第一次月考壓軸題專練（35題）-【?？級狠S題】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（解析版）

第一次月考壓軸題專練一、單選題1．（2023上·湖北武漢·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，于D，E是線段上一點(diǎn)，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，且滿足，G是的中點(diǎn)，連接，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤當(dāng)時(shí)，，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)，有一角為的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意逐一判斷即可，熟練掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，如圖

∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，故①符合題意；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，故②符合題意；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故③符合題意；∵，是的中點(diǎn)，故④符合題意；，∴，又∵∴，∴，故⑤符合題意．故選：．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，于點(diǎn)，的平分線分別交，于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：；；是等腰三角形；．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】先求出，，，證即可判斷；證推出，即可判斷，通過證明、、、四點(diǎn)共圓得到，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可判斷；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，據(jù)此判斷．【詳解】∵，，，∴，，，，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，故正確；∵在和中，，∴，∴，∵，∴，故正確；∵，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，故正確；∵，∴，∴，∴是等腰三角形，故正確，即正確的有個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確證明推出兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·福建龍巖·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，于，的平分線交于點(diǎn)，交于，于，的延長線交于點(diǎn)，下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤連接，若，則，其中正確的結(jié)論有（）

A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】證明，可得，故①正確；由，可得，再證明為等腰三角形，從而得到，進(jìn)而得到，易知，故②正確；結(jié)合可得，進(jìn)而證明，故③正確；根據(jù)題意無法確定、的大小關(guān)系，則無法得到，故④錯(cuò)誤；結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，故⑤正確．【詳解】解：∵，∴，∵是的平分線，∴，在和中，，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，故③正確；根據(jù)題意無法確定的大小、的大小關(guān)系，∴無法得到，故④錯(cuò)誤；∵，∴，，∴，即，又∵，∴，故⑤正確．綜上所述，正確的有①②③⑤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角兩銳角互余、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，于點(diǎn)D，延長到點(diǎn)E，使，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)G，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)M，點(diǎn)N，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和，可得，即，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和定理求得，即可判斷①；設(shè)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，，利用勾股定理求得，，從而求得，即可判斷②；如圖，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，從而證得，可得，即可判斷③；根據(jù)角的和差及等腰三角形的性質(zhì)可判斷④；利用勾股定理求得，即可判斷⑤．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，故①正確；∵，，設(shè)，則，∴，，，∴，在中，，∴，∴，故②正確；如圖，過點(diǎn)N作于點(diǎn)H，連接，∵是等邊三角形，，∴平分，，∵，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，，∵，由②可得，，則，，∵，∴，在中，，即，∴，∴，∴，又∵，∴，故④錯(cuò)誤；∵，，，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)M，N分別在，上，將沿直線翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊上（不含端點(diǎn)B，C），下列結(jié)論：①直線垂直平分；②；③；④若M是中點(diǎn)，則．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】①根據(jù)將沿直線翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊上（不含端點(diǎn)B，C），證明直線垂直平分，故①正確；②證明與不一定相等，得到與不一定相等，故②錯(cuò)誤；③先由①得，直線垂直平分，則，，再根據(jù)”等邊對等角“證明，，則，再根據(jù)是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，證明，，進(jìn)一步證明，根據(jù)，得到，則，然后根據(jù)，證明，從而得到，故③正確；④先根據(jù)是的中點(diǎn)，證明，再由①得，直線垂直平分，則，再證明，最后證明，即，故④正確．【詳解】解：①∵將沿直線翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊上（不含端點(diǎn)B，C），∴直線垂直平分，故①正確；②∵，∴，∴又∵，∴與不一定相等，∴與不一定相等，∴與不一定相等，故②錯(cuò)誤；③由①得，直線垂直平分，∴，，∴，，∴∵是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵，∴即，又∵(已證)，∴，故③正確；④∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∴，∴，故④正確；綜上所述，一定正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意的條件，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)耐评碚撟C．6．（2023上·河南商丘·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P為線段外一動(dòng)點(diǎn)且，以為邊作等邊，則當(dāng)線段的長取到最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）

