專題04函數(shù)奇偶性單調(diào)性周期性對(duì)稱性歸類

專題04函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性歸類目錄TOC\o"11"\h\u題型一：奇偶性基礎(chǔ) 1題型二：?jiǎn)握{(diào)性基礎(chǔ) 5題型三：周期性基礎(chǔ) 7題型四：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：左右平移 9題型五：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：伸縮變換型 11題型六：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：軸對(duì)稱型 14題型七：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：斜直線對(duì)稱 17題型八：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：中心對(duì)稱 19題型九：中心與軸應(yīng)用：類比“正余弦”求和 22題型十：中心與軸應(yīng)用：“隱對(duì)稱點(diǎn)” 24題型十一：雙函數(shù)型中心、軸互相“傳遞” 26題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型 30題型十三：類周期型函數(shù) 32題型十四：“放大鏡”函數(shù)類周期性質(zhì) 36題型一：奇偶性基礎(chǔ)判定函數(shù)的奇偶性的常見方法：判定函數(shù)的奇偶性的常見方法：（1）定義法：確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再化簡(jiǎn)解析式驗(yàn)證貨等價(jià)形式是否成立；（2）圖象法：若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得函數(shù)為偶函數(shù)；（3）性質(zhì)法：設(shè)的定義域分別為，那么它們的公共定義域上.常見的函數(shù)奇偶性經(jīng)驗(yàn)結(jié)論（在定義域內(nèi)）：1.加減型：奇+奇→奇偶+偶→偶奇奇→奇偶偶→偶奇+偶→非奇偶→非2.乘除型（乘除經(jīng)驗(yàn)結(jié)論一致）奇X奇→偶偶X偶→偶奇X偶→奇奇X偶X奇→=偶簡(jiǎn)單記為：乘除偶函數(shù)不改變奇偶性，奇函數(shù)改變3.上下平移型：奇+c→非偶+c→偶4.復(fù)合函數(shù)：若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則f[g(x)]為奇函數(shù)若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則f[g(x)]為偶函數(shù)1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，則下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，再由奇偶函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若，則，則是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；若，則,則是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；若，則，則是奇函數(shù)，故C正確；若，則，則是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得，再利用基本不等式求最小值.【詳解】由題意可得，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.3.（2023春·湖北武漢·高三武漢市開發(fā)區(qū)一中校考階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出的解析式，再根據(jù)題意得到在單調(diào)遞增，分類討論即可求解.【詳解】由題可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立解得，又因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，(i)若，則對(duì)稱軸，解得；(ii)若，在單調(diào)遞增，滿足題意；(iii)若，則對(duì)稱軸恒成立；綜上，，故選：B.4.（2023·吉林延邊·高三延邊二中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)是的奇函數(shù)，是常數(shù)．不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)奇偶性求出，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合性質(zhì)把轉(zhuǎn)化為，求解的最小值可得.【詳解】因?yàn)槭堑钠婧瘮?shù)，所以，所以；因?yàn)?，所以可得，此時(shí)，易知為增函數(shù).因?yàn)樗?，即，因?yàn)?，所?故選A.5.（2023秋·山西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，由此可以求出的值，進(jìn)而可以求出.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，即或，顯然函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，有，從而有，當(dāng)時(shí)，有，但，所以，即，所以.故選：D.6.（2024年高考天津卷）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，但，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)C，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.題型二：?jiǎn)握{(diào)性基礎(chǔ)單調(diào)性的運(yùn)算關(guān)系：?jiǎn)握{(diào)性的運(yùn)算關(guān)系：①一般認(rèn)為，－f(x)和eq\f(1,fx)均與函數(shù)f(x)的單調(diào)性相反； ②同區(qū)間，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么有：①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)是[a,b]上的增函數(shù)； ②eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)是[a,b]上的__減函數(shù)__；(3)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論：同增異減．1.（2122高三·全國(guó)·課后作業(yè)）如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】因?yàn)閒(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號(hào)相同，故A，B，D都正確，而C中應(yīng)為若x1<x2，則f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).故不正確的是：.故選：.2.（2324高三·福建廈門·模擬）已知定義在上的奇函數(shù)滿足①；②，，且，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題目條件得到在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，，其中，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性得到不等式，求出解集.【詳解】不妨設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，故定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，因?yàn)?，所以，，所以，解得?故選：A3.（2223高一上·重慶沙坪壩·期末）已知為偶函數(shù)，若對(duì)任意，，總有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意確定函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱軸即可求解.【詳解】由可得，即，也即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以在單調(diào)遞減，且，所以由得解得,故選:A.4.（2223高三·浙江·模擬）設(shè)，都是上的單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題，正確的是（

