愛提分中考復習 14三輪-四邊形綜合-第01講 四邊形綜合（一）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學教師輔導講義[教師版]學員姓名王李 年級輔導科目初中數(shù)學學科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜四邊形綜合（一）知識精講一．平行四邊形的判定1．與邊有關的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．2．與角有關的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．3．與對角線有關的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．二．矩形的判定1．有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）；2．對角線相等的平行四邊形是矩形；3．有三個角是直角的四邊形是矩形．三．菱形的判定1．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（定義）；2．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3．四條邊都相等的四邊形是菱形．四．正方形的判定1．有一組鄰邊相等的矩形是正方形；2．有一個角是直角的菱形是正方形；3．對角線互相垂直的矩形是正方形；4．對角線相等的菱形是正方形；5．對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形；6．四條邊相等且四個角是直角的四邊形是正方形．五．四邊形的綜合計算四邊形的綜合計算中常與勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)結(jié)合起來，根據(jù)題目中的條件，靈活的選取合適的計算方法，綜合性較強．三點剖析一．考點：1．四邊形的證明；2．四邊形的綜合計算．二．重難點：1．四邊形的證明；2．四邊形的綜合計算．三．易錯點：題目中關鍵結(jié)論判斷錯誤，四邊形綜合計算中容易出錯．四邊形的證明例題例題1、已知，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AD、OA、BC、OC的中點．（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；（2）當BC=AB時，判斷四邊形EFGH為何種特殊四邊形，并證明．【答案】（1）見解析（2）平行四邊形EFGH為矩形【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD=OB．∵E、F分別是AD、OA的中點，EF是△AOD的中位線，∴EFOD．同理得到GH是△BOC的中位線，則GHOB，∴EFGH，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）平行四邊形EFGH為矩形．理由如下：如圖，連接EG．∵點E、G是AD、BC的中點，四邊形ABCD是矩形，∴EG⊥BC，且點O在線段EG上，∠ABC=90°．∵BC=AB，∴tan∠ACB=，∴∠ACB=30°，∴OG=OC=OH，即OG=OH．又∵由（1）知，四邊形EFGH為平行四邊形，∴2OG=2OH，即EG=FH，∴平行四邊形EFGH為矩形．例題2、△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE．（1）如圖（a）所示，當點D在線段BC上時．①求證：△AEB≌△ADC；②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；（2）如圖（b）所示，當點D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否成立；（3）在（2）的情況下，當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．【答案】（1）①見解析②四邊形BCGE是平行四邊形（2）①②都成立（3）見解析【解析】證明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．又∵EG∥BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形．方法二：證出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．∵EG∥BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形．（2）①②都成立．（3）當CD=CB（∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）時，四邊形BCGE是菱形．理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD又∵CD=CB，∴BE=CB．由②得四邊形BCGE是平行四邊形，∴四邊形BCGE是菱形．方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．又∵四邊形BCGE是菱形，∴BE=CB∴CD=CB．方法三：∵四邊形BCGE是平行四邊形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等邊三角形．又∵AB=BC，四邊形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．例題3、以△ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？【答案】見解析【解析】（1）圖中四邊形ADEG是平行四邊形．理由如下：∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同為∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的對角線，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE∠BDA=∠BDE45°，∠DAG=360°∠GAC∠BAC∠BAD=360°90°∠BAC45°=225°∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE45°+225°∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．（2）當四邊形ADEG是矩形時，∠DAG=90°．則∠BAC=360°∠BAD∠DAG∠GAC=360°45°90°90°=135°，即當∠BAC=135°時，平行四邊形ADEG是矩形；（3）當四邊形ADEG是正方形時，∠DAG=90°，且AG=AD．