A．1.5 B．2 C．3 D．1【答案】A【分析】以為邊作等邊，連接，然后證明得，從而可判斷當(dāng)N，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即最大，然后利用等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】如圖1，以為邊作等邊，連接，

由題意，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)N，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即最大，如圖2，過P作軸，垂足為T，

∵是等邊三角形，，∴，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴．∵，∴，∴，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.5．當(dāng)P在x軸下方時(shí)，同上可求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2023上·浙江金華·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于，交的延長線于，于，下列結(jié)論：①；②；③平分；④；正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由角平分線的性質(zhì)可知①正確；由題意可知，故此可知，，從而可證明②正確；若平分，則，與矛盾，可得③錯(cuò)誤；連接、，然后證明，從而得到，，從而證明④．【詳解】解：∵平分，，，∴，∴①正確；∵，平分，∴，∵，，∴，同理：，∴，∴②正確；∵，∴若平分，則，與矛盾，∴③錯(cuò)誤；如圖所示：連接、，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵中，，中，，∴，∴，∴④正確；綜上可知，正確的有①②④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，有一定難度，能夠綜合運(yùn)用上述知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2024上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，沿過點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，若，則（）A．. B．. C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，由折疊可得，，，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，，，推導(dǎo)出，利用三角形面積得到，即可求解，由三角形面積得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，的延長線于點(diǎn)，由折疊得到，，，，，，∴平分，∵，∴，,∵，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴故選：．二、填空題9．（2023上·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，，如果將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，且折痕交邊于點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N．如果是直角三角形，那么的面積是．【答案】1或【分析】本題是等腰三角形的折疊問題，考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識．分兩種情況：當(dāng)時(shí)，根據(jù)及將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，可得，可得到的面積；當(dāng)時(shí)，過A作于H，設(shè)，則，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面積．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖：∵，∴，∵將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴，∴的面積是：；當(dāng)時(shí)，如圖，過A作于H，設(shè)，∵，∴，∴，∵將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴，在中，，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴，∴的面積是：．．故答案為：1或．10．（2024上·陜西西安·八年級西安市航天中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知和均為等腰直角三角形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，已知為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂線段最短，勾股定理，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，先證得，得出，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知當(dāng)時(shí)，最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得時(shí)的的值，即可求得線段的最小值，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)建全等三角形，利用垂線段最短解決最值問題．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，∵，∴，即，∵，為中點(diǎn)，∴，在和中，∵，∴，∴，∵點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，即，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴線段的最小值是為，故答案為：．11．（2024上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，等腰，，，是動(dòng)點(diǎn)，，分別在線段上．當(dāng)周長最小時(shí)，則四邊形面積最大值為．【答案】【分析】本題考查等腰直角三角形判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式．根據(jù)題意以點(diǎn)為圓心4為半徑作弧交于兩點(diǎn)，此時(shí)周長最小，，再過點(diǎn)作，利用等腰三角形判定得出為等腰直角三角形，求出的長，再利用三角形面積公式即可得出本題答案．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為圓心4為半徑作弧交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作，∴此時(shí)周長最小，，∵等腰，，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，在中應(yīng)用勾股定理得：，∴四邊形面積最大值為：，故答案為：．12．（2023上·江蘇鹽城·八年級景山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知直線分別交軸、軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，，、分別為線段和線段上一動(dòng)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理得到，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出，如圖，取點(diǎn)，連接、、，得到，，進(jìn)而得出，，證明，得到，即當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，其與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：直線分別交軸、軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，令，則；令，則，解得：，，，，，，，，，，，，如圖，取點(diǎn)，連接、、，，，，，，在和中，，，，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長，設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問題，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．13．（2023上·江蘇南通·八年級校考階段練習(xí)）如圖，是邊長為6的等邊三角形，直線于，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形．根據(jù)題意確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．如圖，連接，證明，則，可知點(diǎn)在與夾角為的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，直線即為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，作于，即為的最小值，由，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，是等邊三角形，，∴，，，∴，即，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在與夾角為的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，直線即為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，作于，即為的最小值，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．14．（2023上·山東日照·八年級?？茧A段練習(xí)）在等腰中，，是的中點(diǎn)，于，交于．則．【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，證明，，由，推出，，推出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，∴，∵在等腰中，，，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，，，∵是的中點(diǎn)，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，等積變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．15．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，若，則的長為．【答案】2【分析】延長到F，使得，連接．證明，得到，．再證明，，從而得到，，根據(jù)，即可求出．【詳解】解：如圖，延長到F，使得，連接．∵，∴，∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角定理，直角三角形的兩銳角互余等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．熟知相關(guān)知識，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)行角的代換證明是等腰三角形是解題關(guān)鍵．16．（2023上·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，對角線平分，那么為度．

