必修第一冊湘教版第3章單元測試卷

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)單元測試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-2,3],則函數(shù)y=f(2x+1)x+1A.[-32,1] B.[-32,-1)∪(-1,1] C.[-3,7] D.[-3,-1)∪(2.已知函數(shù)f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0,若f(a2)+fA.-6 B.-3 C.3 D.63.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+1是定義在[-1-a,2a]上的偶函數(shù),則該函數(shù)的最大值為()A.5 B.4 C.3 D.24.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),且f(3-x)=f(x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=-x2+2x,則f(2023)=()A.1 B.-1 C.0 D.-35.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f(1)<f(52)<f(72) B.f(72)<f(5C.f(52)<f(1)<f(72) D.f(72)<f(1)<f6.函數(shù)f(x)=xx2+a的圖象不可能是A B C D7.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一,函數(shù)f(x)=1,x為有理數(shù),0,x為無理數(shù),稱為狄利克雷函數(shù),則關(guān)于函數(shù)f(x),A.f(x)的定義域?yàn)閧0,1} B.f(x)的值域?yàn)閇0,1]C.?x∈R,f(f(x))=0 D.任意一個(gè)非零有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對任意x∈R恒成立8.已知函數(shù)f(x)=x2,x≥0,-2|x+1|+2,x<0,若存在唯一的整數(shù)x,使得(2024f(x)-2023)(x-a)<0A.{-2,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一個(gè)公園,甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖1所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系,下列結(jié)論正確的是()圖1A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB.甲從家到公園的時(shí)間是30minC.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D.當(dāng)0≤x≤30時(shí),y與x的關(guān)系式為y=11510.已知函數(shù)f(x)=2x+3x+4,則下列敘述正確的是A.f(x)的值域?yàn)?-∞,-4)∪(-4,+∞) B.f(x)在區(qū)間(-∞,-4)上單調(diào)遞增C.f(x)+f(-8-x)=4 D.若x∈{x∈Z|x>-4},則f(x)的最小值為-311.若函數(shù)f(x)同時(shí)滿足①對于定義域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,②對于定義域上的任意x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)>f(x2),則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.下列四個(gè)函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的有()A.f(x)=1x B.f(x)=-2x C.f(x)=-x2 D.f(x)=三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若函數(shù)f(x)=1x-2+-x2+x+2,則13.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2,則f(-3)=,不等式f(1-2x)<f(3)的解集是.(本題第一空2分,第二空3分)

14.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x),且當(dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)=-g(x)=ax+1,若對于任意x1∈[-2,0],存在x2∈[-2,1],使得g(x2)=f(x1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知函數(shù)f(x)=x(1)在圖2中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;圖2(2)寫出函數(shù)f(x)的最大值和單調(diào)遞減區(qū)間.

16.(15分)在①f(a)=5,②f(12)=4a,③4f(1)-2f(2)=6這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到橫線中,并解答已知一次函數(shù)y=f(x)滿足f(x-1)=2x+a,且.

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值為2,求實(shí)數(shù)λ的值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.(15分)已知f(x)=ax2+23x+b是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)判斷函數(shù)f(x)在(-∞,-1]上的單調(diào)性,并加以證明.

18.(17分)已知函數(shù)f(x)=-x2+mx-m.(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0,求實(shí)數(shù)m的值.(2)若函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,說明理由.

