guò)點(diǎn)分布,而是如下的三點(diǎn)分布:,Z的可能取值為1,

2,

10.關(guān)系故Z不再是五注:如果g(xk),k=1,2,…中有相同的值,則把對(duì)應(yīng)的概率相加.本題涉及到連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的問(wèn)題,有兩種方法:分布函數(shù)法和公式法.分析

例12

設(shè)隨機(jī)變量概率密度f(wàn)Y(y).求Y的解方法1(分布函數(shù)法)由題設(shè)得到X的分布函數(shù)故Y的分布函數(shù)為≤y}

=

FY(y)=P{Y≤y}=P{

所以FY(y)=

對(duì)y求導(dǎo),Y的概率密度為fY(y)=方法2(公式法)X的概率密度為時(shí),

當(dāng),反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)由定理得Y的概率密度f(wàn)Y(y)=即fY(y)=

例13

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,求Y=g(X)的分布函數(shù),其中當(dāng)y≥1時(shí),FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{S}=1;本題是連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)求解問(wèn)題.分析解

}=0;當(dāng)y<0時(shí),FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{由題設(shè)X的分布函數(shù)為當(dāng)0≤y<1時(shí),FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤y}=FX(y)=所以Y=g(X)的分布函數(shù)分布函數(shù)法具有