【答案】59【分析】延長，過點(diǎn)D作，，根據(jù)條件證明可得，過點(diǎn)D作，證明，，運(yùn)用三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：延長，過點(diǎn)D作，，如圖，

∴，∵對角線平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，過點(diǎn)D作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何問題，涉及到角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．17．（2022上·福建廈門·八年級廈門外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④連接，．其中正確的是．（填序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理則可判斷結(jié)論①；證明，可判斷結(jié)論②；證明，可判斷結(jié)論③；連接，，證明，結(jié)合全等的性質(zhì)可得，，，最后根據(jù)進(jìn)行恒等變換后即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：在中，，∴，又∵、分別平分、，∴，，，∴，故結(jié)論①正確；∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，，故結(jié)論②正確；∴，在和中，，∴，∴，，∴，故結(jié)論③正確；連接，，∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，，等邊對等角，平行線的判定等知識點(diǎn)．證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．18．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習(xí)）四邊形的對角線和交于E，，，，，則的長是．【答案】2【分析】作于H，于G，在上取點(diǎn)F，使，連接，設(shè)，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)求得，進(jìn)而，，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，則，，進(jìn)而利用可求解．【詳解】解：作于H，于G，在上取點(diǎn)F，使，連接，則，∵，∴設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，，設(shè)，則，，∴，則，∵，，∴，則，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，添加合適的輔助線是解答的關(guān)鍵．19．（2024上·山西太原·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)E，使得點(diǎn)D恰好是線段的中點(diǎn)，連接，若，則線段所長為．【答案】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，勾股定理．過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，又，得到，從而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到．根據(jù)勾股定理在中求得，利用的面積可求出．通過“”證得，得到，，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理在中即可求出的長．【詳解】過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵，，∴，，∵，∴，∴∵，，∴，∵，，，∴在中，，∵，或，∴即，∴，∵，，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴在中，．故答案為：三、解答題20．（2024上·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）學(xué)完勾股定理后，小宇碰到了一道題：如圖，在四邊形中，，垂足為，若，，，則的長為．他不會(huì)做，去問同桌小軒，小軒通過思考后，耐心地對小宇講道：“因?yàn)?，垂足為，那么在四邊形中有四個(gè)直角三角形，利用勾股定理可得，，”小軒話沒講完，小宇就講道：“我知道了，原來與之間有某種數(shù)量關(guān)系．”并對小軒表示感謝．(1)請你直接寫出的長．(2)如圖，分別在的邊和邊上向外作等腰和等腰，連接．若，，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長；如圖，若，，，當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】（）由與垂直，得到四個(gè)直角三角形，利用勾股定理可得，代入已知即可求解；（）根據(jù)可證明，得，進(jìn)而得到，即可求出的長；連接交于點(diǎn)，延長，作的延長線于點(diǎn)，同可證，則，，求出的長，即可求出的面積；本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，掌握等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵四邊形中，，垂足為，∴，，，都為直角三角形，∵，，，根據(jù)勾股定理得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）如圖，∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，又∵，即，∴，∴，由（）可得：，∵，，，∴，∴，，∴，∴；連接交于點(diǎn)，延長，作的延長線于點(diǎn)，如圖，同可證，，，∴，∵，，∴，，∵，∴，解得，∴．21．（2023下·山西運(yùn)城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與探究