由（2）知，當∠DAG=90°時，∠BAC=135°．∵四邊形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四邊形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴當∠BAC=135°且AC=AB時，四邊形ADEG是正方形．隨練隨練1、①如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點O，E、F、G、H分別是AD，BD，BC，AC的中點．（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當四邊形ABCD滿足一個什么條件時，四邊形EFGH是菱形？并證明你的結(jié)論；②如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延長線與點F．求證：AB垂直平分DF．【答案】見解析【解析】本題考查了中位線知識，平行四邊形和菱形的判斷方法．①（1）由三角形中位線知識可得EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）要是菱形，只需增加相鄰兩邊相等，如要得到EF=GF，由中位線知識，只須AB=CD．②∵FB∥AC，∠ACB=90°∴∠FBC=90°，由AC=BC、∠ACB=90°∴∠DBA=45°，AB是∠CBF平分線．證明Rt△ADC≌Rt△FBC，所以DB=FB，所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三線合一定理）．①（1）證明：∵E、F分別是AD、BD中點，∴EF∥AB，EF=AB，同理GH∥AB，GH=AB，∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）當四邊形ABCD滿足AB=CD時，四邊形EFGH是菱形．證明：F、G分別是BD、BC中點，所以GF=CD，∵AB=CD，∴EF=GF又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．②證明：∵∠ACB=90°，Rt△ADC中，∠1+∠2=90°，∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3+∠2=90°，得：∠1=∠3．∵FB∥AC，∠ACB=90°，∴∠FBC=90°，得：△FBC是直角三角形．∵AC=BC，∠1=∠3，△FBC是直角三角形∴Rt△ADC≌Rt△FBC．∴CD=FB，已知CD=DB，可得：DB=FB．由AC=BC、∠ACB=90°，可得：∠4=45°，AB是∠CBF平分線．所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三線合一定理）．隨練2、如圖，已知正方形ABCD，E是AB延長線上一點，F(xiàn)是DC延長線上一點，連接BF、EF，恰有BF=EF，將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得FG，過點B作EF的垂線，交EF于點M，交DA的延長線于點N，連接NG．（1）求證：BE=2CF；（2）試猜想四邊形BFGN是什么特殊的四邊形，并對你的猜想加以證明．【答案】（1）證明：過F作FH⊥BE，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，∴四邊形BCFH為矩形，∴BH=CF，又∵BF=EF，∴BE=2BH，∴BE=2CF；（2）解：四邊形BFGN為菱形，證明如下：∵MN⊥EF，∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，∴∠ABN+∠E=90°，∵BF=EF，∴∠E=∠EBF，∴∠ABN+∠EBF=90°，又∵∠EBC=90°，∴∠CBF+∠EBF=90°，∴∠ABN=∠CBF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，在△ABN和△CBF中∴△ABN≌△CBF（ASA），∴BF=BN，又由旋轉(zhuǎn)可得EF=FG=BF，∴BN=FG，∵∠GFM=∠BME=90°，∴BN∥FG，∴四邊形BFGN為菱形【解析】（1）過F作FH⊥BE于點H，可證明四邊形BCFH為矩形，可得到BH=CF，且H為BE中點，可得BE=2CF；（2）由條件可證明△ANB≌△CFB，可得BN=BF，可得到BN=GF，且BN∥FG，可證得四邊形BFGN為菱形．（1）證明：過F作FH⊥BE，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，∴四邊形BCFH為矩形，∴BH=CF，又∵BF=EF，∴BE=2BH，∴BE=2CF；（2）解：四邊形BFGN為菱形，證明如下：∵MN⊥EF，∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，∴∠ABN+∠E=90°，∵BF=EF，∴∠E=∠EBF，∴∠ABN+∠EBF=90°，又∵∠EBC=90°，∴∠CBF+∠EBF=90°，∴∠ABN=∠CBF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，在△ABN和△CBF中∴△ABN≌△CBF（ASA），∴BF=BN，又由旋轉(zhuǎn)可得EF=FG=BF，∴BN=FG，∵∠GFM=∠BME=90°，∴BN∥FG，∴四邊形BFGN為菱形．隨練3、如圖，以的三邊為邊在的同側(cè)分別作三個等邊三角形，即、、，請回答下列問題，并說明理由．（1）四邊形是什么四邊形；（2）當滿足什么條件時，四邊形是矩形；（3）當滿足什么條件時，以，，，為頂點的四邊形不存在．【答案】（1）平行四邊形（2）（3）【解析】（1）四邊形是平行四邊形．理由：，都是等邊三角形．，，．．在和中，，，．．又是等邊三角形，．．同理可證：，四邊形平行四邊形（2）四邊形是矩形，．．時，四邊形是矩形（3）當時，以，，，為頂點的四邊形不存在隨練4、已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：（1）如圖1，若點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）（2）如圖2，若點E，F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎上，連接AE和EF，若點M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）AF⊥DE；（2）成立；（3）四邊形MNPQ是正方形．