應用數(shù)值分析-線性代數(shù)方程組數(shù)值解法

線性代數(shù)方程組數(shù)值解法——直接法一、階線性代數(shù)方程組二、上（下）方程組與回代（前推）過程1、上三角方程組2、回代過程3、下三角方程組4、前推過程三、順序消去法1、消元過程（1）階方程組經(jīng)次消元后，得到的新的系數(shù)矩陣具有如下形式：（2）在第次，計算乘數(shù)，則元素的計算公式為：（3）完成次消元后：2、回代過程3、計算量估計（1）第次消元需要進行次乘法和次除法：（2）回代過程乘除法次數(shù)：（3）乘數(shù)法總次數(shù)：（4）加減法總次數(shù)：4、要求：系數(shù)矩陣的所有順序主子式四、列主元消去法1、對于非奇異矩陣，在第一步消元時，即使的第一個元素為零，但是的第一列元素中至少有一個不為零，把這個不為零的元素所在的行與第一行交換位置，即可進行消元。也就說，只要是非奇異的，必要時加上換行步驟，消去過程總是可以進行下去的。2、主元素：消去過程中的元素和回代過程中的元素均起著關鍵作用，稱為主元素。3、列主元素法：在消元過程的每一步之前，不管主元素是否為零，均從該元素及其所在列的下方元素中選出絕對值最大的元素，然后將該行與主元素所在行進行交換，再開始消元計算。新的主元素滿足：4、要求：系數(shù)矩陣非奇異五、直接三角法1、矩陣的三角分解（分解）：（1）分解：設為階非奇異矩陣，如果的順序主子式，則可分解為一個單位下三角陣和一個上三角陣的乘積，且這種分解是唯一的（的第一行與的第一行是相同的）。（2）分解：設為階非奇異矩陣，如果的順序主子式，則可分解為一個下三角陣和一個單位上三角陣的乘積，且這種分解是唯一的。（3）分解：設為階非奇異矩陣，如果的順序主子式，則可分解為一個單位下三角陣、一個對角矩陣和一個單位上三角陣的乘積，且這種分解是唯一的。2、解法步驟：（1）令已知，通過的元素直接計算出和的元素；（2）由已知的和解出（下三角方程組，前推過程）中的；（3）由已知的和解出（上三角方程組，回代過程）中的。3、要求：系數(shù)矩陣非奇異，順序主子式六、追趕法1、三對角方程組：系數(shù)矩陣除了對角線的“三斜行”以外的元素均為零。2、采用分解：把三對角方程組的系數(shù)矩陣分解為，其中為單位下三角矩陣，兩斜行，主對角元素為1，其下方的斜行元素待定；為上三角矩陣，兩斜行，主對角元素待定，其上方斜行元素與的對應的斜行元素相同。3、解三對角方程組追趕法（算法）步驟：（1）利用矩陣乘法規(guī)則求出和：（2）求解，得：（3）求解，得：（4）要求：三對角矩陣非奇異，順序主子式4、（1）嚴格對角占優(yōu)矩陣：矩陣的每個對角元素的絕對值都比所在行的非對角元素的絕對值的和要大，即對角占優(yōu)的三對角矩陣無零元素時能實現(xiàn)追趕法計算。（充分非必要）（2）弱對角占優(yōu)矩陣：至少有一個不等式取等號成立。七、平方根法1、設系數(shù)矩陣對稱正定，則存在一個實的下三角矩陣，使得當?shù)脑刂蝗≌龝r，此分解是唯一的。2、解三對角方程組平方根法（算法）步驟：（1）由矩陣乘法規(guī)則求出（2）由，求出（3）由，求出3、要求：八、消去法1、在消去法把方程組系數(shù)矩陣約化為上三角方程組的基礎上，再把所在這一列的除的其它元素都消為0，并約化。2、求逆矩陣的計算機算法：為求階可逆矩陣的逆矩陣，作階矩陣（其中為階單位矩陣），作初等行變換，當?shù)淖笠话牖癁闀r，右一半就是。3、計算量：（1）乘數(shù)法總次數(shù)：（2）加減法總次數(shù)：九、改進的平方根算法1、設系數(shù)矩陣對稱且順序主子式，則存在一個單位下三角矩陣和對角矩陣，使得且此分解是唯一的。2、改進平方根算法步驟：（1）將直接分解為，根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，求出和（2）由，求出（3）由，求出3、要求：系數(shù)矩陣對稱且順序主子式十、直接法誤差分析1、擾動誤差分析：對于方程組，(),設有誤差，有誤差，因此引起解有誤差，即：（1）與分別有擾動和時：（2）精確（），有擾動時：（3）精確（），有擾動時：當很小時，2、條件數(shù)：（1）設為非奇異陣，稱為矩陣的條件數(shù)。（2）如果矩陣的條件數(shù)相對大，就稱是壞條件的或是病態(tài)矩