第10講拓展四空間中距離問題（等體積法與向量法）

第10講拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）知識點01：用向量法求空間距離1、點到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.題型01利用向量法求點到直線的距離【典例1】（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F(xiàn)滿足，，則點E到直線的距離為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量法求點到直線的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，根據條件可得，，，，，設向量與的夾角為，，所以點到直線的距離為.故選：A.【典例2】（2324高二下·北京·開學考試）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求出點到直線距離的函數關系，再求其最小值即可.【詳解】以題意，以點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，因為正方體棱長為1，，所以,,設,則,而,所以點到直線的投影數量的絕對值為,所以點到直線的距離為，當時，等號成立，即點到直線的距離最小值為，故選：C.【典例3】（2324高二上·安徽亳州·期末）如圖，在三棱柱中，所有棱長都為2，且，平面平面，點為的中點，點為的中點．(1)點到直線的距離；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）由面面垂直性質定理證明線面垂直，再得線線垂直，由此建立空間直角坐標系，利用向量方法求點到直線的距離；（2）利用法向量求解點面距.【詳解】（1）由三棱柱中，所有棱長都為2，則四邊形為平行四邊形，且棱長都相等，即為菱形，又都為等邊三角形，連接，所以為等邊三角形，取中點，連接，則，又平面面，平面平面，面，所以平面，則，又因為，所以兩兩垂直.則以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如下圖示，，由則，所以，則，所以點到直線的距離為.（2）由（1）知，設是平面的一個法向量，則，取，則，又，所以點到平面的距離.【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知在空間直角坐標系中，直線經過，兩點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意先求出直線的方向向量，然后依次求得，則到直線的距離為，求解即可.【詳解】由題意可知直線的方向向量為：，又，則，，點到直線的距離為：.故選：C.【變式2】（2324高二上·貴州畢節(jié)·期末）在空間直角坐標系中，已知三點，則點到直線的距離為.【答案】【分析】根據條件，求出，進而得出，再利用點到直線的距離的向量法即可求出結果.【詳解】因為，所以，所以，得到，所以點到直線的距離為，故答案為：.【變式3】（2324高二上·廣東韶關·階段練習）如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.(1)求二面角的正弦值；(2)求點到直線的距離；【答案】(1)；(2).【分析】（1）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值.（2）用向量法求點到直線的距離.【詳解】（1）因為平面平面，且平面平面，平面，而，則平面，為正方形的中心，有，平面，則平面，顯然直線兩兩垂直，以點為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設平面的法向量為，則，令，得，由平面，得平面的一個法向量為，于是，所以二面角的正弦值為.（2）由（1）知，，，所以點到直線的距離.題型02點到平面的距離等體積法【典例1】（2324高一下·天津武清·階段練習）如圖，若正三棱柱的底面邊長為，對角線的長為，點為的中點，則點到平面的距離為．【答案】/【分析】設與交于點O，連接，可證得平面，求點到平面的距離可以轉化為求點到平面的距離，然后利用進行計算求解；【詳解】設與交于點，連接，在正三棱柱中，顯然點為的中點，又點為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，所以求點到平面的距離可以轉化為求點到平面的距離，因為，，，所以有，所以，所以，易得，所以，設點到平面的距離為，由，即，所以有，解得，即點到平面的距離為.故答案為：【典例2】（2324高二下·江蘇南通·階段練習）如圖，在三棱柱中，側面為矩形，，，D是的中點，與交于點，且平面.若，則三棱柱的高為.【答案】/【分析】連接，設三棱柱的高為，分別求出相關的邊和三角形面積，利用即可求得.【詳解】如圖，連接,設點到平面的距離為，則即三棱柱的高.因,D是的中點，則,由側面為矩形易得,可得，,則又，因平面，因平面，則,故,,則的面積為,的面積為,由可得，解得，即三棱柱的高為.故答案為：.【典例3】（2024·廣東·二模）將一個直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點到平面的距離的最大值為.【答案】【分析】作出輔助線，判斷出當四點共面時，點A到的距離最大，進而算出，最后得到答案．【詳解】如圖，過作⊥，交于，過A作⊥，交于，因為在中，,，則，當四點共面時，點A到的距離最大．因為⊥，所以是BC與平面所成的角，則，則，于是，，即A到的最大距離為．故答案為：．