）①若單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；②若單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增；③若單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；④若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義證明②③正確，舉反例說明①④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于命題①，令，均為增函數(shù)，而為減函數(shù)，①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞增，命題②正確；對(duì)于命題③，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞減，命題③正確.對(duì)于命題④，令，均為減函數(shù)，而為增函數(shù)，故④錯(cuò)誤.故選：C5.（2324高三·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)任意的，且，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到，令，推得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】由題意知：，可得，且，即，令，不妨設(shè)，可得，則，即，所以在上單調(diào)遞減，則不等式，且，轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，所以，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.題型三：周期性基礎(chǔ)周期性周期性①若f(x＋a)＝f(x－b)?f(x)周期為T＝a＋b.②常見的周期函數(shù)有：f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)或f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期均為T＝2a.1.（2223高三·重慶沙坪壩·模擬）函數(shù)的定義域?yàn)?，且?若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則（

）A． B．1C．0 D．1【答案】D【解析】將用替換，用替換，可得，從而可得，進(jìn)而可得，可求出函數(shù)的周期，再令，可求出，由即可求解.【詳解】將用替換，用替換，由對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函數(shù)的周期，令，則，因?yàn)?，所以，所以，故選：D2.（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且，則一定是()A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱性可判斷周期，結(jié)合周期可得奇偶性.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，又故，因此可得，所以是以10為周期的周期函數(shù)，結(jié)合周期可得。是一個(gè)偶函數(shù)．故選：A.3.（2324高三·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有成立，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】令，得，然后做恒等變形，得出函數(shù)的周期，然后求出一個(gè)周期內(nèi)的各個(gè)值即可.【詳解】因?yàn)榍遥?，得，則，所以，即，所以，所以，故函數(shù)是周期為6的周期函數(shù).令，，得，則，令，，得，則，由，得，，，，所以，又，故由函數(shù)的周期性知，，故選：D.4.（2223高三安徽·階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知關(guān)系式可推導(dǎo)得到，可知周期為，結(jié)合的值可求得，由可得結(jié)果.【詳解】，，是周期為的周期函數(shù)，，，.故選：B.5.（2122高三·貴州六盤水·）函數(shù)的定義域?yàn)?，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)題意計(jì)算出、、、的值，然后根據(jù)計(jì)算出的值得出規(guī)律，并根據(jù)得出的規(guī)律求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，，，由上述函數(shù)值可知：當(dāng)、、、、、時(shí)，函數(shù)的值按照、、、循環(huán)，故，故選：D.題型四：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：左右平移圖形變換圖形變換時(shí)，對(duì)稱軸和堆成中心也跟著平移(1)平移變換：上加下減，左加右減(2)對(duì)稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)； ②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝f(|x|)．1.（2023·四川南充·閬中中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期，且為偶函數(shù)，根據(jù)時(shí)，，求的值得此時(shí)解析式，即可求得的值.【詳解】為奇函數(shù)，，所以關(guān)于對(duì)稱，所以①，且，又為偶函數(shù)，，則關(guān)于對(duì)稱，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，則，所以為偶函數(shù)則，所以，所以所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，所以.故選：B.2.．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為R上的奇函數(shù)，為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)定義探求出函數(shù)的周期性，及在上的單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，又由為偶函數(shù)，得，即，于是，即，因此的周期為8，又當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，顯然，即有，即，所以a，b，c的大小關(guān)系為.故選：D3.（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，探求函數(shù)的性質(zhì)，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，則，即，又為奇函數(shù)，則，即有，亦即，因此，即，由，得，則有，即函數(shù)是上的偶函數(shù)，又，從而是周期為6的周期函數(shù)，顯然，而沒有條件能求出，即CD錯(cuò)誤；，沒有條件能求出，A錯(cuò)誤；由，得，即，所以，B正確.故選：B4.（2023·陜西·統(tǒng)考二模）已知是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A．3 B． C． D．6【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)的周期，從而求值.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，所以有，由為偶函數(shù)可得：，故有即，，故，所以周期，故故選：A5.（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，為偶函數(shù)．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性可確定圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，由此可推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，；為奇函數(shù)，，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；.故選：A.題型五：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：伸縮變換型帶系數(shù)：系數(shù)不為帶系數(shù)：系數(shù)不為1，類比正弦余弦的帶系數(shù)形式，提系數(shù)平移平移變換：左右或者上下左加右減1.（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則有①為奇函數(shù)，②關(guān)于對(duì)稱，③關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，④，則上述推斷正確的是（

