重慶市長壽區(qū)八校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末聯(lián)考試題（B卷）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

重慶市長壽區(qū)2023—2024學(xué)年下學(xué)期高二期末檢測卷（B）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.3.用0，3，5，7，9組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.48 B.96 C.60 D.1204.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且，則被8整除的余數(shù)為（）A.4 B.6 C.7 D.55.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為1234則（）A. B. C. D.6已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，有下列四個(gè)命題：甲：乙：丙：?。喝暨@四個(gè)命題中有且只有一個(gè)是假命題，則該假命題為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.在對(duì)一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，從已知數(shù)據(jù)了解到預(yù)報(bào)變量隨著解釋變量的增大而減小，且大致趨于一個(gè)確定的值．則下列擬合函數(shù)中符合條件的是（）A. B.C. D.8.設(shè)某中學(xué)的女生體重（單位：）與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.若該中學(xué)女生的平均身高為，則該中學(xué)女生的平均體重的估計(jì)值是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.設(shè)是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到線性回歸直線方程，下列結(jié)論正確的是（）A.與正相關(guān)的充要條件是 B.直線過點(diǎn)C.與之間相關(guān)系數(shù)為 D.當(dāng)增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位10.已知集合滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為1B.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為15C.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為45D.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為7811.已知函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，記三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，則下列說法正確的是（）A.存在實(shí)數(shù)，使得B.CD.定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則_______________，最小值為___________．13.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為_____________．14.某國企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是該國企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤，預(yù)測第8年該國企的生產(chǎn)利潤約為______千萬元．年號(hào)12345年生產(chǎn)利潤（單位：千萬元）0.70.811.11.4四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在一個(gè)的網(wǎng)格中填齊1至9中的所有整數(shù)，每個(gè)格子只填一個(gè)數(shù)字，已知中心格子的數(shù)字為．（1）求滿足第二橫排、第二豎排的個(gè)數(shù)字之和均為的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)；（2）求滿足第二橫排的數(shù)字從左到右依次增大，第二豎排的數(shù)字從上到下依次增大的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)．16.已知二項(xiàng)式．（1）若，，求二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)；（2）若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．17.已知函數(shù)．（1）若，判斷的單調(diào)性；（2）若在上沒有極值點(diǎn)，求的取值范圍．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知有兩個(gè)極值點(diǎn).（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┤舻臉O小值小于，求的極大值的取值范圍.19.混凝土具有原材料豐富、抗壓強(qiáng)度高、耐久性好等特點(diǎn)，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗壓強(qiáng)度是混凝土質(zhì)量控制的重要技術(shù)參數(shù)，也是實(shí)際工程對(duì)混凝土要求的基本指標(biāo)．為了解某型號(hào)某批次混凝土的抗壓強(qiáng)度（單位：）隨齡期（單位：天）的發(fā)展規(guī)律，質(zhì)檢部門在標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)條件下記錄了10組混凝土試件在齡期分別為時(shí)的抗壓強(qiáng)度的值，并對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．9.429.723665.5439.255表中．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為抗壓強(qiáng)度關(guān)于齡期的回歸方程類型？選擇其中的一個(gè)模型，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（2）工程中常把齡期為28天的混凝土試件的抗壓強(qiáng)度視作混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值．已知該型號(hào)混凝土設(shè)置的最低抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為．（i）試預(yù)測該批次混凝土是否達(dá)標(biāo)？（ii）由于抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值需要較長時(shí)間才能評(píng)定，早期預(yù)測在工程質(zhì)量控制中具有重要的意義．經(jīng)驗(yàn)表明，該型號(hào)混凝土第7天的抗壓強(qiáng)度與第28天的抗壓強(qiáng)度具有線性相關(guān)關(guān)系，試估計(jì)在早期質(zhì)量控制中，齡期為7天的試件需達(dá)到的抗壓強(qiáng)度．附：參考數(shù)據(jù)：．重慶市長壽區(qū)2023—2024學(xué)年下學(xué)期高二期末檢測卷（B）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】由可得，則，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.故曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為.故選：D2.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而得到a，b，c的大小關(guān)系.詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，因?yàn)?，所以故選：D3.