19.(17分)我們知道,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).(1)若f(x)=x3-3x2,①求此函數(shù)圖象的對稱中心;②求f(-2020)+f(-2021)+f(2022)+f(2023)的值.(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)單元測試卷參考答案1.B由題意得,-2≤2x+1≤3,x+1≠0,解得-32≤x≤1且x≠-1,所以所求定義域?yàn)閇-32,-2.A因?yàn)閒(1)=2且f(a2)+f(1)=0,所以f(a2)=-2<0,所以f(a2)=1+a2=-2,解得a=-63.A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+bx+1是定義在[-1-a,2a]上的偶函數(shù),所以-1-a+2a=0,所以a=1,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,2].因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=0,所以b=0,故f(x)=x2+1,所以當(dāng)x=±2時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值,最大值為5.4.A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),且f(3-x)=f(x),所以f(3+x)=f(-x)=f(x),即函數(shù)的周期T=3,因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=-x2+2x,則f(2023)=f(1)=1.5.D因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+2)是偶函數(shù),所以其圖象關(guān)于y軸對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,所以f(1)=f(3).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減.因?yàn)?<52<3<72<4,所以f(72)<f(3)<f(52),即f(72)<f(1)6.D函數(shù)表達(dá)式中含有參數(shù)a,要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.若a=0,則f(x)=xx2=1x,定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),為反比例函數(shù),選項(xiàng)C符合,選項(xiàng)D不符合;若a≠0,f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),且f(x)=0,選項(xiàng)A,B符合.7.D因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1,所以f(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閧0,1},故A,B錯(cuò)誤;當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),f(x)=1,f(f(x))=f(1)=1,當(dāng)x為無理數(shù)時(shí),f(x)=0,f(f(x))=f(0)=1,所以?x∈R,f(f(x))=1,故C錯(cuò)誤;由于非零有理數(shù)T,若x是有理數(shù),則x+T是有理數(shù),若x是無理數(shù),則x+T也是無理數(shù),根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對任意x∈R恒成立,故D正確.8.B作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖D1所示,圖D1對于(2024f(x)-2023)(x-a)<0,當(dāng)2024f(x)-2023<0,即f(x)<20232024時(shí),x-a>0,即x>a記A={x|x>a},對于f(x)<20232024則x2<20232024,x可得f(x)<20232024的整數(shù)解集為B={x∈Z|x≤-2或x=0}由題意可得,集合A∩B只有一個(gè)元素,即A∩B={0},則-2≤a<0,滿足條件的整數(shù)a的取值為-2,-1.當(dāng)2024f(x)-2023>0,即f(x)>20232024時(shí),x-a<0,即x<a記C={x|x<a},對于f(x)>20232024則x2>20232024,x可得f(x)>20232024的整數(shù)解集為D={x∈Z|x≥1或x=-由題意可得,集合C∩D只有一個(gè)元素,即C∩D={-1},則-1<a≤1,滿足條件的整數(shù)a的取值為0,1.綜上所述,所有滿足條件的整數(shù)a的取值集合為{-2,-1,0,1}.9.BD在A中,甲在公園休息的時(shí)間是10min,所以只走了50min,A錯(cuò)誤;由題中圖象知,B正確;甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長,而距離相等,所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢,C錯(cuò)誤;當(dāng)0≤x≤30時(shí),設(shè)y=kx(k≠0),則2=30k,解得k=115,D正確.故選BD10.BCD函數(shù)f(x)=2x+3x+4=2(xf(x)的值域?yàn)?-∞,2)∪(2,+∞),故A錯(cuò)誤;f(x)在區(qū)間(-∞,-4)上單調(diào)遞增,故B正確;f(x)+f(-8-x)=2x+3x+4+2x+13因?yàn)閤∈{x∈Z|x>-4},則f(x)的最小值為f(-3)=-3,故D正確.故選BCD.11.BD對于定義域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,則f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函數(shù);對于定義域上的任意x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)>f(x2),則函數(shù)f(x)為減函數(shù).圖D2即在定義域上滿足既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的函數(shù)為“理想函數(shù)”.對于A,f(x)=1x是奇函數(shù),但在定義域上不單調(diào),故不是“理想函數(shù)”對于B,f(x)=-2x是奇函數(shù),在定義域上是減函數(shù),是“理想函數(shù)”.對于C,f(x)=-x2是偶函數(shù),故不是“理想函數(shù)”.對于D,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖D2所示,由圖象知函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是減函數(shù),故是“理想函數(shù)”.故選BD.12.[-1,2)由題意可得x-2≠0,-x2+x+2≥0,解得-1≤13.-3(-1,+∞)由f(x)為奇函數(shù)且x≥0時(shí),f(x)=x2,可得f(-3)=-f(3)=-3.因?yàn)閤≥0時(shí),f(x)=x2單調(diào)遞增,所以根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性可知,f(x)在R上單調(diào)遞增,故由f(1-2x)<f(3)可得,1-2x<3,解得x>-1,故不等式f(1-2x)<f(3)的解集為(-1,+∞).14.(-∞,-14]∪[18,+∞)當(dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)=-x2+4x,2≤x≤3,x2+2x,3<x≤4,可知f(x)在[2,3]上單調(diào)遞減,在(3,4]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[2,3]上的值域?yàn)閇3,4],在(3,4]上的值域?yàn)?當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),x+4∈[2,4],因?yàn)閒(x+2)=2f(x),所以f(x)=14f(x+所以f(x)在[-2,0]上的值域?yàn)閇34,98當(dāng)a=0時(shí),g(x)為常函數(shù),值域?yàn)閧1},不符合題意;當(dāng)a>0時(shí),令-2a+1≤34,當(dāng)a<0時(shí),令-2a+1≥98,a綜上,a的取值范圍是(-∞,-14]∪[18,+∞圖D315.(1)函數(shù)f(x)的大致圖象如圖D3所示.(2)由函數(shù)f(x)的圖象得出,f(x)的最大值為2,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,4].16.(1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則f(x-1)=k(x-1)+b=2x+a,則k=2,a=b-k=b-2,所以f(x)=2x+a+2.若選①f(a)=5,則f(a)=2a+a+2=5,解得a=1,f(x)=2x+3.若選②f(12)=4a,則f(12)=1+a+2=4解得a=1,f(x)=2x+3.若選③4f(1)-2f(2)=6,則4(4+a)-2(6+a)=6,解得a=1,f(x)=2x+3.(2)g(x)=xf(x)+λf(x)+x=2x2+3x+2λx+3λ+x=2x2+(4+2λ)x+3λ,g(x)的圖象開口向上,對稱軸方程為x=-2+λ當(dāng)-2+λ2≤1,即λ≥-4時(shí),g(x)max=g(2)=16+7解得λ=-2;當(dāng)-2+λ2>1,即λ<-4時(shí),g(x)max=g(0)=3解得λ=23(舍)綜上,λ=-2.17.(1)∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即ax2+2-3x+b=又f(2)=53,∴4a+26=5(2)由(1)知f(x)=2x2+23x=2x3+23x,則f(x)在(設(shè)x1<x2≤-1,則f(x1)-f(x2)=23(x1-x2)(1-1x∵x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,1-1x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增.18.(1)f(x)=-(x-m2)2-m+m24,則當(dāng)x=m2時(shí),f(x)取得最大值,最大值為-m+m24,則-m+m24=解得m=0或m=4.(2)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸是直線x=m2,要使f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,應(yīng)滿足m2≤-1,解得m≤故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2].(3)①當(dāng)m2≤2,即m≤4時(shí),f(x)在[2,3]上單調(diào)遞減則f(2)=3,f(3)=2,即②當(dāng)m2≥3,即m≥6時(shí),f(x)在[2