）A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】解：（法一）根據(jù)為奇函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，再由是上的奇函數(shù)，得到過，然后由為偶函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合推出的周期為4即可.（法二）舉例判斷；【詳解】解：（法一）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，又是上的奇函數(shù)，過，點(diǎn)，所以過，所以有；又為偶函數(shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱；所以有，又，所以，所以周期為4，所以由，得，所以為奇函數(shù)，所以①②④正確.（法二）舉例：符合題意，再驗(yàn)證得到①②④正確.故選：D.2.（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)所給條件結(jié)合函數(shù)的奇偶性賦值求解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，令可得，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，令則有，中令可得，所以，故選:A.3.（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．的一個(gè)周期為8【答案】C【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，可得，判斷B;根據(jù)是偶函數(shù)，推出，判斷A;繼而可得，可判斷D；利用賦值法求得，根據(jù)對(duì)稱性可判斷C.【詳解】由題意知是奇函數(shù)，即，即，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B結(jié)論正確；又是偶函數(shù)，故，即，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A結(jié)論正確；由以上可知，即，所以，則，故的一個(gè)周期為8，D結(jié)論正確；由于，令，可得，而的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，C結(jié)論錯(cuò)誤，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷問題，解答時(shí)一般要注意根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的定義去解答，比如奇偶性，采用整體代換的方法，往往還要結(jié)合賦值法求得特殊值，進(jìn)行解決.4.（2023秋·湖北恩施·高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域都為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性對(duì)稱性可得函數(shù)的周期性以及，再利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推出的周期以及，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，則，所以函數(shù)以4為周期，，因?yàn)?，所以，即，即，也即，令，則有，所以，由得，所以以4為周期，所以，所以，C正確，對(duì)于其余選項(xiàng)，根據(jù)題意可假設(shè)滿足周期為4，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，故A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤，故選:C.5.（2022秋·湖北襄陽(yáng)·高三襄陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）已知及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，得到，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，同理由為偶函數(shù)，得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，兩者聯(lián)立得到為周期函數(shù)，且周期為求解.【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，則有，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，則有，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．所以，，，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，則有，，所以．故選：B.題型六：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：軸對(duì)稱型1.（2023上·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】【分析】先通過定義域關(guān)于直線對(duì)稱求出，再通過求出，證明函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱后，代入值求即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即定義域也關(guān)于直線對(duì)稱，，，解得，證明：關(guān)于直線對(duì)稱，，故關(guān)于直線對(duì)稱，.故答案為：.2.（2023上·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，若方程有且僅有三個(gè)根，且為其一個(gè)根，則其它兩根為.【答案】、【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性可得出方程另外兩根.【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)榉匠逃星覂H有三個(gè)根，且為其一個(gè)根，則為該方程的一根，在等式中，令，可得，因此，方程的另外兩根為、.故答案為：、.3.（2023下·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則的大小關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)條件判斷出在上是增函數(shù)，進(jìn)而利用單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù).因?yàn)椋?，即，所?故答案為：.4.（廣東省七校聯(lián)合體20202021學(xué)年高二下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)若點(diǎn)，那么的最小值為__________.【答案】【分析】易知：為偶函數(shù)，若要若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，根據(jù)題意，直線過定點(diǎn)：，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上最短距離即可得解.【詳解】由可得為偶函數(shù)，若要若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)有，解得：，故點(diǎn)直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)：，由點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，圓心為，半徑，所以.故答案為：.5（四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校聯(lián)合考試2021屆高三第一學(xué)期11月月考）.已知，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性的定義可知在為R上的偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可知在區(qū)間單調(diào)遞增，于是，，即為，由函數(shù)的性質(zhì)可得，，從而等價(jià)轉(zhuǎn)化為，恒成立，不等號(hào)兩側(cè)分別構(gòu)造函數(shù)，求得構(gòu)造的左側(cè)函數(shù)的最大值及右側(cè)函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：函數(shù)的定義域?yàn)?