愛提分中考復習 4一輪-圖形的性質(zhì)-第07講 四邊形（二）(學生版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學學生輔導講義[學生版]學員姓名王曉與 年級初一輔導科目初中數(shù)學學科教師衛(wèi)雅鑫上課時間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識圖譜四邊形（二）知識精講一．知識精講1．平行四邊形平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形用“□”表示．如右圖，平行四邊形記作“□”．（字母順序須按順時針或逆時針的順序書寫）．平行四邊形的性質(zhì)（1）邊的性質(zhì)：對邊平行且相等．如下圖：，，，．（2）角的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等．如下圖：，．（3）對角線的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．如下圖：，．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）與角有關的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）與對角線有關的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．2．三角形的中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．性質(zhì)：平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．3．矩形矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也就是長方形．矩形的性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)它全都具有．此外，它還具有以下性質(zhì)：（1）矩形的四個角都是直角；（2）對角線相等．（3）是軸對稱圖形，對稱軸是邊的垂直平分線．矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個角是直角的四邊形是矩形．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．4．菱形菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)它全都具有．此外，它還具有以下性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．（3）是軸對稱圖形，對稱軸是對角線所在的直線．菱形的判定：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（定義）；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形．面積問題：如下圖：．5．正方形正方形的定義：有一組鄰邊相等、一個內(nèi)角是的平行四邊形叫做正方形．正方形的性質(zhì)：（1）正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)．（3）正方形是軸對稱圖形，對稱軸有4條．正方形的判定：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）有一個角是直角的菱形是正方形；（3）對角線互相垂直的矩形是正方形；（4）對角線相等的菱形是正方形；（5）對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊相等且四個角是直角的四邊形是正方形．6．梯形梯形的概念：一組對邊平行，另外一組對邊不平行的四邊形叫做梯形．平行的兩邊叫做梯形的底，其中較短的底稱為上底，較長的底稱為下底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩底間的距離叫做梯形的高．等腰梯形的性質(zhì)：（1）等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；（2）等腰梯形的兩條對角線相等．等腰梯形的判定：（1）同一底邊上兩個角相等的梯形是等腰梯形；（2）對角線相等的梯形是等腰梯形．直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．梯形中位線的定義：梯形兩腰中點的連線叫做梯形的中位線．梯形中位線的性質(zhì)：梯形的中位線平行于上、下底，且等于上、下底和的一半．三點剖析方法點撥1．任一個三角形都有三條中位線，由此有下列結(jié)論：（1）三條中位線組成一個三角形，周長為原三角形周長的一半．（2）三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形．（3）三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形．（4）三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分．（5）任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等．2．任意兩點的中點坐標公式：對于平面直角坐標系內(nèi)的任意兩點，，線段的中點坐標為．3．弦圖模型圖1圖2如圖1，；如圖2，．4．梯形中常見輔助線的作法（1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中；（2）“平移腰”：過上底端點做一腰的平行線，構造一個平行四邊形和三角形；（3）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中；（4）“全等變形”：連接梯形一腰端點和另一腰中點并延長，與底的延長線交于一點，構造全等三角形．（（1）（2）（4）（3）5．四邊形與動點問題或者與坐標系綜合問題都要注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想．四邊形與全等三角形綜合例題例題1、如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是線段BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG（1）連接GD，求證：；（2）連接FC，求證：，并說明理由；（3）當E點在CB的延長線上時，如圖（2），連接FC，則等于多少度？請說明理由．例題2、已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC交線段AE于F．（1）如圖1，若，，請直接寫出線段CD與之間所滿足的等量關系；（2）如圖2，若，你在（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，若成立，對你的結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關系，請直接寫出你的結(jié)論．圖二圖二圖三圖一例題3、在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH．（1）若點P在線段CD上，如圖1．①依題意補全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；（2）若點P在線段CD的延長線上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路．（可以不寫出計算結(jié)果）隨練隨練1、正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH.（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關系是；（2）如圖2，當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．隨練2、(2013中考西城區(qū)二模)在△ABC中，，AD，CE分別平分和，且AD與CE交于點M．點N在射線AD上，且．過點N作NF⊥CE于點G，且與AC交于點F，再過點F作FH∥CE，且與AB交于點H．（1）如圖1，當時，點M，N，G重合．①請根據(jù)題目要求在圖1中補全圖形；②連結(jié)EF，HM，則EF與HM的數(shù)量關系是__________；（2）如圖2，當∠BAC=120°時，求證：AF=EH；A（3）當時，我們稱△ABC為“黃金三角形”，此時．若，直接寫出GM的長．ACCAEBDMNCBDGFMEHCEMBDA圖1 圖2 圖3隨練3、已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點E在直線BC上（不與點B，C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線AD于點M．