【解析】（1）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由為：如圖，設MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，∵點M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四邊形OHQG是平行四邊形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．隨練5、Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；（2）取BC中點O，將△ABC繞點O順時鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點，猜想OQ、OP長度的大小關系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，指出當旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）【答案】見解析【解析】此題考查學生對平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，菱形的判定等知識的綜合運用．（1）已知△ABC≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AB=CF，AC=BF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到OP=OQ．（3）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形的菱形進行分析即可．（1）證明：∵△ABC≌△FCB，（1分）∴AB=CF，AC=BF．（2分）∴四邊形ABFC為平行四邊形．（3分）（用其它判定方法也可）（2）解：OP=OQ，（4分）理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，∴△COQ≌△BOP．（6分）∴OQ=OP．（7分）（用平行四邊形對稱性證明也可）（3）解：90°．理由：∵OP=OQ，OC=OB，∴四邊形PCQB為平行四邊形，∵BC⊥PQ，∴四邊形PCQB為菱形．（8分）隨練6、以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連接這四個點，得四邊形EFGH．（1）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設∠ADC=α（0°＜α＜90°），①試用含α的代數(shù)式表示∠HAE；②求證：HE=HG；③四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由．【答案】（1）四邊形EFGH的形狀是正方形（2）①90°+α②見解析③正方形【解析】（1）四邊形EFGH的形狀是正方形．（2）①∠HAE=90°+α，在平行四邊形ABCD中AB∥CD，∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α，∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-（180°-a）=90°+α，答：用含α的代數(shù)式表示∠HAE是90°+α．②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，在平行四邊形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，∵△AHD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．③答：四邊形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，∴四邊形EFGH是菱形，∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，∴四邊形EFGH是正方形．四邊形的綜合計算例題例題1、如圖，在?ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，連接EC、AF，AF與EC交于點M，AF的延長線與DC的延長線交于點N．（1）求證：AB=CN；（2）若AB=2n，BE=2MF，試用含n的式子表示線段AN的長．【答案】（1）證明見解析；（2）3n．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DN，∴∠B=∠FCN，∠BAF=∠N，∵F是BC的中點，∴BF=CF，在△ABF和△NCF中，，∴△ABF≌△NCF（AAS），∴AB=CN；（2）∵AB∥DN，∴△AEM∽△NCM，∴，∵AB=CN，且E是AB的中點，∴，∵，AB=2n，BE=2MF，∴BE=n，，∴，由△ABF≌△NCF，可得AF=FN，∴，∴，∴AN=3n．例題2、如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形ABE．點F是對角線BD上一動點（點F不與點B重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM，連接FM．（1）求AO的長；（2）如圖2，當點F在線段BO上，且點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上時，求證：AC=AM；（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請直接寫出△AFM的周長．【答案】（1）5（2）見解析（3）3【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD，∵BD=24，∴OB=12，在Rt△OAB中，∵AB=13，∴OA===5．（2）如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，由已知AF=AM，∠MAF=60°，∴△AFM為等邊三角形，∴∠M=∠AFM=60°，∵點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上，∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，∴∠FAC=∠FCA=30°，∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，在Rt△ACM中∵tan∠M=，∴tan60°=，∴AC=AM．（3）如圖，連接EM，∵△ABE是等邊三角形，∴AE=AB，∠EAB=60°，由（1）知△AFM為等邊三角形，∴AM=AF，∠MAF=60°，∴∠EAM=∠BAF，在△AEM和△ABF中，，∴△AEM≌△ABF（SAS），∵△AEM的面積為40，△ABF的高為AO∴BF?AO=40，BF=16，∴FO=BF-BO=16-12=4AF===，∴△AFM的周長為3．