，為R上的偶函數(shù)，又，，在R上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增．不等式，由偶函數(shù)性質(zhì)可得：，即，由函數(shù)的單調(diào)性可得：，，，恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，；令，，，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，，，故選：B題型七：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：斜直線對(duì)稱軸變換，又叫直線鏡面變換：軸變換，又叫直線鏡面變換：1.（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【分析】求出的解析式，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，令，由，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：（也正確）.2.（2023·高三單元測(cè)試）函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,,則．【答案】【分析】根據(jù)兩個(gè)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,即與互為反函數(shù),即是將解出的的值,解出即可.【詳解】解:由題意知與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故與互為反函數(shù),的值即是縱坐標(biāo)為5時(shí)的的值,令,解得或(舍),即.故答案為:3.（2022下·遼寧·高二瓦房店市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】2【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得，進(jìn)而得到關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合已知與的對(duì)稱關(guān)系，確定的對(duì)稱中心，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，若，則，所以關(guān)于對(duì)稱，又與關(guān)于直線對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，所以.故答案為：24.（2023上·上海閔行·高三校聯(lián)考期中）設(shè)曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)曲線仍然是某函數(shù)的圖像，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)是在點(diǎn)處的切線，進(jìn)而根據(jù)題意得直線關(guān)于對(duì)稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，進(jìn)而得的方程為，再聯(lián)立方程即可得，進(jìn)而得答案.【詳解】設(shè)是在點(diǎn)處的切線，因?yàn)榍€與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線關(guān)于對(duì)稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，如圖所示直線與的角為，所以的傾斜角為，所以的方程為故聯(lián)立方程得，即，則，即所以，解得所以的取值范圍為.故答案為：5.（2022·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知直線:，函數(shù)，若存在切線與關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】【分析】先求與關(guān)于直線對(duì)稱的直線，再利用切點(diǎn)是切線與曲線的公共點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】在直線：上取兩點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)分別為，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為）設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，則過點(diǎn)，則，直線的方程為，即由得,因?yàn)楹瘮?shù)存在切線與關(guān)于直線對(duì)稱，即存在切線方程為設(shè)切點(diǎn)為，則解得故答案為：題型八：中心與軸對(duì)稱應(yīng)用：中心對(duì)稱中心對(duì)稱：中心對(duì)稱：（1）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對(duì)稱中心為（2）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對(duì)稱中心為（3）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對(duì)稱中心為.函數(shù)變換，又叫原點(diǎn)變換：1.（湖北省武漢二中20222023學(xué)年高三下學(xué)期4月第三次測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當(dāng)，即時(shí)取最大值，所以.故選：.2.（四川省達(dá)州市大竹縣大竹中學(xué)20202021學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若使關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的范圍為___________.【答案】【分析】證明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而把不等式變形后應(yīng)用單調(diào)性化簡(jiǎn)，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，利用換元法可得結(jié)果．【詳解】顯然函數(shù)定義域是，，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，原不等式可化為，即，(*)設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，即，，由得，∴，∴是增函數(shù)，不等式(*)化為，(**)令，∵，∴，不等式(**)化為，，問題轉(zhuǎn)化為存在，使不等式成立，當(dāng)時(shí)，的最小值為2．∴．故答案為：．3.函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.【答案】【分析】先化簡(jiǎn)，然后分析的奇偶性，將的最大值和小值之和轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的式子，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.【詳解】，令，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴為奇函數(shù)，∴，∴，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，，∴，∴，故答案為：.4.（廣東省深圳市人大附中學(xué)深圳學(xué)校20222023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則____________.【答案】10【分析】由已知得到函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)經(jīng)過化簡(jiǎn)也關(guān)于對(duì)稱，由此可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)就關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，就可以得到的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，即滿足，所以是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)與圖像的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)點(diǎn)都關(guān)于對(duì)稱，故.故答案為：10.5.（江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)20222023學(xué)年高三模擬檢測(cè)2數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．