【解決問題】（1）如圖1，和都是等邊三角形（），將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，_________；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，_________；③如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，求證：．【拓展應(yīng)用】（2）如圖5，在等邊中，是外一點(diǎn)，連接、、，若，，，求的面積．【答案】（1）①；②；③見解析；（2）．【分析】（1）①由“”可證，可得，即可求解；②由①可得，由是等邊三角形，可得，，又因?yàn)椋纯汕蠼?；③由“”可證，可得，可得結(jié)論；（2）由“”可證，可得，由勾股定理可求，由面積和差關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）①和都是等邊三角形，，，，，，，，，②由①可知，，，是等邊三角形，，，，，③證明：都是等邊三角形，，，，，，，（2）如圖，以為邊作等邊，連接，

，是等邊三角形，，，，．．，．為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得，．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，．在等邊中，，，∴根據(jù)勾股定理可得，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2023上·河南商丘·八年級?？茧A段練習(xí)）在中，，過點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，若，則的長為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關(guān)系是互相垂直，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出；（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，①過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到；②在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)角的和差得到，再利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段和差即可得到．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∵，∴，∴，

∴，即與的位置關(guān)系是互相垂直，若，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖：

則，∵，∴，在與中，∴，∴，即的長為，故答案為：互相垂直；；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，如圖：

則，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴；②用等式表示線段，，之間的量關(guān)系是：，證明如下：在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（2023上·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)．(1)求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線上有點(diǎn)P，點(diǎn)P到x軸的距離等于4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形為等腰三角形，若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）由點(diǎn)P到x軸的距離等于4，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)滿足，即，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況計(jì)算求解即可；（3）設(shè)，由題意知，分當(dāng)為底，當(dāng)為腰兩種情況求解：①當(dāng)為底時(shí)，如圖，則，即，計(jì)算求解即可；②當(dāng)為腰，為頂點(diǎn)時(shí)，如圖，則根據(jù)，計(jì)算求解即可；當(dāng)為腰，為頂點(diǎn)時(shí)，如圖，則根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)、點(diǎn)代入得，，解得，，∴直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：∵點(diǎn)P到x軸的距離等于4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)滿足，解得，，當(dāng)時(shí)，，解得，，即；當(dāng)時(shí)，，解得，，即；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)，由題意知，分當(dāng)為底，當(dāng)為腰兩種情況求解：①當(dāng)為底時(shí)，如圖，則，∴，解得，，∴；②當(dāng)為腰，為頂點(diǎn)時(shí)，如圖，則，由勾股定理得，，當(dāng)時(shí)，，解得，，即；當(dāng)時(shí)，，解得，，即；當(dāng)為腰，為頂點(diǎn)時(shí)，如圖，則，∴，即；綜上所述，存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，并分類討論是解題的關(guān)鍵．24．（2024上·陜西西安·八年級西安市航天中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，分別過線段的端點(diǎn)、作直線、，且、、的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)、．

