5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）考點(diǎn)一周期性【例1-1】（2022·北京）在函數(shù)①，②，③，④中，最小正周期為的所有函數(shù)為（）A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【答案】C【解析】∵=，∴==；圖象是將=在軸下方的圖像對(duì)稱翻折到軸上方得到，所以周期為，由周期公式知，為，為，故選：C.【例1-2】（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的最小正周期為，則_____.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，所以.故答案為：【一隅三反】1．（2022·廣東）（多選）下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，最小正周期為；對(duì)于B，，最小正周期為；對(duì)于C，，最小正周期為；對(duì)于D，，最小正周期為，故選：ABC2．（2021·齊河縣第一中學(xué)高一期中）（多選）下列函數(shù)周期為的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】的最小正周期為；由的圖象是由y=cosx的圖象將x軸上方的部分保持不變，下方的部分向上翻轉(zhuǎn)而得到，由圖象可知其周期為；的最小正周期為；的最小正周期為.故選：BCD.考點(diǎn)二單調(diào)性【例2-1】（2022廣西）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，解得，又，∴.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.【例2-2】（2022高一下·南陽期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故答案為：C.【例2-3】（2022高一下·武漢期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C．[1，3] D．【答案】B【解析】設(shè)的周期為T，因?yàn)?，即，解得，由，解得，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，顯然k只能取0，所以且，解得.故答案為：B.【一隅三反】1．（2022高一下·鎮(zhèn)江期末）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，其遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，其遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，其遞減區(qū)間為，所以在，，上不遞減，在上單調(diào)遞減，故答案為：C2．（2022高一下·鄠邑期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，即。故答案為：C.3．（2022·安丘模擬）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】的單調(diào)遞減區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令，解不等式得到，令得，，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，其他選項(xiàng)均不符合，故答案為：B4．（2022高一下·宿州期中）已知函數(shù)（）在上單調(diào)，則的可能值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】因?yàn)椋?，故可得，又因?yàn)榈膯握{(diào)增區(qū)間為，故，解得且，又因?yàn)?，故，。故答案為：AB.

考點(diǎn)三奇偶性【例3-1】（2021·廣東）（多選）下列函數(shù)中最小正周期為，且為偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)榈膱D像是由的圖像在軸下方的關(guān)于軸對(duì)稱后與軸上方的圖像共同組成，所以的最小正周期為，所以A正確，對(duì)于B，定義域?yàn)椋驗(yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，定義域?yàn)?，，最小正周期為，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，所以C正確，對(duì)于D，定義域?yàn)?，最小正周期為，所以D錯(cuò)誤，故選：AC【例3-2】（2022高一上·資陽期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故答案為：C．【一隅三反】1．（2022·陜西）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；B.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；C.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故正確；D.函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)既不滿足，也不滿足，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤.故選：C2．（2022·青海）下列函數(shù)中，最小正周期為π，且為偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.的最小正周期為，是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；B.的最小正周期為，是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；C.如圖所示：，不周期函數(shù)，為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，的最小正周期為，是偶函數(shù)，故正確；故選：D3．（2022浙江）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）A．1 B．-1 C．0 D．1或-1【答案】C【解析】∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，

∴函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱∴，k∈z

∴考點(diǎn)四對(duì)稱性【例4-1】（2022高一下·漢中期中）下列關(guān)于函數(shù)的圖象，說法正確的是（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】C【解析】A：，即關(guān)于對(duì)稱，故錯(cuò)誤；B：，即關(guān)于對(duì)稱，故錯(cuò)誤；C：，即關(guān)于對(duì)稱，故正確；D：，故錯(cuò)誤.故答案為：C.【例4-2】（2022·廣州模擬）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，，即，解得；當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：B.【一隅三反】1．（2022安徽開學(xué)考）函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故答案為：D2．（2022高一下·陜西期末）函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程可以為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由2x+=kπ+(k∈Z)，得x=，當(dāng)k=0時(shí)，x=.故選：A

3．（2022·深圳模擬）若是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則的最小正周期的最大值是（）A．π B． C． D．【答案】A【解析】依題意，解得，因?yàn)?，所以且，所以的最小正周期，所以，?dāng)時(shí)，。故答案為：A4．（2022·西安）如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么|φ|的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有，于是得，顯然對(duì)于是遞增的，而時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以|φ|的最小值為.故答案為：A考點(diǎn)五解三角函數(shù)不等式【例5-1】（2022高一下·南陽月考）函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，，即，于是得，解得：所以函數(shù)的定義域是.故答案為：B【例5-2】（2021·上海高一專題練習(xí)）利用圖像，不等式的解集為____________.【答案】【解析】函數(shù)圖象如下所示：令，則，解得；令，則，解得，因?yàn)椋?，即原不等式的解集為，故答案為?【一隅三反】1．（2022湖南）使得正確的一個(gè)區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出與的圖象，如圖：由圖可知，若，其中滿足，故選：A2．（2022·南京）滿足，的角的集合___________.【答案】【解析】由得，，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，若，則可能的取值為，，相應(yīng)的的取值為，.所以所求角的集合為.故答案為：.3．（2021·上海）函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，即，所以.故答案為：.4．（2022陜西）若，則滿足的的取值范圍為______________；【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，令，解得或，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，的解集為.故答案為：考點(diǎn)六最值【例6-1】（2022·河南）已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的最小值為．【答案】-2【解析】因?yàn)?，且函?shù)的最小正周期為，所以，所以，由，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值，且最小值為-2。故答案為：-2?！纠?-2】（2022高一下·鎮(zhèn)巴縣期中）已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則m的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，，所以，解得。故答案為：?！疽挥缛础?．（2022·寧夏）函數(shù)在區(qū)間上的值域是___________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，∴，故，即的值域?yàn)?故答案為：.2．（2021·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）