例題3、在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．（1）如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．①求證：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的長．（2）如圖3，連接BD交AE于點M，交AF于點N．請?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關系？并說明理由．【答案】（1）①見解析②AH=6（2）三者關系為：MN2=ND2+BM2，理由見解析【解析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．設正方形的邊長為x，則EC=x﹣2，F(xiàn)C=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（2）如圖所示：將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BM=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2隨練隨練1、如圖，在?ABCD中，M、N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O．（1）求證：△ABN≌△CDM；（2）過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的長．【答案】（1）見解析；（2）2【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N分別是AD，BC的中點，∴BN=DM，∵在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）∵M是AD的中點，∠AND=90°，∴MN=MD=AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°又∵∠END=∠CNP=∠2∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2，∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM是等邊三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2．隨練2、在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射線AP位于該菱形外側(cè)，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，直線DE與直線AP交于F，連接BF，設∠PAB=α．（1）依題意補全圖1；（2）如圖1，如果0°＜α＜30°，判斷∠ABF與∠ADF的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖2，如果30°＜α＜60°，寫出判斷線段DE，BF，DF之間數(shù)量關系的思路；（可以不寫出證明過程）（4）如果60°＜α＜90°，直接寫出線段DE，BF，DF之間的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析（2）∠ABF=∠ADF（3）DF=ED﹣BF（4）BF=DE+DF【解析】（1）如圖1所示：（2）∠ABF=∠ADF．理由：如圖2所示：連接AE．∵點B與點E關于直線PA對稱，∴EA=AB，∠ABF=∠AEF．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD．∴AE=AD．∴∠AEF=∠ADF．∴∠ABF=∠ADF．（3）DF=ED﹣BF．理由：如圖3所示：∵點B與點E關于PA對稱，∴EF=BF．又∵DF=ED﹣EF，∴DF=ED﹣BF．（4）BF=DE+DF．理由：如圖4所示：∵點B與點E關于PA對稱，∴EF=BF．又∵EF=ED+DF，∴BF=DE+DF．隨練3、如圖，四邊形ABCD為菱形，點E為對角線AC上的一個動點，連結(jié)DE并延長交AB于點F，連結(jié)BE．（1）如圖①：求證∠AFD=∠EBC；（2）如圖②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度數(shù)；（3）若∠DAB=90°且當△BEF為等腰三角形時，求∠EFB的度數(shù)（只寫出條件與對應的結(jié)果）【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）∠EFB=30°或120°．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴DC=CB，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC=∠EBC，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠AFD，∴∠AFD=∠EBC；（2）∵DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，設∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，則∠CBF=2x°，由BE⊥AF得：2x+x=90°，解得：x=30°，∴∠DAB=∠CBF=60°；（3）分兩種情況：①如圖1，當F在AB延長線上時，∵∠EBF為鈍角，∴只能是BE=BF，設∠BEF=∠BFE=x°，可通過三角形內(nèi)角形為180°得：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°；②如圖2，當F在線段AB上時，∵∠EFB為鈍角，∴只能是FE=FB，設∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°，綜上：∠EFB=30°或120°．隨練4、已知菱形ABCD的邊長為1，，等邊兩邊分別交DC、CB于點E、F．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為P．①猜想驗證：如圖2，猜想的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運用：如圖3，當E、F分別是邊DC、CB的中點時，過點P任作一直線，分別交DA邊于點M，BC邊于點G，DC邊的延長線于點N，請你直接寫出的值．NNBCDOCCABBAADDEFFEPGM圖1圖2圖3【答案】（1）見詳解（2）①P落在對角線DB所在的直線上；②2【解析】該題考察菱形綜合．（1）如圖1：分別連結(jié)OE、OF．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴，，，