(1)在圖中，當(dāng)直線時(shí)，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是________；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，在如圖兩種情況下：圖中，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是________；圖中，線段、、之間是否有中同樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．【答案】(1)；(2)；，理由見解析．【分析】（）如圖，延長交于點(diǎn)，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得到為等腰三角形，，利用三線合一得到，進(jìn)而可證明，得到，即可得到；（）如圖，延長交于點(diǎn)，同理（）即可求解；．如圖，延長交于點(diǎn)，同理即可求解；本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，延長交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）解：．理由：如圖，延長交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；．理由：如圖，延長交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．25．（2023上·湖北黃石·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，以直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，若且、滿足，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，交軸于．(1)如圖，求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖，為正半軸上一點(diǎn)，在第二象限，的延長線交軸于，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)是否變化，若不變，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若變化，說明理由；(3)如圖，在軸負(fù)半軸上，以為邊向右構(gòu)造等邊，交軸于點(diǎn)，如果點(diǎn)在軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍保持為等邊三角形，連，試求，，三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)不發(fā)生變化，(3)【分析】利用被開方數(shù)的非負(fù)性和平方數(shù)的非負(fù)性，求得a和b，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求得；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，則有，在中得到，利用，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；取的中點(diǎn)，連接和．由知，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得、、、四點(diǎn)共圓，進(jìn)一步有，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證，即可證得．【詳解】（1）解：，，，，，，，，．（2）點(diǎn)的坐標(biāo)不發(fā)生變化．理由：如圖中，、都是等邊三角形，，，，，，，在中，，，，，，．（3）結(jié)論：．理由：如圖中，取的中點(diǎn)，連接、．由知，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，、都是等邊三角形，，，，，，．即．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、被開方數(shù)的非負(fù)性、平方數(shù)的非負(fù)性、全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形性質(zhì)和直角三角形斜邊中線定理．解題的關(guān)鍵利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，并證得共圓．26．（2023上·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）在中，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，，連接交于．

(1)如圖1，，為中點(diǎn)，若，，求的長；(2)如圖2，延長至點(diǎn)使得，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，若，，求證：；(3)如圖3，，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出線段的長．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）證明，從而得出，進(jìn)而求得，從而得出；（2）可證明，從而，，進(jìn)而證明，從而，進(jìn)而證明，從而得出結(jié)論；（3）取的中點(diǎn)，連接并延長交于，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，可證得，得出，進(jìn)而可得，，所以當(dāng)時(shí)，最小，作，交的延長線于，連接，利用勾股定理和面積法可得出，，利用含角的直角三角形性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）解：，，，，在和中，，，，，在中，，又，，；（2）如圖1，

延長至點(diǎn)，使得，連接，，，在和中，，，，，，，又，，在和中，，，，，，，；（3）如圖3，取的中點(diǎn)，連接并延長交于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，

可得：，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，最小，作，交的延長線于，連接，在中，，在中，，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，即是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：負(fù)值舍去，，，，，，，，中，，，、關(guān)于直線對稱，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，含度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．27．（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）問題背景如圖1，在等腰和等腰中，，，，求證：．嘗試應(yīng)用如圖2，在等腰中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，若，，面積為14，求的長．拓展創(chuàng)新M是平面內(nèi)一點(diǎn)，，，若，，，請你直接寫出的長______．【答案】問題情景：證明見解析；嘗試應(yīng)用：；拓展創(chuàng)新：【分析】問題背景：利用邊角邊公理證明即可得出結(jié)論；嘗試應(yīng)用：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，通過證明，得到，利用三角形是面積公式，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論；拓展創(chuàng)新：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在直線左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)M在直線右側(cè)時(shí)，分別求解即可.【詳解】問題背景：證明：，．在和中，，．．嘗試應(yīng)用：解：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，如圖，，，．，．在和中，，．，．，．于點(diǎn)，面積為14，．．解得：，（不合題意，舍去）．．拓展創(chuàng)新：解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在直線左側(cè)時(shí)，作，且使，連接，，如圖，則為等腰直角三角形．．，．即：．在和中，，．．，．，．，．．②當(dāng)點(diǎn)M在直線右側(cè)時(shí)，作，且使，連接交直線于N，連接，如圖，