【變式1】（2024高一下·全國·專題練習）已知正方體的棱長為1，點O在線段上且，則點O到平面的距離是.【答案】/【分析】證明出平面，故的長即為點到平面的距離，求出，根據比例關系得到答案.【詳解】如圖，設，又正方體棱長為1，所以，平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，的長即為點到平面的距離，所以，因為點O在線段上，且，所以點O到平面的距離．故答案為：【變式2】（2324高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，動點P在棱上，則點P到平面的距離為.【答案】【分析】利用三棱錐的等積性，結合三棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】在正三棱柱中，若，平面，平面，所以平面，動點P在棱上，所以P到平面的距離等于到平面的距離，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底邊上的高長為，所以等腰三角形的面積為，由正三棱錐性質可得，，且平面平面，平面平面，所以到平面的距離為到的距離，設點B1到平面的距離為，，故答案為：【變式3】（2324高二上·上海松江·階段練習）在直三棱柱中，，則點B到平面的距離為.【答案】/【分析】利用等體積法求點面距離即可.【詳解】由題設為等邊三角形，各側面均為正方形，故，所以中上的高為，則，若點B到平面的距離為，又，由直棱柱的結構特征知：到面的距離是中邊上的高為，所以，則，即點B到平面的距離為.故答案為：題型03點到平面的距離的向量法【典例1】（廣西貴百河20232024學年高一下學期5月新高考月考測試數學試卷）如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，分別是的中點，是邊長為2的等邊三角形，．(1)證明：；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等邊三角形三線合一可得，再由側棱垂直于底面可得面即可得出結論；（2）可由等體積法計算即可得出.【詳解】（1）法一:是等邊三角形，且是中點面，面面，面，且面面法二：取的中點，則面，可知兩兩垂直，如圖以為軸，為軸，為軸，則，，，；所以，，則，即；（2）法一：由題可知：；在中，，；取中點，在中，，邊上的高為；；設點到平面的距離為，則，解得，即點到平面的距離為．法二：，，，，設面的法向量為，；設點到面的距離為，故點到平面的距離為.【典例2】（2324高二下·甘肅武威·期中）如圖，在直三棱柱中，為的中點，點分別在棱和棱上，且．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，即可得且，從而得到，再根據線面平行的判定定理得到平面；（2）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，利用點到平面的距離的向量計算公式即可求得點到平面的距離.【詳解】（1）取的中點，連接，則，且，所以且，則四邊形為平行四邊形，．又平面平面，平面．（2）直三棱柱中，，以為原點，以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，則，即令，則，得到平面的一個法向量，又，，所以點到平面的距離．【典例3】（2024·吉林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.(1)證明：平面平面；(2)若點為的中點，求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的性質與勾股定理，結合三線合一證得，，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.（2）由線面平行判定定理可證得平面，則點到平面的距離即為到平面的距離.方法一：以為原點建立空間直角坐標系，運用點到面的距離公式計算即可.方法二：運用等體積法計算即可.【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，平面，，，即，又為中點，則，且，四邊形為正方形，，平面平面，又，、平面，平面，又平面平面平面.（2）在中，分別為中點，，又平面平面，平面，點到平面的距離即為到平面的距離，（方法一），以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，則，，設是平面的法向量，，取，則是平面的一個法向量，點到平面的距離為，即直線到平面的距離為.（方法二）連接、，如圖所示，為等腰直角三角形，，又平面是三棱錐的高，，，，，設到平面距離為，則，，即到平面的距離為.【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，借助等邊三角形的性質結合線面垂直的判定定理可得平面，結合線面垂直的性質定理即可得證；（2）建立適當空間直角坐標系，再利用體積公式與空間向量夾角公式，結合點到平面的距離公式計算即可得解.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，，因為是等邊三角形，所以，又，所以，且，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，所以；