用0，3，5，7，9組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.48 B.96 C.60 D.120【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊位置優(yōu)先安排，萬位上的數(shù)字不能為0，先排萬位，再排其他數(shù)位，最后根據(jù)定序問題求解即可.【詳解】萬位上數(shù)字不能為0，先排萬位，再排其他數(shù)位，則用0，3，5，7，9組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為．故選：A.4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且，則被8整除的余數(shù)為（）A.4 B.6 C.7 D.5【答案】C【解析】【分析】先用求公式求出，再結(jié)合二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得，整理得，即，則是首項(xiàng)為1的常數(shù)列，故，則.所以，能被56整除一定能被8整除，變形運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，可以得到，被8整除的余數(shù)即末項(xiàng)被8整除的余數(shù)，，則被8整除的余數(shù)為7.故選：C.5.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為1234則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：，故選B考點(diǎn)：概率分布6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，有下列四個(gè)命題：甲：乙：丙：?。喝暨@四個(gè)命題中有且只有一個(gè)是假命題，則該假命題為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】由甲乙兩個(gè)有一個(gè)正確得的均值為，可得甲乙正確，然后由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷丙?。驹斀狻渴紫燃住⒁抑兄辽儆幸粋€(gè)正確，因此是的均值，從而甲乙兩個(gè)均正確，，丙正確，而，丁錯(cuò)誤．故選：D．7.在對(duì)一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，從已知數(shù)據(jù)了解到預(yù)報(bào)變量隨著解釋變量的增大而減小，且大致趨于一個(gè)確定的值．則下列擬合函數(shù)中符合條件的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，以及當(dāng)時(shí)，各函數(shù)的函數(shù)值的變化情況，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，、、均為減函數(shù)，且當(dāng)，，，，故選：D.8.設(shè)某中學(xué)的女生體重（單位：）與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.若該中學(xué)女生的平均身高為，則該中學(xué)女生的平均體重的估計(jì)值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將代入回歸直線方程，可得出該中學(xué)女生的平均體重的估計(jì)值.【詳解】將代入回歸直線方程得，因此，該中學(xué)女生的平均體重的估計(jì)值是.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.設(shè)是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到線性回歸直線方程，下列結(jié)論正確的是（）A.與正相關(guān)的充要條件是 B.直線過點(diǎn)C.與之間的相關(guān)系數(shù)為 D.當(dāng)增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)回歸直線方程的意義一一判斷即可.【詳解】依題意與正相關(guān)的充要條件是，故A正確；根據(jù)回歸直線的性質(zhì)可知直線必過點(diǎn)，故B正確；因?yàn)榕c之間的相關(guān)系數(shù)，而，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋援?dāng)增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位，故D正確.故選：ABD10.已知集合滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為1B.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為15C.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為45D.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為78【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由集合的定義即可列舉出集合中所有的元素即可判斷；對(duì)于B，中的元素均為正奇數(shù)，對(duì)分類討論即可驗(yàn)算；對(duì)于C，原問題等價(jià)于將11個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法即可驗(yàn)算；對(duì)于D，原問題等價(jià)于將14個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法驗(yàn)算即可.【詳解】對(duì)于A，由題意得，所以中的元素的個(gè)數(shù)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意得中的元素均為正奇數(shù)，在中，當(dāng)時(shí)，有共5個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共4個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共3個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共2個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共1個(gè)元素，所以中的元素的個(gè)數(shù)為，B正確；對(duì)于C，，可轉(zhuǎn)化為將11個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個(gè)數(shù)為45，C正確；對(duì)于D，，可轉(zhuǎn)化為將14個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個(gè)數(shù)為，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷CD選項(xiàng)的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，并利用隔板法，由此即可順利得解.11.已知函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，記三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，則下列說法正確的是（）A.存在實(shí)數(shù)，使得B.C.D.為定值【答案】BCD【解析】【分析】化簡方程，令，得，構(gòu)造，則，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于x的方程三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，，結(jié)合韋達(dá)定理，推出所求表達(dá)式的關(guān)系式，然后對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案．詳解】由方程，可得．令，則有，即．令函數(shù)，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，作出圖象如圖所示，要使關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，，且，或，，令，若，，則故．