且．

在Rt△AOD中，有．

又E、F分別是邊DC、CB的中點，∴．

∴．

∴點O即為等邊△AEF的外心．--------------------------------------------------3分

（2）①猜想：△AEF的外心P落在對角線DB所在的直線上．

證明：如圖2：分別連結(jié)PE、PA，作于Q，于H．

則

∵，

∴在四邊形QDHP中，．

又∵點P是等邊△AEF的外心，，

∴，．∴．

△PQE≌△PHA（AAS）．∴．

∴點P在的角平分線上．

∵菱形ABCD的對角線DB平分，

∴點P落在對角線DB所在的直線上．-----------------------------------6分

②．----------------------------------------------------------------8分

連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心．如圖3，設MN交BC于點G，設，，則

∵BC∥DA，∴，，又由（1）知，∴△GBP≌△MDP（AAS），∴，∴．

∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM，

∴，即

∴．

∴，即隨練5、如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．（1）求證：=；（2）求證：AF⊥FM；（3）請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠BAM=22.5°【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，∵∠MAN=45°，∴∠MAF=∠MBE，∴A、B、M、F四點共圓，∴∠ABM+∠AFM=180°，∴∠AFM=90°，∴∠FAM=∠FMA=45°，∴AM=AF，∴=．（2）由（1）可知∠AFM=90°，∴AF⊥FM．（3）結(jié)論：∠BAM=22.5時，∠FMN=∠BAM理由：∵A、B、M、F四點共圓，∴∠BAM=∠EFM，∵∠BAM=∠FMN，∴∠EFM=∠FMN，∴MN∥BD，∴=，∵CB=DC，∴CM=CN，∴MB=DN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°．拓展拓展1、如圖，過平行四邊形ABCD的對角線BD的中點O作兩條互相垂直的直線，且交AB、CD的延長線于點E，G，交BC，AD于點F，H，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH．（1）求證：△BEO≌△DGO；（2）試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BEO=∠DGO，在△BEO與△DGO中，，∴△BEO≌△DGO；（2）由（1）證得△BEO≌△DGO，∴OE=OG，同理：△BFO≌△DHO，∴OH=OF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．拓展2、如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD，BC于點E，F(xiàn)，作BH⊥AF于點H，分別交AC，CD于點G，P，連接GE，GF．（1）求證：△OAE≌△OBG；（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由；（3）試求：的值（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）見解析（2）四邊形BFGE是菱形（3）﹣1【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．∵BH⊥AF，∴∠AHG=90°，∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．∴在△OAE與△OBG中，，∴△OAE≌△OBG（ASA）；（2）四邊形BFGE是菱形，理由如下：∵在△AHG與△AHB中，∴△AHG≌△AHB（ASA），∴GH=BH，∴AF是線段BG的垂直平分線，∴EG=EB，F(xiàn)G=FB．∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°∴∠BEF=∠BFE∴EB=FB，∴EG=EB=FB=FG，∴四邊形BFGE是菱形；（3）設OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b．∵四邊形BFGE是菱形，∴GF∥OB，∴∠CGF=∠COB=90°，∴∠GFC=∠GCF=45°，∴CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）∴OG=OE=a﹣b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a﹣b）2=b2，求得a=b∴AC=2a=（2+）b，AG=AC﹣CG=（1+）b∵PC∥AB，∴△CGP∽△AGB，∴=﹣1，由（1）△OAE≌△OBG得AE=GB，∴=﹣1，即=﹣1．拓展3、已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點P是腰DC上的一個動點（P與D、C不重合），點E、F、G分別是線段BC、PC、BP的中點．（1）試探索四邊形EFPG的形狀，并說明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，當PC為何值時，四邊形EFPG是矩形并加以證明．【答案】（1）平行四邊形；理由見解析（2）PC=3；證明見解析【解析】（1）四邊形EFPG是平行四邊形．（1分）理由：∵點E、F分別是BC、PC的中點，∴EF∥BP．（2分）同理可證EG∥PC．（3分）∴四邊形EFPG是平行四邊形．（4分）（2）方法一：當PC=3時，四邊形EFPG是矩形．（5分）證明：延長BA、CD交于點M．∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，∴∠ABC=∠C=60°．∴∠M=60°，∴△BCM是等邊三角形．（7分）∵∠MAD=180°-120°=60°，∴AD=DM=2．∴CM=DM+CD=2+4=6．