專題8.2 空間中的平行和垂直關(guān)系（原卷版）

專題8.2空間中的平行和垂直關(guān)系題型一線面平行、面面平行的判定定理題型二補(bǔ)全平行的條件題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理題型四線面垂直、面面垂直的判定定理題型五補(bǔ)全垂直的條件題型六線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理題型七判斷平行，垂直的有關(guān)命題題型八平行，垂直的綜合應(yīng)用題型一 線面平行、面面平行的判定定理例1．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，，、分別是、的中點(diǎn)，底面ABCD，且

(1)證明：平面；(2)若，求三棱錐的體積．例2．（2023春·江蘇鹽城·高三江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都等于2，E，F(xiàn)，G分別為，，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面BEF；練習(xí)1．（2022春·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；練習(xí)2．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┤鐖D,四棱錐中,底面為的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在上,,證明:平面;練習(xí)3．（2023春·黑龍江牡丹江·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分別是的中點(diǎn).

(1)設(shè)過三點(diǎn)的平面為，求證：平面平面；(2)求四棱錐與三棱錐的體積之比.練習(xí)4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；練習(xí)5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，如圖所示.若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.

題型二 補(bǔ)全平行的條件例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.例4．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；練習(xí)6．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；練習(xí)7．（2023春·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，平面?練習(xí)8．（2022秋·安徽合肥·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖，四棱錐中，平面，，點(diǎn)在線段上，.(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，試在上確定一點(diǎn)，使得平面平面，并說明理由.練習(xí)9．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；(1)求證：平面．(2)在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．練習(xí)10．（2021秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)證明：平面平面；(2)已知點(diǎn)在上，且平面平面，求線段的長(zhǎng).題型三 線面平行、面面平行的性質(zhì)定理例5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求證：BE∥平面DCF；例6．（2023春·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（

）

A． B．平面C． D．點(diǎn)B，D到平面的距離不相等．練習(xí)11．（2023·北京海淀·?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．(1)求證：；練習(xí)12．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；練習(xí)13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．練習(xí)14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，矩形平面，平面與棱交于點(diǎn)G．求證：；練習(xí)15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐，，，，平面平面，平面平面.若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求證：；題型四 線面垂直、面面垂直的判定定理例7．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，．(1)求證：平面平面ABC；例8．（2023春·山東臨沂·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，且

(1)求證：平面平面ABC；練習(xí)16．（浙江省北斗星盟2023屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面平面.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；練習(xí)17．（2023春·廣西柳州·高三柳州地區(qū)高中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，，，，，，，.(1)證明：平面；練習(xí)18．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┤鐖D，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共面.

(1)證明：平面平面；練習(xí)19．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖1所示，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，G是EF上的一點(diǎn)，將，分別沿AB，CD翻折成，，并連接，使得平面平面ABCD，，且．連接，如圖2．

(1)證明：平面平面；練習(xí)20．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎睦忮F的底面是正方形，，是棱上任一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；題型五 補(bǔ)全垂直的條件例9．（2023春·山東青島·高三青島二中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，面，，，，，為線段上的點(diǎn)．(1)證明：面；(2)若滿足面，求的值．例10．（2021秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若為邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)，使？請(qǐng)證明你的結(jié)論．練習(xí)21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)H，使得平面，并寫出證明過程；練習(xí)22．（2022秋·青海海東·高二?？计谥校┤鐖D，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)在上是否存在點(diǎn)M，滿足平面?若存在，求出AM長(zhǎng)，若不存在，說明理由．練習(xí)23．（2022春·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．(1)在線段FG上確定一點(diǎn)M使得平面平面PFG，并說明理由；練習(xí)24．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，試在上找一點(diǎn)，使平面平面．練習(xí)25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四棱錐P－ABCD中，△PBC為正三角形，底面ABCD為直角梯形，，，，．(1)設(shè)F為BC中點(diǎn)，問：在線段AD上是否存在這樣的點(diǎn)E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；題型六 線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理例11．（2022春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，且的面積為6．

(1)求三棱錐的體積；(2)若，且為銳角，求證：平面．例12．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得.

(1)求證：平面平面；(2)若，分別為，的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.練習(xí)26．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，在直角三角形中，，，，，將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足.(1)證明：；練習(xí)27．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；練習(xí)28．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）如圖，在四棱錐中，且，其中為等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的長(zhǎng)；練習(xí)29．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱中，.

(1)求證：；練習(xí)30．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)ABC—中，，平面平面.

(1)證明：平面；題型七 判斷平行，垂直的有關(guān)命題例13．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知、、為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，若，則C．若，、分別與、所成的角相等，則D．若m//α，m//β，，則例14．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）（多選）已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則至少有一條與直線垂直D．若，則練習(xí)31．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．若，且，則 B．若，，，則C．若，且，則 D．若，，，則練習(xí)32．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）兩個(gè)平面與相交但不垂直，直線在平面內(nèi)，則在平面內(nèi)（

）A．一定存在直線與平行，也一定存在直線與垂直；B．一定存在直線與平行，不一定存在直線與垂直；C．不一定存在直線與平行，一定存在直線與垂直；D．不一定存在直線與平行，也不一定存在直線與垂直練習(xí)33．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則練習(xí)34．（2023·四川·?？寄M預(yù)測(cè)）已知a，b是不同的兩條直線，，是不同的兩個(gè)平面，現(xiàn)有以下四個(gè)命題：①；②；③；④．其中，正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習(xí)35．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃ǘ噙x）已知l，m，n為空間中三條不同的直線，，，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的有（

）A．若，，，則B．若，l，m分別與，所成的角相等，則C．若，，，若，則D．若，，，則題型八 平行，垂直的綜合應(yīng)用例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面是菱形，且對(duì)角線與相交于點(diǎn).(1)若，求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說明理由.例16．（2023春·陜西榆林·高二綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，且交SC于點(diǎn)N.(1)求證：∥平面ACM；(2)求證：平面平面AMN.練習(xí)36．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且.

(1)求證