（1）當點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，如圖①，求證：AB+BE=AM；（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點H．）（2）當點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，如圖②；當點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，如圖③．請分別寫出線段AB，BE，AM之間的數(shù)量關系，不需要證明；（3）在（1），（2）的條件下，若BE=，∠AFM=15°，則AM=______．特殊四邊形問題例題例題1、我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請你證明此結(jié)論；②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．例題2、類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．（2）小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形．她的猜想正確嗎？請說明理由．（3）如圖2，小紅作了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結(jié)AA′，BC′．小紅要使得平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段B′B的長）？隨練隨練1、如圖1，矩形MNPQ中，點E，F(xiàn)，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形，圖2，圖3中，四邊形ABCD為矩形，且，．112341234MNPQEFGHABCDABCDEFGHM圖1圖2圖3（1）在圖2，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，試利用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH；（2）求圖2中反射四邊形EFGH的周長；（3）矩形ABCD的反射四邊形是不唯一的，反射四邊形的周長都是可以求的，如圖3中，為了求矩形ABCD的反射四邊形EFGH的周長，小明同學嘗試延長GF交BC的延長線于M，試利用小明同學給我們的啟發(fā)求反射四邊形EFGH的周長．隨練2、對某一種四邊形給出如下定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．則∠C=__________度，∠D=__________度．（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：①小紅畫了一個“等對角四邊形ABCD”（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請你證明此結(jié)論；②在①的條件下，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=4，∠BCD=60°，求等對角四邊形ABCD的面積．四邊形與坐標系綜合例題例題1、如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△ECD分別置于平面直角坐標系xOy中，使點E與點B重合，直角邊OB、BC在y軸上．已知點，過A、D兩點的直線交y軸 于點F．若△ECD沿DA方向以每秒個單位長度的速度勻速平移，設平移的時間為（秒），記△ECD在平移過程中某時刻為△，與AB交于點M，與y軸交于點N，與AB交于點Q，與y軸交于點P(注：平移過程中，點始終在線段DA上，且不與點A重合)．（1）求直線AD的函數(shù)解析式；（2）試探究在△ECD平移過程中，四邊形MNPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及的取值；若不存在，請說明理由；（3）以MN為邊，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH與坐標軸有兩個公共點時的取值范圍．例題2、如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（-4，4）．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規(guī)定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設點P運動的時間為t（s）．（1）∠PBD的度數(shù)為____，點D的坐標為____（用t表示）；（2）當t為何值時，△PBE為等腰三角形？（3）探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．隨練隨練1、平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，點C的坐標為（-3，4），點A在x軸的正半軸上，O為坐標原點，連接OB，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過C、O、A三點．（1）直接寫出這條拋物線的解析式；（2）如圖1，對于所求拋物線對稱軸上的一點E，設△EBO的面積為S1，菱形ABCO的面積為S2，當S1≤S2時，求點E的縱坐標n的取值范圍；（3）如圖2，D（0，-）為y軸上一點，連接AD，動點P從點O出發(fā)，以個單位/秒的速度沿OB方向運動，1秒后，動點Q從O出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿折線O-A-B方向運動，設點P運動時間為t秒（0＜t≤6），是否存在實數(shù)t，使得以P、Q、B為頂點的三角形與△ADO相似？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．隨練2、如圖1，矩形OABC頂點B的坐標為（8，3），定點D的坐標為（12，0），動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，PQ兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設運動時間為t秒．（1）當t=____時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B；（2）設△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式；（3）如圖2，過定點E（5，0）作EF⊥BC，垂足為F，當△PQR的頂點R落在矩形OABC的內(nèi)部時，過點R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點M、N，若∠MAN=45°，求t的值．拓展拓展1、在平行四邊形中，的平分線交直線于點，交直線于點．（1）在圖1中證明；（2）若，是的中點（如圖2），直接寫出的度數(shù)；（3）若，，，分別連結(jié)、（如圖3），求的度數(shù)．拓展2、（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，滿足．求證：；（2）如圖2，正方形ABCD中，E、F、G分別是BC、CD、AD邊上的點，滿足EG⊥BF，此時必有，請在圖2中畫出你證明這個結(jié)論時需要添加的輔助線；（3）如圖3，在（2）的情況下，連接GF．求證：．AABDFCEABDFCEGABDFCEG圖1圖2圖3拓展3、如圖，菱形ABCD中，點P是CD的中點，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點．（1）求證：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n?PK，試求出n的值；（3）作BM丄AE于點M，作KN丄AE于點N，連結(jié)MO、NO，如圖2所示，請證明△MON是等腰三角形，并直接寫出∠MON的度數(shù)．拓展4、閱讀下列材料：

我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則稱這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．

結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：

（1）下列哪個四邊形一定是和諧四邊形（）

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

（2）如圖，等腰中，．若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且，請直接寫出的度數(shù)．AABD拓展5、我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；（