若存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】令，判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，從而將不等式轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)可得，令，，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合題意即可求解的取值范圍．【詳解】函數(shù)，若存在使得不等式成立，令，，所以，為奇函數(shù)．不等式，即，即，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，分離參數(shù)可得，令，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1），（4），所以，，所以由題意可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．題型九：中心與軸應(yīng)用：類比“正余弦”求和類比正弦：類比正弦：①兩中心②兩垂直軸③一個(gè)中心，一條軸1.（2022·廣東惠州·模擬）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（

）A．3 B．0 C．3 D．2018【答案】C【分析】先分析推理得到即得函數(shù)的周期為4，再求得，再求的值.【詳解】為的奇函數(shù)，且，又，，是周期為4的函數(shù)，又，，，，.故選：C2.（2022·廣西南寧·一模）定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，．則的值為（）A．2017 B．1010 C．1008 D．2【答案】B【分析】由偶函數(shù)可得，結(jié)合可得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，于是，由周期性可得所求的值．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，∴是周期?的周期函數(shù)，∴，又，∴于是，∴．故選：B．3.（2023·山東·一模）已知是定義在上的奇函數(shù),且為偶函數(shù),若,則（

）A．4 B．2 C．0 D．2【答案】C【分析】，得，的周期為4，又由，，進(jìn)而求解即可.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，①，為偶函數(shù)，②，在②式中，令用替代，則，③，在①式中，令替代，則④，，再根據(jù)②式關(guān)系，得綜上所述，得，的周期為4，由已知得，是定義在上的奇函數(shù)，則，，，，，得，=答案選C【點(diǎn)睛】本題屬于函數(shù)的周期性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在于從等式中得到以下關(guān)系：，有一定的運(yùn)算量，屬于一般題.4.（2223高三上·湖南永州·階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則（

）A． B．0 C．2 D．2020【答案】B【解析】根據(jù)奇偶性與可得函數(shù)的周期為4,再根據(jù)性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)滿足,即.故周期為4.故,因?yàn)?故原式.令,則.令,則.又奇函數(shù)故.故.故選：B5.（2023·廣東梅州·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A．10 B．20 C．15 D．5【答案】A【分析】首先由條件確定，即可判斷函數(shù)的周期，再結(jié)合特殊值，，即可求和.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，即，則，那么，所以2是函數(shù)的一個(gè)周期，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，且，所以，，所以.故選:A題型十：中心與軸應(yīng)用：“隱對(duì)稱點(diǎn)”兩兩圖象上有對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有根的問題求解，然后再根據(jù)兩函數(shù)的特征選擇用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，具有綜合性，難度較大．1.（2122高三·云南紅河·模擬）對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，若函數(shù)，存在“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式，，根據(jù)題意只需，與，有交點(diǎn)，參變分離后，結(jié)合基本不等式求出，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，，故，故，，要想存在“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則，與，有交點(diǎn)，聯(lián)立得，，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B2.（2022廣西柳州·一模）已知函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【分析】將題中的問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，即方程在有解的問題處理，然后再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)求解，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義和圖象可得所求范圍．【詳解】函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，∴方程在上有解，即方程在上有解，∴方程在有解．設(shè)，，則兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)．由得．若為的切線，且切點(diǎn)為，則有，解得，結(jié)合函數(shù)圖象可得若兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則需滿足．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選A．3.（2022遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）(為自然對(duì)數(shù)的底)A． B． C． D．【答案】C【分析】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，對(duì)、、進(jìn)行討論可得答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為，又函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以與的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，時(shí)符合題意；時(shí)轉(zhuǎn)化為有解，即與的圖象有交點(diǎn)，是過定點(diǎn)的直線，其斜率為，若，則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn)，滿足題意；若，設(shè)，相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，切線斜率為，由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，此時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.4.（2023·河北衡水·一模）若函數(shù)圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)為函數(shù)的“孿生點(diǎn)對(duì)”，且點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”.若函數(shù)恰好有兩個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的值為A．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【詳解】分析：由題可知當(dāng)時(shí)，與恰有兩個(gè)交點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定的圖象，即可求得實(shí)數(shù)的值.詳解：由題可知，當(dāng)時(shí)，與恰有兩個(gè)交點(diǎn).