同理，，，∴，∴，，∵∴∴∴∴B、M、H在同一直線上，即點(diǎn)M、N重合，∴，綜上，的長為或1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，依據(jù)題目特點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．28．（2024上·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.(1)求斜邊上的高線長；(2)當(dāng)在上時(shí)，的長為__________，的取值范圍是__________.（用含的代數(shù)式表示）；若點(diǎn)在的角平分線上，則的值為__________；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)是等腰三角形時(shí)的值為__________.【答案】(1)斜邊上的高線長為；(2)，；；(3)是等腰三角形時(shí)的值為或或．【分析】（）過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用面積法求解；（）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑及速度可解；過點(diǎn)作于，利用角平分線的性質(zhì)可知，再證，推出，最后利用勾股定理解即可；（）分和兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求解即可；本題主要考查了勾股定理在動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、分類討論并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）在中，，，，∴，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，即，∴斜邊上的高線長為；（2）∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，，∴，∴，即，∴，故答案為：，；點(diǎn)在的角平分線上時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖所示，∵平分，，，∴.又∵，∴，∴，則，由（）知，∴，∴，在中，，即，解得，∴點(diǎn)在的角平分線上時(shí)，故答案為：；（3）是以為一腰的等腰三角形時(shí)，有兩種情況：當(dāng)時(shí)，如圖所示，則，∴；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，由（）知，，∵，，∴，∴，∴，是以為底的等腰三角形時(shí)，的值為，綜上，是等腰三角形時(shí)的值為或或．29．（2024上·河南南陽·八年級南陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）小明在對本學(xué)期所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回顧與整理時(shí)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形可以與許多知識產(chǎn)生奇妙的聯(lián)系：(1)勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“等面積法”給了小明以靈感，當(dāng)“等面積法”與等腰三角形相聯(lián)系時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．請你結(jié)合圖1進(jìn)行證明．已知：如圖中，，P是底邊上的任一點(diǎn)（不與B、C重合），于，于，于．求證：；(2)當(dāng)勾股定理與等腰三角形相聯(lián)系時(shí)，請幫小明完成如下問題：如圖2，現(xiàn)測得，，，，則陰影部分的面積為______平方米；(3)當(dāng)最值與等腰三角形相聯(lián)系時(shí)，請幫小明完成如下問題：如圖3，在中，，，E，P分別是上任意一點(diǎn)，若，，則的最小值是______；(4)當(dāng)分類討論與等腰三角形相聯(lián)系時(shí)，請幫小明完成如下問題：如圖4，在長方形中，，延長到點(diǎn)，使，連接．若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度僅沿著向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，請直接寫出______時(shí)，使為等腰三角形．【答案】(1)證明詳見解析；(2)144；(3)；(4)秒或4秒或秒．【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、勾股定理與逆定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等面積法證明即可；（2）先根據(jù)勾股定理逆定理證明是直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理、三線合一的性質(zhì)求出，然后根據(jù)求解即可；（3）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明是的垂直平分線，則，此時(shí)的值最小，最小值為線段的長，然后根據(jù)等面積法求解即可；（4）分或或三種情況討論即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，于D，于，于F，，，，又，，，．（2）解：在中，，，，，，，是直角三角形，；過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，，，，，．故四邊形展區(qū)（陰影部分）的面積是．（3）解：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，是的垂直平分線，，，此時(shí)的值最小，最小值為線段的長，在中，，的面積，，，故答案為：．（4）解：根據(jù)題意，得若為等腰三角形則或或，當(dāng)時(shí)，，，，，．當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，在中，．，．，，．綜上所述：當(dāng)秒或4秒或秒時(shí)，為等腰三角形．30．（2024上·江蘇南京·八年級南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“”“”“”“”和直角三角形全等的判定方法（即“”后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示：在和中，，，，然后對是直角、鈍角、銳角三種情況探究．【深入探究】(1)如圖1，在和中，，，，根據(jù)，可以知道．(2)如圖2，在和中，，，，，且，都是鈍角．求證：．(3)在和中，，，，且，都是銳角．請你用尺規(guī)在圖3中作出，使和不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）(4)對于（3），還要滿足什么條件，就可以使？請直接填寫結(jié)論：在和中，，，，且，都是銳角，若，則．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)見解析；(4)或．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用定理得出；（2）首先得出，則，進(jìn)而得出，再求出；（3）利用已知圖形再做一個(gè)鈍角三角形即可得出答案；（4）利用（3）中方法可得出當(dāng)時(shí)，則．【詳解】（1）解：如圖①，，在和中，，．故答案為：．（2）證明：如圖②，過點(diǎn)作交的延長線于，過點(diǎn)作交的延長線于，，且、都是鈍角，，即，在和中，，∴，，在和中，，∴，，在和中，，．（3）解：如圖③中，在和，，，，和不全等；（4）解：由圖③可知，，，當(dāng)時(shí)，就唯一確定了，則．當(dāng)，時(shí)，即，在和中，，．故答案為：或．31．