（2）在平面中，作，垂足為D，由（1）知平面，平面，所以，而，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由為中點，所以，所以可過點O作Oz軸平行于，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為三棱柱的體積為3，所以，故，則，，，設，，所以平面ABC的一個法向量為，所以，解得，此時，，所以，，設平面的法向量為，則，即，令，解得，，所以，又，故點到平面的距離為.【變式2】（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為，的中點，點G在棱上，，直線與平面相交于點H.(1)從下面兩個結論中選一個證明：①；②直線，，相交于一點；注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.(2)求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）選①，易知，從而得平面，再由線面平行的性質定理，即可得；選②，易知與不平行，設，根據點、線、面的位置關系，可證，從而得證；（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，利用向量法求解點面距離即可．【詳解】（1）證明：選①，因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以．選②，因為，是的中點，所以與不平行，設，則，，因為平面，平面，所以平面，平面，又平面平面，所以，所以直線，，相交于一點．（2）連接，，因為與均為正三角形，且是的中點，所以，，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，故以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則,,0,，,,,，所以,，故,,，所以,,,,,,，設平面的法向量為,,，則，令，則，，所以,1,，所以點到平面的距離為，故點與平面的距離為．【變式3】（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點到底面的距離為．(1)若是的中點，求證：平面；(2)若，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接、，即可證明，從而得證；（2）取的中點，的中點，證明平面，建立空間直角坐標系，由條件求平面的法向量和，利用空間向量法求點到平面的距離．【詳解】（1）取的中點，連接、，因為是的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取線段的中點為，線段的中點為，連接，因為為直角梯形，，所以，又，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，過點在平面內作直線，則直線兩兩垂直，以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，過點作，交直線于點，因為，平面，，所以平面，故平面，又點P到底面的距離為，所以，因為，，所以為二面角的平面角，由已知可得，所以，所以，所以，所以，，因為，所以，所以設平面的法向量為，則，所以，令，則，所以為平面的一個法向量，所以點到平面的距離.題型04點到平面的距離的探索性問題【典例1】（2324高二上·浙江寧波·期末）已知四棱錐的底面為邊長為2的正方形，分別為和的中點，則平面上任意一點到底面中心距離的最小值為.【答案】【分析】由面到點的距離的最小值轉化為點到面的距離的最小值，建立合適的空間直角坐標系，由點到面的距離即可求得平面上任意一點到底面中心距離的最小值.【詳解】四棱錐的底面為邊長為2的正方形，連接且相交于點，則點是底面中心，，取的中點，連接，則，又，又，面又面，面面又，為面與面的交線，平面面又面，面，以點為原點，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，設到平面的距離為，則令，則，代入距離公式得，故答案為：.【典例2】（2324高三上·北京昌平·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點.

(1)證明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見詳解(2)（i），（ii）存在點，.【分析】（1）取中點，可證四邊形是平行四邊形，可得，得證；（2）（i）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，（ii）假設存在點到平面的距離為，利用點到面距離的向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，，因為是中點，所以，，又，，，，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.

（2），，又，，，則，又平面平面，平面平面，平面，，又，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，（i）設平面的一個法向量為，則，即，令，可得，，，又平面的一個法向量為，，所以二面角的余弦值為.（ii）假設線段上存在點，使得點到平面的距離為，設，，，，由（i）知平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為，則，解得或，又，所以，即存在點到平面的距離為，且.【變式1】（2324高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，，P為棱AD的中點，且，，若點M到平面SBC的距離為，則實數的值為．【答案】【分析】建立合適的空間直角坐標系，寫出相關點坐標，得到，，利用求出，再利用點到平面距離公式，代入相關向量坐標，解出即可.【詳解】過點作，交于點，，為中點，，又，且，平面，平面，平面，則，則易得兩兩垂直，所以以為原點，所在直