函數(shù)求導(dǎo)（）易得時(shí)取得極小值；時(shí)取得極大值另可知，所得函數(shù)圖象如圖所示.當(dāng)，即時(shí)與恰有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，恰好有兩個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”，

故選A.5.（2223高三下·上海寶山·期中）若存在與正數(shù)，使成立，則稱“函數(shù)在處存在距離為的對(duì)稱點(diǎn)”．設(shè)（），若對(duì)于任意，總存在正數(shù)，使得“函數(shù)在處存在距離為的對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是…A． B． C． D．【答案】A【詳解】若對(duì)于任意，總存在正數(shù)，使得“函數(shù)在處存在距離為的對(duì)稱點(diǎn)”，則對(duì)于任意，有解，即有解．即有解，因?yàn)椋ǎ┚哂袑?duì)稱性，故有，即有m<t，即有，由于,故，選A.題型十一：雙函數(shù)型中心、軸互相“傳遞”雙函數(shù)性質(zhì)：雙函數(shù)性質(zhì)：1.雙函數(shù)各自對(duì)應(yīng)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸等性質(zhì)2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系傳遞中心，對(duì)稱軸，與周期若函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，則函數(shù)的周期為.1.（2223高三上·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域均為R，且滿足則（

）A．3180 B．795 C．1590 D．1590【答案】D【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得且，進(jìn)而有，構(gòu)造易知是周期為2，分別求得、，再求、，根據(jù)周期性求，最后求和.【詳解】由，則，即，由，則，即，又，即，所以，故，綜上，，則，故關(guān)于對(duì)稱，且有，令，則，即的周期為2，由知：關(guān)于對(duì)稱且，所以，即，則，由，可得，則，所以則；則，依次類推：，，……，，所以.故選：D2.（2324高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，若的圖像關(guān)于對(duì)稱，，則（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】根據(jù)的圖象關(guān)于對(duì)稱得到，，然后結(jié)合，得到的周期為4，再通過賦值得到，，，，最后根據(jù)周期求值即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以的周期?，當(dāng)時(shí)，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以.故選：B.3.（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是．（只填序號(hào)）①為偶函數(shù)；②為奇函數(shù)；③；④.【答案】①④【分析】結(jié)合已知條件和是奇函數(shù)求出函數(shù)的周期，然后利用周期和已知條件得出為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的性質(zhì)分析可得，再根據(jù)的周期性即可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)的周期即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，則有，且是奇函數(shù)，則，可得，即，則，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?，則，可得，故也是周期為4的周期函數(shù)．對(duì)于①：因?yàn)?，則，即，所以，所以為偶函數(shù)．故①正確；對(duì)于②：∵，∴，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)椋?，即，則，又因?yàn)?，令，所以，令，則，即，即，所以，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④：因?yàn)?，所以，所以，所以④正確．故答案為：①④．4.（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知為定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，，則以下命題：①是偶函數(shù)；②；③的圖象的一條對(duì)稱軸是；④，其中正確的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】①根據(jù)奇函數(shù)的定義，利用復(fù)合求導(dǎo)公式，可判斷①正確；②根據(jù)題意，賦值即可求出②正確；③利用與的關(guān)系，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可推出的對(duì)稱中心是，③錯(cuò)誤④可證明是周期為的周期函數(shù)，進(jìn)一步求出即可求得答案.【詳解】對(duì)于①，由為定義在上的奇函數(shù)可知，則，即，，即，為偶函數(shù)①正確；對(duì)于②，對(duì)賦值x＝1，得，故②正確；對(duì)于③，由與可知，，則（c為常數(shù)），令x＝1，則c＝0，所以，故，則關(guān)于中心對(duì)稱，由題意可知不是常函數(shù)，故不是其對(duì)稱軸，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，為定義在上的奇函數(shù)，則，又，，則，，，則的周期T＝4，故，故④正確．故答案為：①②④．5.（2023·四川南充·二模）設(shè)定義在上的函數(shù)和.若，，且為奇函數(shù)，則.【答案】【分析】由，，可得，再結(jié)合為奇函數(shù)，可得，從而可得函數(shù)是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，求出即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因，所以，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，且，所以，則，所以函數(shù)是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，由，得，則，所以.故答案為：.題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型有有，則稱為優(yōu)函數(shù)。類似這類函數(shù)不等式，可以借助“類周期”思維進(jìn)行放縮。1.（2024年高考1卷）已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)椋瑒t，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B2.（2021·四川德陽(yáng)·一模）已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)奇偶性對(duì)不等式化簡(jiǎn)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，所以可化為，即，任取，且，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以在上為增函?shù)，所以由，得，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D3.