（8分）∵PC=3，∴MP=3，∴MP=PC，∴BP⊥CM即∠BPC=90度．由（1）可知，四邊形EFPG是平行四邊形，∴四邊形EFPG是矩形．（10分）方法二：當PC=3時，四邊形EFPG是矩形．（5分）證明：延長BA、CD交于點M．由（1）可知，四邊形EFPG是平行四邊形．當四邊形EFPG是矩形時，∠BPC=90度．∵AD∥BC，∠BAD=120°，∴∠ABC=60度．∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60度．∴∠PBC=30°且△BCM是等邊三角形．（7分）∴∠ABP=∠PBC=30°，∴PC=PM=CM．（8分）同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，∴PC=6×=3．即當PC=3時，四邊形EFPG是矩形．（10分）拓展4、如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點，AD⊥AE．（1）求證：AC2=CD?BC；（2）過E作EG⊥AB，并延長EG至點K，使EK=EB．①若點H是點D關于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FH⊥GH；②若∠B=30°，求證：四邊形AKEC是菱形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB．又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，∴∠DAC=∠EAB．又∵E是BC的中點，∴AE=BE，∴∠EAB=∠ABC，∴∠DAC=∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴=，∴AC2=CD?BC；（2）①證明：連接AH．∵∠ADC=∠BAC=90°，點H、D關于AC對稱，∴AH⊥BC．∵EG⊥AB，AE=BE，∴點G是AB的中點，∴HG=AG，∴∠GAH=GHA．∵點F為AC的中點，∴AF=FH，∴∠HAF=∠FHA，∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，∴FH⊥GH；②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC，又∵∠B=30°，∴AC=BC=EB=EC．又EK=EB，∴EK=AC，即AK=KE=EC=CA，∴四邊形AKEC是菱形．拓展5、(2013初二下期中清華大學附屬中學)如圖1，是線段上的一點，在的同側(cè)作和，使，，，連接，點分別是的中點，順次連接．（1）猜想四邊形的形狀，直接回答，不必說明理由；（2）當點在線段的上方時，如圖2，在的外部作和，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）如果（2）中，，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】該題考查的是四邊形綜合．（1）四邊形EFGH是菱形．（2分）（2）成立．（3分）連接AD，BC．（4分）∵，∴．即．又∵，，∴△APD≌△CPB（SAS）∴．（6分）∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，∴EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線．∴，，，．∴．∴四邊形EFGH是菱形．（7分）（3）補全圖形，如答圖．（8分）判斷四邊形EFGH是正方形．（9分）連接AD，BC．∵（2）中已證△APD≌△CPB．∴．∵，∴．又∵．∴．∴（11分）∵（2）中已證GH，EH分別是△BCD，△ACD的中位線，∴GH∥BC，EH∥AD．∴．又∵（2）中已證四邊形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．（12分）拓展6、如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4﹣．①求KD的長度；②如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設PD=m，當S△PMN=時，求m的值．【答案】（1）證明見解析（2）①KD=a=2②m的值為1【解析】（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO∵點O是BD的中點∴DO=BO∴△DOK≌△BOG（AAS）②∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC又∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠BFA=45°∴AB=BF∵OK∥AF，AK∥FG∴四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG∵BG=BF+FG∴BG=AB+AK（2）①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形∴AK=FG，AF=KG又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG∴AF=KG=KD=BG設AB=a，則AF=KG=KD=BG=a∴AK=4﹣﹣a，F(xiàn)G=BG﹣BF=a﹣a∴4﹣﹣a=a﹣a解得a=∴KD=a=2②過點G作GI⊥KD于點I由（2）①可知KD=AF=2∴GI=AB=∴S△DKG=×2×=∵PD=m∴PK=2﹣m∵PM∥DG，PN∥KG∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN∴，即S△DPN=同理S△PKM=∵S△PMN=∴S平行四邊形PMGN=2S△PMN=2×又∵S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM∴2×=﹣﹣，即m2﹣2m+1=0解得m1=m2=1∴當S△PMN=時，m的值為1拓展7、在圖1﹣圖4中，菱形ABCD的邊長為3，∠A=60°，點M是AD邊上一點，且DM=AD，點N是折線AB﹣BC上的一個動點．（1）如圖1，當N在BC邊上，且MN過對角線AC與BD的交點時，則線段AN的長度為．