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）八年級的同學(xué)在一次探究試驗(yàn)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，解決幾何問題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線（延長的線段等于中線長）或延長過中點(diǎn)的線段，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，進(jìn)而使得問題得以解決．(1)如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍；(2)如圖2，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上，若．求證：；(3)如圖3，和均為等腰直角三角形，且，連接，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，連接．請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【答案】(1)(2)見解析(3)，【分析】（1）延長至，使，連接，由證明得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）延長至點(diǎn)，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長至，使，連接，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，，則．延長交于，證出，得出，即可．【詳解】（1）解：延長至，使，連接，如圖1，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，；（2）證明：延長至點(diǎn)，使，連接、，如圖2：同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，；（3）解：，，理由如下：延長至，使，連接，如圖3，同（1）得：，，，，，即，，，和是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，．延長交于，，，，，，即，．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線—倍長中線，構(gòu)造三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．32．（2023上·四川成都·九年級四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，長方形，，點(diǎn)E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)F是線段延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．設(shè)，，已知y與x之間的函數(shù)解析式如圖2所示．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)有學(xué)生認(rèn)為：“的度數(shù)不會(huì)隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化”．你同意嗎？請說明理由．(3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)同意，理由見詳解(3)存在，【分析】（1）設(shè)與的函數(shù)表達(dá)式為，根據(jù)圖像經(jīng)過，得到關(guān)于、二元一次方程組，求解即可，再求出當(dāng)時(shí)的的值即可得出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)勾股定理定理表示出、、再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出的度數(shù)；（3）設(shè)存在的值，使得，根據(jù)等邊對等角及平行線的性質(zhì)可得，證明，繼而得到，在中利用勾股定理得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)表達(dá)式為，圖象經(jīng)過解得∶，與的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，得∶，解得∶，與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）同意，理由如下∶四邊形是長方形，，在中，在中．在中，的度數(shù)不會(huì)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，（3）設(shè)存在的值，使得，由（1）知∶，在和中，在中，，解得∶，存在，使得．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理及勾股定理的逆定理，等邊對等角，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確分析幾何圖形的特點(diǎn)、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．33．（2021上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線的一點(diǎn)，連接，，若，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．(1)【理解運(yùn)用】如圖2，在中，D為上一點(diǎn)，點(diǎn)D，E關(guān)于直線對稱，連接并延長至點(diǎn)F，判斷點(diǎn)B是否為點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，并說明理由；(2)【拓展提升】如圖2，在（1）的條件下，若，，點(diǎn)Q是射線上一點(diǎn)，且點(diǎn)D，Q關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”為點(diǎn)C，請利用尺規(guī)在圖2中確定點(diǎn)Q的位置，并求出的度數(shù)；(3)【拓展提升】如圖3，在中，，的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O到AC的距離為1，直線l垂直平分邊，點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線l“等角點(diǎn)”，連接，，當(dāng)時(shí)，的值為．【答案】(1)點(diǎn)B是點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線AB的“等角點(diǎn)”；(2)(3)【分析】（1）D、E關(guān)于對稱，得出，角的等量替換可得即可證明．（2），求出，根據(jù)等角點(diǎn)求出，再求出；（3）連接，直線l垂直平分，求出，點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線“等角點(diǎn)”，證得O、P、C共線，作于D，平分，平分，即可證得．【詳解】（1）點(diǎn)B是點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，理由如下：∵D、E關(guān)于對稱，∴，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)B是點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”；（2）如圖2，∵，，∴．∵點(diǎn)D，Q關(guān)于直線，的“等角點(diǎn)”分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，∴，∴，∴；（3）如圖3，連接，∵直線l垂直平分，∴，∴，∵點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線“等角點(diǎn)”