（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是定義在R上的函數(shù)，，且對(duì)任意都有：與成立，若，則．【答案】1【解析】根據(jù)，得到，再結(jié)合與成立，可推理出，，兩者結(jié)合進(jìn)而推理出，得到是以1為周期的周期函數(shù)求解.【詳解】因?yàn)椋裕?，，所以，，所以，所以，所以是?為周期的周期函數(shù)．所以．故答案為：14.（2223高二上·上海浦東新·開學(xué)考試）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于任意的整數(shù)，滿足，，則的值為..【答案】【分析】根據(jù)，得出，從而求出和的值，再計(jì)算的值即可．【詳解】解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以．故答案為：?.（2223高三·北京順義·模擬）如果函數(shù)滿足對(duì)任意s，，有，則稱為優(yōu)函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①為優(yōu)函數(shù)；②若為優(yōu)函數(shù)，則；③若為優(yōu)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增；④若在上單調(diào)遞減，則為優(yōu)函數(shù)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】①計(jì)算出，故，得到①正確；②賦值法得到，，依次類推得到；③舉出反例；④由在上單調(diào)遞減，得到，整理變形后相加得到，即，④正確.【詳解】因?yàn)?，所以，故，故是?yōu)函數(shù)，①正確；因?yàn)闉閮?yōu)函數(shù)，故，即，，故，同理可得，……，，②正確；例如，滿足，即，為優(yōu)函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；若在上單調(diào)遞減，任取，，則，即，變形為，兩式相加得：，因?yàn)椋?，則為優(yōu)函數(shù)，④正確.故答案為：①②④題型十三：類周期型函數(shù)1.（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在上非嚴(yán)格遞增，滿足，若存在符合上述要求的函數(shù)及實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意整理可得：對(duì)，則，分類討論的取值范圍，分析運(yùn)算.【詳解】∵，即對(duì)，則，故對(duì)，則，∵，則有：1.當(dāng)時(shí)，則，可得，不成立；2.當(dāng)時(shí)，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則，解得；例如，取，則，解得；故；3.當(dāng)時(shí)，則，可得，不成立；4.當(dāng)時(shí)，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則；例如，取，則；故；5.當(dāng)時(shí)，則，可得，不成立；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.2.（2021下·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若對(duì)于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個(gè)不同的交點(diǎn)，則.【答案】【分析】由題意首先確定函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系得到的表達(dá)式，最后裂項(xiàng)求和即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為2，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：與函數(shù)恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，故，故，.故答案為：.3.已知fx=12x+a,x≤0,fx-1,x>0,【答案】-2,+∞【詳解】構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）a＝2作出函數(shù)g（x）=2-x，若f（x）＝x有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解可轉(zhuǎn)化為g（x）與y＝xa的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)a≥2時(shí)函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a＜2時(shí)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，即a＞2時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).故答案為-2,+∞4.（2023上·四川資陽(yáng)·高三統(tǒng)考模擬）已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線為，若，則與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】2或3.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，其與時(shí)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則將直線的方程代入到中，得，由得，，當(dāng)時(shí)，，在定義域內(nèi)，此時(shí)在時(shí)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，綜合有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，不在定義域內(nèi)，此時(shí)在時(shí)，直線與有一個(gè)交點(diǎn)，綜合只有兩個(gè)交點(diǎn)；結(jié)合上述兩種情況，與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2或3.5.（福建省長(zhǎng)汀縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f（i）f2021（ii）若方程fx-kx=0有且只有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)k【答案】-4042-1,-【分析】（i）根據(jù)解析式，利用遞推法即可得出；（ii）利用圖象的平移變換得到函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合方法求得.【詳解】（i）f2021=-4042;（ii）∵x≥1時(shí)，f(x)=f(x-1)-2所以f(x)的圖象由在[0,1)之間的拋物線的一部分逐次向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，如圖所示.已知l1由圖可知若方程fx則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-1,-1故答案為：-4042；-1,-題型十四：“放大鏡”函數(shù)類周期性質(zhì)形如形如f（tx）=mf（x）等“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：1.是從左往右放大，還是