（2）當點N在AB邊上時，將△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如圖2，①若點A′落在AB邊上，則線段AN的長度為；②當點A′落在對角線AC上時，如圖3，求證：四邊形AMA′N是菱形；③當點A′落在對角線BD上時，如圖4，求的值．【答案】（1）（2）①1②見解析③【解析】（1）如圖1，過點N作NG⊥AB于G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OD=OB，∴=1，∴BN=DM=AD=1，∵∠DAB=60°，∴∠NBG=60°∴BG=，GN=，∴AN==；故答案為：；（2）①當點A′落在AB邊上，則MN為AA′的中垂線，∵∠DAB=60°AM=2，∴AN=AM=1，故答案為：1；②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∴∠AMN=∠ANM=60°，∴AM=AN，∴AM=A′M=AN=A′N，∴四邊形AMA′N是菱形；③在菱形ABCD中，AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=60°，∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，∴∠NA′B=∠DMA′，∴△DMA′∽△BA′N，∴=，∵MD=AD=1，A′M=2，∴=．拓展8、如圖1，在正方形中，是對角線上的一點，點在的延長線上，且，交于。（1）證明：。（2）求的度數(shù)。（3）如圖2，把正方形改為菱形，其他條件不變，當時，連接，試探究線段與線段的數(shù)量關系，并說明理由?！窘馕觥浚?）因為四邊形為正方形，所以，根據(jù)題意可知為對角線，所以，在和中，，所以，可得，因為，所以。（2）由（1）可知，所以，因為，所以為等腰三角形，可得，則，因為四邊形為正方形，所以，即。在中，，因為，可得。在中，。（3）線段與線段的數(shù)量關系為。如圖所示，連接。因為四邊形為菱形，所以，根據(jù)題意可知為對角線，所以，在和中，，所以，可得，，因為，所以，且為等腰三角形，可得，則。因為，所以，則，即。因為，在菱形中，，可得，所以，根據(jù)，所以為等邊三角形，即，根據(jù)，得。拓展9、如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、AD上，且AE⊥BF于G．（1）求證：BF=AE；（2）如圖2，當點E在DC延長線上，點F在AD延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？（直接寫結(jié)論）（3）在圖2中，若點M、N、P、Q分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF、EB、AB的中點，且AF：AD=4：3，求S四邊形MNPQ：S正方形ABCD．【答案】（1）見解析（2）成立（3）25：36【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的中位線的判定及性質(zhì)的運用，證明三角形全等和運用三角形的中位線的性質(zhì)是關鍵．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以求出△ABF≌△DAE，就可以得出結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以求出△ABF≌△DAE就可以得出BF=AE；（3）根據(jù)條件可以設AF=4a，AD=3a，就可以求出DF=CE=a，由勾股定理就可以求出AE，由中位線的性質(zhì)就可以求出MN的值，表示出正方形MNPQ的面積，就可以求出結(jié)論．（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．∴∠DAE+∠BAE=90°．∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴∠GAB+∠GBA=90°，∴∠DAE=∠ABG．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴BF=AE；（2）結(jié)論成立即AE=BF．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．∴∠DAE+∠BAE=90°．∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴∠GAB+∠GBA=90°，∴∠DAE=∠ABG．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴BF=AE；（3）∵AF：AD=4：3，設AF=4a，AD=3a，∴DF=a．∵△ABF≌△DAE，∴AF=DE，∴AF-AD=DE-DC，∴DF=CE，∴CE=a．∵點M、N、P、Q分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF、EB、AB的中點，∴MN是△AEF的中位線，MQ是△ABF的中位線，∴MN=AE，MN∥AE，MQ=BF，MQ∥BF．∴MN=MQ．∠MNP=∠NPQ=∠PQM=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=5a．∴MN=MQ=a．∴S四邊形MNPQ=a2．∵S正方形ABCD=9a2，∴S四邊形MNPQ：S正方形ABCD=a2：9a2=25：36．答：S四邊形MNPQ：S正方形ABCD=25：36．拓展10、如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在腰AB上．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）求證：AB=BC；（3）如圖2所示，若F為線段CD上一點，∠FBC=30°，求的值．【答案】（1）45°（2）見解析（3）1【解析】：∵∠BCD=75°，AD∥BC，∴∠ADC=105°．由等邊△DCE可知∠CDE=60°，故∠ADE=45°．由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，∴∠AED=45°．（2）證明：由（1）知∠AED=45°，∴AD=AE，故點A在線段DE的垂直平分線上．由△DCE是等邊三角形得