高考總復習理數(shù)（人教版）課時作業(yè)提升第03章導數(shù)及其應用第1節(jié)導數(shù)的概念及運算

課時作業(yè)提升(十三)導數(shù)的概念及運算A組夯實基礎1．曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1解析：選C∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1.∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝e0＋e0＝2，選C.2．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f′(1)等于()A．－e B．－1C．1 D．e解析：選B由題由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x)，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1.3．設曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：選Dy′＝a－eq\f(1,x＋1)，由題意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.4．(2018·日照月考)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋b的值等于A．2 B．－1C．1 D．－2解析：選C依題意知，y′＝3x2＋a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13＋a×1＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k×1＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，選C.5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，則f(x)在點P(－1,2)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積等于()A．4 B．5C.eq\f(25,4) D.eq\f(13,2)解析：選C∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切線方程為y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－eq\f(5,4)，∴所求面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)×10＝eq\f(25,4).6．若曲線f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析：由題意，可知f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，又存在垂直于y軸的切線，所以3ax2＋eq\f(1,x)＝0，即a＝－eq\f(1,3x3)(x＞0)，故a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)7．(2018·安徽七校聯(lián)考)若曲線y＝eq\f(3,2)x2＋x－eq\f(1,2)的某一切線與直線y＝4x＋3平行，則切線方程為________.解析：設切點為(x0，y0)，切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝3x0＋1，3x0＋1＝4?x0＝1.又y0＝eq\f(3,2)xeq\o\al(2,0)＋x0－eq\f(1,2)＝2，則切點為(1,2)，故切線的方程為y－2＝4(x－1)?y＝4x－2.答案：y＝4x－28．若曲線f(x)＝acosx與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(0，m)處有公切線，則a＋b＝________.解析：∵兩曲線的交點為(0，m)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝a，,m＝1，))即a＝1，∴f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，則f′(0)＝0，f(0)＝1.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0，∴a＋b＝1.答案：19．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍．解：(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結合(1)中結論可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．解：(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．因為f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.所以切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因為切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，所以切線的斜率k＝4.設切點的坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，所以x0＝±1.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18，))即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)，切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.B組能力提升1．設函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(2017)＝()A．1 B．2C.eq\f(1,2017) D.eq\f(2018,2017)解析：選D令ex＝t，則x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求導得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2017)＝eq\f(1,2017)＋1＝eq\f(2018,2017).2．給出定義：設f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．已知函數(shù)f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐點是M(x0，f(x0))，則點M()A．在直線y＝－3x上 B．在直線y＝3x上C．在直線y＝－4x上 D．在直線y＝4x上解析：選Bf′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx，由題可知f″(x0)＝0，即4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直線y＝3x上．故選B.3．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋tanα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的導函數(shù)為f′(x)，若使得f′(x0)＝f(x0)成立的x0滿足x0<1，則α的取值范圍為________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)，由f′(x0)＝f(x0)，得eq\f(1,x0)＝lnx0＋tanα，∴tanα＝eq\f(1,x0)－lnx0.又0<x0<1，∴eq\f(1,x0)－lnx0>1，即tanα>1，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))4．設函數(shù)y＝x2－2x＋2的圖象為C1，函數(shù)y＝－x2＋ax＋b的圖象為C2，已知過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直，求a＋b的值．解：對于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，對于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，設C1與C2的一個交點為(x0，y0)，由題意知過交點(x0，y0)的兩條切線互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4xeq\o\al(2,0)－2(a＋2)x0＋2a－1＝0， ①又點(x0，y0)在C1與C2上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(2,0)－2x0＋2，,y0＝－x\o\al(2,0)＋ax0＋b，))即2xeq\o\al(2,0)－(a＋2)x0＋2－b＝0. ②由①②消去x0，可得a＋b＝eq\f(5,2).5．(2018·唐山月考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a因為f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以(2)存在．由已知得，直線m恒過定點(0,9)，若直線m是曲線y＝g(x)的切線，則設切點為(x0,3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)．因為g′(x0)＝6x0＋6，所以切線方程為y－(3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將(0,9)代入切線方程，解得x0＝±1.當x0＝－1時，切線方程為y＝9；當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1處，y＝f(x