安徽省多校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析）

2025屆高三第一學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自已的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，或，而，所以.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】利用利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求出復(fù)數(shù)即可得解.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A3.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，所以.故選：D4.已知，則“”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】若過點(diǎn)有兩條直線與圓相切，可知點(diǎn)在圓外，即可得的取值范圍，根據(jù)充分、必要條件結(jié)合包含關(guān)系分析判斷.【詳解】若過點(diǎn)有兩條直線與圓相切，可知點(diǎn)在圓外，則，解得或，顯然是的真子集，所以“”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.5.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺的圓柱的底面直徑為6，圓柱和圓錐的高均為4，則該陀螺的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析該陀螺的表面結(jié)構(gòu)，結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：該陀螺的表面有：底面圓面、圓柱的側(cè)面和圓錐的側(cè)面，且圓錐的母線長為，所以該陀螺的表面積為.故選：C.6.用數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，在所組成的五位數(shù)中任選一個(gè)，則這個(gè)五位數(shù)中數(shù)字按從小到大的順序排列的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有，根據(jù)定序法可得符合題意的五位數(shù)個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有個(gè)；若這個(gè)五位數(shù)中數(shù)字按從小到大的順序，所以符合題意的五位數(shù)有個(gè)，所以所求的概率為.故選：C.7.如圖，在正三棱柱中，，直線與平面所成角的正切值為，則正三棱柱的外接球的半徑為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用線面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半徑.【詳解】在正三棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，則，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，是直線與平面所成的角，則，由，得，而，則，，因此正三棱柱的外接球球心到平面的距離，而的外接圓半徑，所以正三棱柱的外接球的半徑.故選：D8.若銳角滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得，，分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可得，利用裂項(xiàng)相消法求，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，即，且，則，可得，整理可得，解得或（舍去），則，，可得，則，且，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，可得，所以，則，整理可得，則，解得，所以的最大值為4.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.利用三角恒等變換求；2.根據(jù)遞推公式分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得；3.利用裂項(xiàng)相消法求，代入解不等式即可.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】【分析】由題意可得：，根據(jù)正弦函數(shù)周期公式判斷A；代入檢驗(yàn)，結(jié)合對稱性的性質(zhì)判斷BC；以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】因?yàn)?，對于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)闉樽畲笾?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椴粸?，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，故D正確；故選：ABD.10.設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則（）A.存在四個(gè)點(diǎn)，使得B.若點(diǎn)不在軸上，直線的斜率是直線的斜率的倍，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C.存在點(diǎn)，使得D.的最小值為14【答案】BC【解析】【分析】由題意在以為直徑的圓上，求得可判斷A；設(shè)，若存在這樣的點(diǎn)，則，求解可判斷B；設(shè)，，可判斷C；，可判斷等號不成立可判斷D.【詳解】由橢圓，可得，所以，對于A：若，則在以為直徑的圓上，因?yàn)?，所以在橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)，使得，故A錯(cuò)誤；對于B：設(shè)，若存在點(diǎn)使直線的斜率是直線的斜率的-3倍，則，解得，又，所以存在這樣的點(diǎn)，故B正確；對于C：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在點(diǎn)，使得，故C正確；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，又，則，故等號不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)的極小值點(diǎn)為B.C.若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，可得的圖象，進(jìn)而可以判斷A；對于B：根據(jù)的單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)分析可知：原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，y=fx與有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的圖象分析求解；對于D：構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合極值點(diǎn)偏離分析證明.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?,+∞，且，令f'x>0，解得；令f'可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當(dāng)趨近于0或時(shí)，趨近于，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：對于選項(xiàng)A：可知函數(shù)的極小值點(diǎn)為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且?,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：令，可得，可知函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即與有4個(gè)交點(diǎn)，且的定義域?yàn)?，且，可知為偶函?shù)，且當(dāng)時(shí)，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，y=fx與有2由題意可知：，故C正確；對于選項(xiàng)D：設(shè)，則，可知y=gx在0,1即，則，若，不妨設(shè)，則，即，且，且在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)hx（3）利用導(dǎo)數(shù)研究hx（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：．考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；共線向量13.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，再利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性，再借助性質(zhì)解不等式.【詳解】依題意，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式化為，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：14.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，過點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn).（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)到直線的距離為，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可得，再利用雙曲線定義及勾股定理求解即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為，由離心率為2，得，取的中點(diǎn)，連接，由，得，則，連接，由為的中點(diǎn)，得，，，因此，即，整理得，而，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.（1）求；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用倍角公式以及正弦定理即可得結(jié)果；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可得面積最大值.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，則，且，所以.【小問2詳解】由余弦定理可得，即，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的面積的最大值為.16.已知某種機(jī)器的電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布.其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過；②在之間；③超過.在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為.（1）求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為合格品的概率；（2）為了檢測零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，記這4件中合格品有個(gè)，求的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.附：若，則【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為，方差為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計(jì)算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布求解分布列，代入期望和方差公式求解即可【小問1詳解】記電壓“不超過”、“在之間”、“超過”分別為事件，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件．因，所以，，．所以，所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為．小問2詳解】從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取4件，設(shè)不合格品件數(shù)為，則，，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望為，的方差為.17.如圖，在四棱錐中，平面∥為的中點(diǎn).（1）若，證明：平面；（2）已知，平面和平面的夾角的余弦值為，求.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，分別為平面、平面的法向量，利用空間向量結(jié)合面面夾角運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，可知，且為的中點(diǎn)，則，若，即，則，且，平面平面，所以平面.【小問2詳解】由題意可知：平面，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋O(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，可得；設(shè)平面的法向量為n=x2,令，則，可得；由題意可得：，解得（舍負(fù)），所以.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見詳解（2）【解析】【分析】（1）求得可得，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）中單調(diào)性分析可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而解不等式.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；若，令，解得，當(dāng)，；當(dāng)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：若，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；若，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)?，若，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且，不合題意；若，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.則，令，則，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．19.已知點(diǎn)在拋物線上，按照如下方法依次構(gòu)造點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.（1）求的值；（2）分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求的面積.【答案】（1）（2），（3）16【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線運(yùn)算即可；（2）可得，聯(lián)立直線方程和拋物線方程解得，（3）分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為4