若，，則，無解，綜上：，故C正確；由圖結(jié)合單調(diào)性可知，故B正確；若，則，又，故A不正確；，故D正確，故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象將，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則_______________，的最小值為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】由出導(dǎo)函數(shù)，令求得，由極限定義可得極限，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得最小值．【詳解】由已知得，所以，解得，，，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的極小值也是最小值為，故答案為：；．13.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為_____________．【答案】1200【解析】【分析】根據(jù)總體密度函數(shù)可知，結(jié)合對(duì)稱性求解即可.【詳解】因?yàn)榭傮w密度函數(shù)為：，則，由得,所以超過100分人數(shù)大約為：人，故答案為：1200.14.某國企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是該國企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤，預(yù)測第8年該國企的生產(chǎn)利潤約為______千萬元．年號(hào)12345年生產(chǎn)利潤（單位：千萬元）0.70.811.11.4【答案】【解析】【分析】求出回歸方程可得,代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知，,易知;代入計(jì)算可得；可得，即可得回歸方程為，將代入可得,即第8年該國企的生產(chǎn)利潤約為千萬元.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在一個(gè)的網(wǎng)格中填齊1至9中的所有整數(shù)，每個(gè)格子只填一個(gè)數(shù)字，已知中心格子的數(shù)字為．（1）求滿足第二橫排、第二豎排個(gè)數(shù)字之和均為的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)；（2）求滿足第二橫排的數(shù)字從左到右依次增大，第二豎排的數(shù)字從上到下依次增大的不同的數(shù)字填寫方案種數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意第二橫排或第二豎排的其它個(gè)數(shù)字之和必然為，將剩下的數(shù)字分為個(gè)組合，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；（2）先排的左邊與上邊，再排的右邊與下邊，最后將剩下的數(shù)字全排列.【小問1詳解】要使第二橫排和第二豎排的個(gè)數(shù)字之和均為，則第二橫排或第二豎排的其它個(gè)數(shù)字之和必然為，則要從和，和，和，和這四個(gè)組合中選出兩個(gè)組合填寫，首先選一個(gè)組合填到第二橫排的兩個(gè)空中，再選一個(gè)組合填到第二豎排的兩個(gè)空中，最后將其余四個(gè)數(shù)全排列，故有種填法.【小問2詳解】先從、、、這四個(gè)數(shù)字中選個(gè)數(shù)字分別排到的左邊和上邊，有種；再從、、、這四個(gè)數(shù)字中選個(gè)數(shù)字分別排到的右邊和下邊，有種；最后將其余四個(gè)數(shù)字排到剩下的四個(gè)位置，有種；按照分步乘法原理可得，一共有種填法.16.已知二項(xiàng)式．（1）若，，求二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)；（2）若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，，將二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，利用二項(xiàng)式定理即可得解；（2）先由題意求得，再利用二項(xiàng)展開通項(xiàng)公式得到關(guān)于系數(shù)最大的項(xiàng)的不等式組，解之即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，，，顯然能被7整除，，所以二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)為.【小問2詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)式系數(shù)之和為128，，則的展開通項(xiàng)公式為，假設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，則，即，即，解得，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6，7項(xiàng)，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是熟練掌握組合數(shù)公式，從而得解.17.已知函數(shù)．（1）若，判斷的單調(diào)性；（2）若在上沒有極值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）解不等式即可；（2）分兩種情況：即在上恒成立，或在上恒成立?！拘?詳解】當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，由，得．由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，若在上沒有極值點(diǎn)，則在上單調(diào)，即在上恒成立，或在上恒成立．若在上恒成立，則，解得，若在恒成立，則，解得．綜上所述，a的取值范圍為．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知有兩個(gè)極值點(diǎn).（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┤舻臉O小值小于，求的極大值的取值范圍.【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）（ⅰ）分析可知原題意等價(jià)于有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，結(jié)合基本不等式分析求解；（ⅱ）設(shè)有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)單調(diào)性可知的極值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)代換可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性分析可得，則，即可得取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以曲線在處的切線方程為，即.【小問2詳解】（?。┯深}意可知：的定義域?yàn)?，，令，可得，原題意等價(jià)于有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可知，所以的取值范圍；（ii）由（i）可知：有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)，可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn)，對(duì)于的極值點(diǎn)，則，可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可知，則，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以的極大值的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法（1）若求極值，則先求方程的根，再檢查在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)；（2）若探究極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，則探求方程在所給范圍內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)；（3）若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況來求解；（4）求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間的